2024届高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数.docx

单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若函数f(x)=axx+a的定义域是x|xR,x2,则函数f(x)的值域为()A.(-,-2)(-2,+)B.(-,2)(2,+)C.(-,-2)D.(-2,+)2.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()A.25B.5C.259D.533.函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.已知函数f(x)=ln|x|+ex+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13>f14>f12B.f14>f-13>f12C.f12>f-13>f14D.f12>f14>f-136.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间0,3上的最小值为-2,则实数a的值为()A.-2B.-2或115C.-2或1D.±27.(2022广东茂名一模)已知a,b,c均为大于0的实数,且2a=3b=log5c,则a,b,c的大小关系正确的是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a8.(2022山东济宁三模)若函数f(x+2)为偶函数,对x1,x22,+),x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0,则()A.f(log26)<f32<f(log312)B.f(log312)<f32<f(log26)C.f32>f(log26)>f(log312)D.f(log312)>f(log26)>f32二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2022广东中山模拟)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at,下列说法正确的是()A.浮萍每月的增长率均相等B.第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需经过1.5个月D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t310.定义一种运算:ab=a,ab,b,a<b,设f(x)=(5+2x-x2)|x-1|,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象与直线y=5有三个公共点C.f(x)的单调递减区间是(-,-1和1,3D.f(x)的最小值是211.已知函数y=ax(a>0,且a1)的图象,如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()12.(2022辽宁锦州一模)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x(-1,1时,f(x)=-x2+1,则下列结论正确的是()A.f73=-89B.f(x)在区间(6,8)内单调递减C.点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.能够说明“若ax>ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为. 14.(2022山东烟台一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1<x<0时,f(x)=2x,则f(2+log25)的值为. 15.函数y=21-x的图象与函数y=4sin x(-4x6)的图象所有交点的横坐标之和为. 16.已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若x11,3,x21,3,使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a=. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x1,2时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若AB=A,求实数k的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=log14(x+3),-3<x1,(12) x+a,x>1,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为-1,+),求实数a的取值范围.19.(12分)(2022湖北高二学业考试)已知函数f(x)=xe1+x+x2.(1)用定义法证明:函数f(x)在区间(0,+)上单调递增;(2)判断函数f(x)在(-,0)上的零点个数.20.(12分)(2022四川攀枝花诊断测试)环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段国道上进行测试,国道限速80 km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据如下表所示.v0104060M01 3254 4007 200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:M1(v)=300logav+p(a>0,且a1),M2(v)=1 00023v+q,M3(v)=140v3+bv2+cv(p,q,b,cR).(1)当0v<80时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型,并说明理由;(2)求出(1)中所选函数模型的函数解析式;(3)根据(2)中所得函数解析式,求解如下问题:现有一辆同型号电动汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道(汽车行驶速度低于80 km/h),后一段是60 km的高速路(汽车行驶速度不低于80 km/h),假设汽车在两段路上都匀速行驶.若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系满足N(v)=2v2-10v-20(80v120),则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少?21.(12分)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求函数f(x)在区间0,52上的最大值;(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a(-1,2,使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=loga(ax+1)+bx(a>0,且a1,bR)是偶函数,函数g(x)=ax(a>0,且a1).