2024年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第3讲平面向量数量积的最值问题.docx

第3讲平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化例(1)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则·的最大值等于()A13B15C19D21答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，At(0，t)(1,4)，P(1,4)，··(1，t4)1717213，当且仅当t时等号成立·的最大值等于13.(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若2，则·的最小值为_答案52解析以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(1，)，C(2，)，设P(2cos，2sin)，则·(22cos，2sin)·(12cos，2sin)52cos4sin52sin()，其中0<tan<，所以0<<，当时，·取得最小值，为52.数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质1在ABC中，若A120°，A·1，则|的最小值是_答案解析由·1，得|·|·cos120°1，即|·|2，所以|2|222·22|·|2·6，当且仅当|时等号成立，所以|min.2(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，B60°，AB3，BC6，且，·，则实数的值为_，若M，N是线段BC上的动点，且|1，则·的最小值为_答案解析因为，所以ADBC，则BAD120°，所以·|·|·cos120°，解得|1.因为，同向，且BC6，所以，即.在四边形ABCD中，作AOBC于点O，则BOAB·cos60°，AOAB·sin60°.以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a1,0)，且a.又D，所以，所以·a2a2.所以当a时，·取得最小值.3已知平面向量a，b，e满足|e|1，a·e1，b·e2，|ab|2，则a·b的最大值为_答案解析不妨设e(1,0)，a(1，m)，b(2，n)(m，nR)，则ab(1，mn)，故|ab|2，所以(mn)23，即3m2n22mn2mn2mn4mn，则mn，所以a·b2mn，当且仅当mn时等号成立，所以a·b的最大值为.4在平行四边形ABCD中，若AB2，AD1，·1，点M在边CD上，则·的最大值为_答案2解析在平行四边形ABCD中，因为AB2，AD1，·1，点M在边CD上，所以|·|·cosA1，所以cosA，所以A120°，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B(2,0)，D.设M，x，因为，所以·x(x2)x22x(x1)2.设f(x)(x1)2，因为x，