2024届高考数学(人教a版)一轮复习课后习题-第三章函数与基本初等函数课时规范练7 函数的单调性与最值.docx
课时规范练7函数的单调性与最值基础巩固组1.下列函数既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A.f(x)=xxB.f(x)=x+1xC.f(x)=ex-e-xD.f(x)=log2|x|2.函数f(x)=|x-1|+3x的单调递增区间是()A.1,+)B.(-,1C.0,+)D.(-,+)3.已知函数f(x)=-x2+2x-1,x1,|x-1|,x>1,若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是()A.(-4,1)B.(-,-4)(1,+)C.(-1,4)D.(-,-1)(4,+)4.已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(1)=2,则xf(x)<2的解集为()A.(0,1)B.0,1)C.(-1,1)D.(-1,0)5.已知函数f(x)=|2x-1|,若a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<26.若函数f(x)=ax2-x在1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是. 7.已知函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x0满足对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则a的取值范围是. 8.已知函数f(x)=a-3x1+3x是R上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)用定义证明f(x)在R上为减函数;(3)若对于任意t2,5,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.综合提升组9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y)=f(x)-f(y),且当x<0时,f(x)>0,则关于x的不等式f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)(其中0<m<2)的解集为()A.xm<x<2mB.xx<m或x>2mC.x2m<x<mD.xx>m或x<2m10.(多选)下列函数在(2,4)上单调递减的是()A.y=13xB.y=log2(x2+3x)C.y=1x-2D.y=cos x11.函数f(x)=x+5x-a+3在(1,+)上单调递减,则实数a的取值范围是. 12.已知函数f(x)=x(|x|+4),且f(a2)+f(a)<0,则实数a的取值范围是. 13.能使“函数f(x)=x|x-1|在区间I上不是单调函数,且在区间I上的函数值的集合为0,2”是真命题的一个区间I为. 创新应用组14.(多选)已知函数f(x)的定义域为D,若存在区间m,nD使得f(x)满足:(1)f(x)在m,n上是单调函数;(2)f(x)在m,n上的值域是2m,2n,则称区间m,n为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数存在“倍值区间”的是()A.f(x)=x2B.f(x)=1xC.f(x)=x+1xD.f(x)=3xx2+115.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=f(2-x),且对任意1x1<x2,均有x1-x2f(x1)-f(x2)>0,则不等式f(2x-1)-f(3-x)0的解集为. 课时规范练7函数的单调性与最值1.C解析 函数f(x)=xx的定义域是0,+),所以既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;函数f(x)=x+1x在(0,1)上单调递减,故B错误;因为f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函数f(x)=ex-e-x是奇函数,且在(0,1)上单调递增,故C正确;因为f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以函数是偶函数,故D错误.2.D解析 由于f(x)=|x-1|+3x=4x-1,x1,2x+1,x<1,显然当x1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)也单调递增,且4×1-1=2×1+1,因此函数的单调递增区间是(-,+),故选D.3.D解析 f(x)=-x2+2x-1,x1,|x-1|,x>1f(x)=-x2+2x-1,x1,x-1,x>1,如图所示,画出函数图象,根据图象知函数单调递增,f(a2-4)>f(3a),即a2-4>3a,解得a>4或a<-1,故选D.4.C解析 令F(x)=xf(x),则F(x)为偶函数,且在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减.因为f(1)=2,所以xf(x)<2xf(x)<1·f(1)F(x)<F(1),所以-1<x<1,故xf(x)<2的解集为(-1,1).5.D解析 对于A,若a<0,b<0,c<0,因为a<b<c,所以a<b<c<0,而函数f(x)=|2x-1|在区间(-,0)上单调递减,故f(a)>f(b)>f(c),与题设矛盾,故A不正确;对于B,若a<0,b0,c>0,可设a=-1,b=2,c=3,此时f(c)=f(3)=5为最大值,与题设矛盾,故B不正确;对于C,取a=0,c=3,同样f(c)=f(3)=5为最大值,与题设矛盾,故C不正确;对于D,因为a<c,且f(a)>f(c),说明可能如下情况成立:()a,c位于函数的单调递减区间-,12,此时a<c<12,可得a+c<1,所以2a+2c<2成立;()a,c不同在函数的单调递减区间-,12,则必有a<12<c,所以f(a)=1-2a>2c-1=f(c),化简整理,得2a+2c<2成立.