2024年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第5讲向量极化恒等式.docx

第5讲向量极化恒等式极化恒等式：a·b22.变式：a·b，a·b.如图，在ABC中，设M为BC的中点，则·22.例(1)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点·4，·1，则·的值为_答案解析设BDDCm，AEEFFDn，则AD3n.根据向量的极化恒等式，有·229n2m24，·22n2m21.联立解得n2，m2.因此·224n2m2.即·.(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是_答案0,2解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径设内切球的球心为O，则·2221.由于P为正方体表面上的动点，故OP1，所以·0,2利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题1已知在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有··，则()AABC90°BBAC90°CABACDACBC答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为P0BAB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为CEB的中位线，DP0CE.根据向量的极化恒等式，有·22，·22.又··，则|恒成立，必有DP0AB.因此CEAB，又E为AB的中点，所以ACBC.2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是_答案2解析如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则·2.因为OMONNMADAB，当且仅当O，N，M三点共线时取等号