(1)求实数b的值;(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,求实数a的取值范围.单元质检卷二函数与基本初等函数1.A解析:由x+a0,得x-a,因此a=-2,所以f(x)=-2-4x-2.因为4x-20,所以-2-4x-2-2,即函数f(x)的值域为(-,-2)(-2,+),故选A.2.C解析:由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=2a23b=53,所以4a-3b=259,故选C.3.C解析:令y=4x-6·2x+8=0,即(2x-4)(2x-2)=0,即2x=4或2x=2,解得函数的零点为x1=2,x2=1,故零点之和等于3.4.C解析:若f(x)是R上周期为5的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),所以f(-12)=-f(12)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(-12)-f(4)=-2-(-1)=-1,故选C.5.C解析:由f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x),且f(x)的定义域为(-,0)(0,+),得f(x)为偶函数,所以f-13=f13.当x>0时,f(x)=lnx+ex+e-x,则f'(x)=1x+e2x-1ex>0,即f(x)在区间(0,+)上单调递增.因为14<13<12,所以f14<f-13<f12,故选C.6.D解析:函数f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2-a2+a,当a0时,函数在区间0,3上单调递增,函数的最小值f(0)=a=-2,符合题意;当0<a<3时,函数f(x)在区间0,3上的最小值为f(a),由f(a)=-a2+a=-2,解得a=-1(舍去)或a=2,所以a=2;当a3时,函数f(x)在区间0,3上单调递减,由函数的最小值f(3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不符合题意.综上可知a=±2,故选D.7.C解析:因为a,b,c均为大于0的实数,所以2a=3b=log5c=t>1,进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=log5x的图象与直线y=t>1的交点的横坐标的关系.作出函数图象,如图,由图可知c>a>b.8.A解析:因为对x1,x22,+),且x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0,所以函数f(x)在区间2,+)上单调递减.又函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f32=f52.因为log26=1+log23>2,log312=1+log34>2,log23+1-52=log23-32=log23-log2232=log23-log28>0,所以log23+1>52,log34+1-52=log34-32=log34-log3332=log34-log327<0,所以log34+1<52,所以log26>52>log312>2,所以f(log26)<f52<f(log312),即f(log26)<f32<f(log312).9.ABD解析:函数y=at的图象经过点(1,2),2=a1,即a=2,y=2t.对于A,2t+1-2t2t=1,浮萍每月的增长率均相等,故A正确;对于B,第5个月时,浮萍的面积为25=32m2,超过了30m2,故B正确;对于C,第2个月时浮萍的面积为4m2,第3.5个月时浮萍的面积为23.5=272=8211.31<12m2,故C错误;对于D,2=2t1,3=2t2,6=2t3,t1=log22,t2=log23,t3=log26,t1+t2=t3,故D正确.10.ACD解析:由题意,f(x)=(5+2x-x2)|x-1|=5+2x-x2,-1x3,|x-1|,x<-1或x>3,作出函数的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;函数f(x)的图象与直线y=5有四个公共点,故B错误;函数f(x)的单调递减区间是(-,-1和1,3,故C正确;函数f(x)的最小值是2,故D正确,故选ACD.11.ABD解析:由题图可得a1=2,即a=2.y=a-x=12x单调递减,且过点(-1,2),故A正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+)上单调递减,在(-,0)上单调递增,故B正确;y=a|x|=2|x|=2x,x0,2-x,x<0为偶函数,结合指数函数图象可知对应不正确,故C错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知D正确,故选ABD.12.CD解析:f(x-1)为奇函数,f(-x-1)=-f(x-1),即f(-x)=-f(x-2),f(x)的图象关于点(-1,0)对称.f(x+1)为偶函数,f(-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2),f(x)的图象关于直线x=1对称.由f(-x)=-f(x-2),f(-x)=f(x+2),得f(x+2)=-f(x-2),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为8的周期函数.对于A,f73=f13+2=f-13=-132+1=89,A错误;对于C,f(x+6)=-f(x+2)=-f(-x),即f(x+6)+f(-x)=0,f(x)的图象关于点(3,0)成中心对称,C正确;对于B,D,由周期性和对称性可得f(x)的大致图象如下图所示,由图象可知f(x)在区间(6,8)内单调递增,B错误;方程f(x)+lgx=0的解的个数,等价于函数f(x)与y=-lgx图象的交点个数,f(12)=f(4)=-f(0)=-1,-lg12<-lg10=-1,结合图象可知f(x)与y=-lgx的图象共有6个交点,即方程f(x)+lgx=0有6个实数解,D正确.故选CD.13.-1,1(答案不唯一)解析:当ax>ay,a<0时,可得1x<1y,当x,y同号时,可得x>y;当x,y异号时,y>0>x,故取整数x,y满足y>0>x即可.14.-45解析:由题意得f(2-x)=-f(x)=f(-x),所以f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log25)=f2×2+log254=flog254=-flog245,又-1<log245<0,所以f(2+log25)=-2log245=-45.15.12解析:设f(x)=21-x,g(x)=4sinx,当x1时,f(2-x)=21-(2-x)=2x-1=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)=21-x的图象关于点(1,0)对称,g(2-x)=4sin(2-x)=4sin(2-x)=-4sinx=-g(x),即g(2-x)+g(x)=0,所以函数g(x)=4sinx的图象也关于点(1,0)对称,作出函数y=21-x与函数y=4sinx(-4x6)的图象,如图所示.