综上所述,只有D正确.6.12,+解析 若a=0,则f(x)=-x,在1,+)上不是单调递增的;若a0,必有a>0,12a1,解得a12.综上,实数a的取值范围是12,+.7.0,14解析 因为函数f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x0满足对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,所以f(x)在R上单调递减,所以0<a<1,a-3<0,a04a,解得0<a14.8.(1)解由函数f(x)=a-3x1+3x是R上的奇函数知f(0)=0,即a-12=0,解得a=1.(2)证明由(1)知f(x)=1-3x1+3x.任取x1,x2R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1-3x11+3x1-1-3x21+3x2=(1-3x1)(1+3x2)-(1-3x2)(1+3x1)(1+3x1)(1+3x2)=2(3x2-3x1)(1+3x1)(1+3x2).因为x1<x2,所以3x1<3x2,所以3x2-3x1>0.又因为1+3x1>0且1+3x2>0,所以2(3x2-3x1)(1+3x1)(1+3x2)>0.所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上为减函数.(3)解不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以-f(2t2-k)=f(k-2t2),所以不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)可化为f(t2-2t)<f(k-2t2).由(2)知f(x)在R上为减函数,故t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t.即对于任意t2,5,不等式k<3t2-2t恒成立.设g(t)=3t2-2t,t2,5,易知8g(t)65,因此k<g(t)min=8,所以实数k的取值范围是(-,8).9.A解析 任取x1<x2,由已知得f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)在R上单调递减.由f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)可得f(mx2)-f(2x)>f(m2x)-f(2m),即f(mx2-2x)>f(m2x-2m),所以mx2-2x<m2x-2m,即mx2-(m2+2)x+2m<0,即(mx-2)(x-m)<0.又因为0<m<2,所以2m>m,此时原不等式解集为xm<x<2m.10.AC解析 对于A,y=13x在(2,4)上单调递减,故A正确;对于B,y=log2t为定义域上的增函数,t=x2+3x在(2,4)上单调递增,所以y=log2(x2+3x)在(2,4)上单调递增,故B错误;对于C,y=1x-2在(2,4)上单调递减,故C正确;对于D,y=cos x在(2,)上单调递减,在(,4)上单调递增,故D错误.11.(-2,4解析 f(x)=x-a+3+a+2x-a+3=1+a+2x-a+3,因为函数f(x)=x+5x-a+3在(1,+)上单调递减,所以只需y=a+2x-a+3在(1,+)上单调递减,因此a+2>0,a-31,解得-2<a4.12.(-1,0)解析 f(-x)=-x(|-x|+4)=-x(|x|+4)=-f(x),函数f(x)=x(|x|+4)为奇函数.又f(x)=x2+4x,x0,-x2+4x,x<0,由f(x)的图象(图略)知f(x)在(-,+)上单调递增.由f(a2)+f(a)<0,得f(a2)<-f(a)=f(-a),得a2<-a,解得-1<a<0.13.12,2(答案不唯一)解析 f(x)=x|x-1|=x(x-1),x1,x(1-x),x<1,其图象如图所示,易得f12=14,f(1)=0,f(2)=2,结合图象可知,函数在区间12,2上符合条件.14.ABD解析 函数存在“倍值区间”,则(1)f(x)在m,n内是单调函数,(2)f(m)=2m,f(n)=2n或f(m)=2n,f(n)=2m.对于A,f(x)=x2,若存在“倍值区间”m,n,则f(m)=2m,f(n)=2n,n>m,即m2=2m,n2=2n,n>m,解得m=0,n=2,f(x)=x2存在“倍值区间”0,2;对于B,f(x)=1x,若存在“倍值区间”m,n,则当x>0时,1m=2n,1n=2m,得mn=12,例如14,2为函数f(x)=1x的“倍值区间”;对于C,f(x)=x+1x,当x>0时,f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间1,+)上单调递增,若存在“倍值区间”m,n(0,1),则m+1m=2n,n+1n=2m,即m2-2mn+1=0,n2-2mn+1=0,解得m2=n2,不符合题意;若存在“倍值区间”m,n1,+),则m+1m=2m,n+1n=2n,解得m2=n2=1,不符合题意,当x<0时同理,故此函数不存在“倍值区间”;对于D,f(x)=3xx2+1,f'(x)=-3(x+1)(x-1)(x2+1)2,所以f(x)在区间0,1上单调递增,在区间1,+)上单调递减,若存在“倍值区间”m,n0,1,则3mm2+1=2m,3nn2+1=2n,n>m,解得m=0,n=22,即f(x)=3xx2+1存在“倍值区间”0,22.故选ABD.15.(-,043,+解析 因为函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为对任意1x1<x2,均有x1-x2f(x1)-f(x2)>0成立,所以函数f(x)在1,+)上单调递增.由对称性可知f(x)在(-,1上单调递减.因为f(2x-1)-f(3-x)0,即f(2x-1)f(3-x),所以|2x-1-1|3-x-1|,即|2x-2|2-x|,解得x0或x43.