由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.16.43解析:已知a>1,由f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2),得x1x2=(ax12-x1)(ax22-x2),即(ax1-1)(ax2-1)=1,即ax2-1=1ax1-1.所以x2=x1ax1-1对于x11,3,x21,3成立,所以11a-1x13对x11,3恒成立,13+1x1maxa1+1x1min,13+1a1+13,a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2在(0,+)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增,满足题意.故m的值为0.(2)由(1)知f(x)=x2,在区间1,2上,f(x),g(x)均单调递增,所以A=1,4,B=2-k,4-k,因为AB=A,即BA,所以2-k1,4-k4,解得0k1.故实数k的取值范围为0,1.18.解(1)当x(-3,1时,f(x)=log14(x+3)单调递减;当x(1,+)时,f(x)=12x+a单调递减.所以要使函数f(x)在定义域上是单调函数,应满足log14(1+3)121+a,即a+12-1,解得a-32.故实数a的取值范围是-,-32.(2)当x(-3,1时,f(x)=log14(x+3)-1,+),当x(1,+)时,f(x)=12x+aa,a+12,因为函数f(x)的值域为-1,+),所以a,a+12-1,+),因此a-1,即实数a的取值范围是-1,+).19.(1)证明 设x1,x2(0,+),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1e1+x1+x12-x2e1+x2x22=e1+x2(x1ex1-x2-x2)+(x1-x2)(x1+x2).因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1+x2>0,所以ex1-x2<1,e1+x2>e,所以x1ex1-x2<x1,所以x1ex1-x2-x2<x1-x2<0,所以e1+x2(x1ex1-x2-x2)<0,(x1-x2)(x1+x2)<0,所以e1+x2(x1ex1-x2-x2)+(x1-x2)(x1+x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以函数f(x)在区间(0,+)上单调递增.(2)解f(x)=xe1+x+x2=x(e1+x+x),x(-,0).令g(x)=e1+x+x,x(-,0),因为y=e1+x与y=x在区间(-,0)上均单调递增,所以g(x)=e1+x+x在区间(-,0)上单调递增.又g(0)=e,g(-1)=e1-1-1=0,所以当x<-1时,g(x)<0;当-1<x<0时,g(x)>0.所以当x<-1时,f(x)>0;当-1<x<0时,f(x)<0,f(-1)=0,所以f(x)在(-,0)上有且仅有1个零点.20.解 (1)若选M1(v)=300logav+p,则当v=0时,该函数无意义,不符合题意.若选M2(v)=100023v+q,显然该函数是减函数,这与M(40)<M(60)矛看,不符合题意.故选择M3(v)=140v3+bv2+cv.(2)选择M3(v)=140v3+bv2+cv,由表中数据,得140×403+b×402+c×40=4400,140×603+b×602+c×60=7200,解得b=-2,c=150.所以当0v<80时,M3(v)=140v3-2v2+150v.(3)由题意知,该汽车在国道路段所用时间为200v(0<v<80)h,所耗电量f(v)=200v·M3(v)=200v·140v3-2v2+150v=5(v2-80v+6000)=5(v-40)2+22000(0<v<80),所以当v=40时,f(v)min=22000.该汽车在高速路段所用时间为60v(80v120)h,所耗电量g(v)=60v·N(v)=60v·(2v2-10v-20)=120v-10v-600(80v120),易知g(v)在区间80,120上单调递增,所以g(v)min=g(80)=120×80-1080-600=8985.故当该汽车在国道上的行驶速度为40km/h,在高速路上的行驶速度为80km/h时,总耗电量最少,最少为22000+8985=30985(Wh).21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x0,2,则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-322+14,所以f(x)max=f32=14.若x2,52,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14,f(x)在此区间上单调递增,所以f(x)max=f52=34.综上,f(x)在区间0,52上的最大值为34.(2)令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0,则方程x|x-a|-(x-a)=m在a(-1,2时有三个根,即函数h(x)=x2-(a+1)x+a,xa,-x2+(a-1)x+a,x<a的图象与直线y=m有三个交点.当-1<a<1时,h(x)在-,a-12,a+12,+上单调递增,在区间a-12,a+12内单调递减,此时,ha+12<m<ha-12,可得-(a-1)24<m<(a+1)24,故-1<m<1;当1a2时,h(x)在区间-,a-12,(a,+)上单调递增,在区间a-12,a内单调递减,此时,0<m<ha-12,可得0<m<(a+1)24,又(a+1)241,94,故0<m<94.综上,实数m的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f(x)为偶函数,所以xR,有f(-x)=f(x).即loga(a-x+1)-bx=loga(ax+1)+bx在R上恒成立.所以loga(a-x+1)-loga(ax+1)=2bx在R上恒成立.所以2bx=-x,故b=-12.(2)若函数h(x)=f(x)-12x-a有零点,则方程loga(ax+1)-x=a有解,即loga1+1ax=a有解.令p(x)=loga1+1ax,则函数y=p(x)的图象与直线y=a有交点.当0<a<1时,因为1+1ax>1,所以p(x)=loga1+1ax<0,所以loga1+1ax=a无解.当a>1时,因为1+1ax>1,所以p(x)=loga1+1ax>0,由loga1+1ax=a有解可知a>0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+).