2024届高考数学(北师大版)一轮复习试题-第八章立体几何与空间向量课时规范练33　基本立体图形及空间几何体的表面积和体积.docx

课时规范练33基本立体图形及空间几何体的表面积和体积基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是()2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的13,若原平面图形OABC的面积为32,则O'A'的长为()A.2B.2C.3D.323.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4,则该圆锥的表面积为()A.2B.(4+25)C.(3+5)D.8+54.已知某圆柱的轴截面是正方形,且该圆柱的侧面积是4,则该圆柱的体积是()A.2B.4C.8D.125.将半径为3,圆心角为23的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为()A.23B.33C.43D.26.定义:24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10 mm),中雨(10 mm25 mm),大雨(25 mm50 mm),暴雨(50 mm100 mm),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.下列四个论断不正确的是()A.过圆锥两母线的截面面积中,最大的不一定是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体,体积较大的是球体8.已知某圆锥底面圆的半径r=1,侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为. 9.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°,侧面积为43,则该棱锥的体积为. 综合提升组10.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4R3B.圆锥的侧面积为2R2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为31211.用长度分别是2,3,5,6,9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的对应长方体的最大表面积为()A.258 cm2B.414 cm2C.416 cm2D.418 cm212.如图,一个圆锥形物体的母线长为6,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为62,则该圆锥形物体的底面半径为. 13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=14,BC=5,AA1=4,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=2.(1)求直线CF与C1E所成角的余弦值;(2)过点E,F的平面与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,求平面把该长方体分成的较小部分与较大部分的体积的比值.创新应用组14.有一种外形为圆锥形的斗笠,称为“灯罩斗笠”,根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用,不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量,现有一个“灯罩斗笠”,帽坡长20厘米,帽底宽203厘米,关于此斗笠,下面说法错误的是()A.分笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1003平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上,则该球的表面积为1 600平方厘米D.此斗笠放在平面上,可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(203-30)厘米15.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫作多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是3,所以正四面体在各顶点的曲率为2-3×3=,故其总曲率为4.(1)求四棱锥的总曲率;(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,证明:这类多面体的总曲率是常数.课时规范练33基本立体图形及空间几何体的表面积和体积1.A解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A中的平面图形旋转形成的.故选A.2.D解析:设O'A'=x,则O'B'=2x,在原图形中OB=2O'B'=22x,BC=B'C'=x3,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,面积为S=12×x+13x×22x=32,解得x=32,故选D.3.B解析:设圆锥底面圆半径为r,则2r=4,解得r=2.圆锥的表面积S表=S底面圆+S侧=r2+12lR=×22+12×4×5=(4+25).故选B.4.A解析:设该圆柱的底面圆半径为r,则圆柱的高(母线)为h,而圆柱的轴截面是正方形,则h=2r,圆柱侧面积为2rh=4,即4r2=4,解得r=1,h=2,故该圆柱的体积是r2h=2.故选A.5.A解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则2r=23×3,所以r=1,则h=32-12=22.设内切球的半径为R,则R22-R=13,所以R=22,所以V=43R3=43×223=23.故选A.6.B解析:由题可知,圆锥内积水的高度是圆锥高度的一半,则圆锥内积水部分的半径为r=12×12×200=50(mm),h=12×300=150(mm).所以由定义可得,积水厚度d=13×502×150×1002=12.5(mm),属于中雨.故选B.7.B解析:由于圆锥母线长度都相等由于圆锥母线长度都相等,设两母线的夹角为,母线长为2,则过圆锥两母线的截面面积为12×2×2sin=2sin,当轴截面两母线的夹角=150°时,轴截面的面积为2sin150°=1,此时可以找到一个两母线的夹角=90°不是轴截面的截面,其面积为2sin90°=2,故A正确;当已知直线垂直于已知平面时,过已知直线的所有平面都垂直于已知平面,故B错误;由于棱柱和圆柱的体积都是底面积乘高,则等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等,故C正确;设正方体的棱长为a,球的半径为R,则S=4R2=6a2,球的体积为V1=43×R3=S3×S4,正方体的体积为V2=a3=S6×S6,所以V1>V2,故D正确.故选B.8.33解析:圆锥的侧面展开图是一个半圆,圆锥的底面周长为2,即侧面展开图半圆的弧长是2,则半圆的半径,即圆锥的母线为2.圆锥的高为22-12=3.圆锥的体积V=13×12×3=33.9.423解析:设正四棱锥底面边长为2a,且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°,则四棱锥的高为2a.又正四棱锥的侧面积为43,所以每个侧面的面积为3.则12×2a×3a=3,解得a=1.即正四棱锥的高为2,故该棱锥的体积为13×22×2=423.10.D解析:依题意圆柱的底面半径为R,则圆柱的高为2R,故圆柱的体积为R2×2R=2R3,故A错误;由题可得,圆锥的母线长为5R,圆锥的侧面积为R×5R=5R2,故B错误;圆柱的侧面积为4R2,圆锥表面积为5R2+R2,故C错误;V圆柱=R2·2R=2R3,V圆锥=13R2·2R=23R3,V球=43R3,V圆柱V圆锥V球=2R323R343R3=312,故D正确.故选D.11.C解析:设长方体的三条棱的长度为a,b,c,所以长方体表面积S=2(ab+bc+ac)(a+b)22+(b+c)22+(a+c)22,当且仅当a=b=c时取等号又由题意可知a=b=c不可能成立,所以当a,b,c的长度最接近时,此时对应的表面积最大,此时三边长分别为8cm,8cm,9cm,用2cm和6cm连接在一起形成8cm,用3cm和5cm连接在一起形成8cm,剩余一条棱长为9cm,所以最大表面积为2×(8×8+8×9+8×9)=416(cm2).故选C.12.32解析:圆锥侧面展开图为扇形POP',如图.由题知,OP=OP'=6,小虫爬行的最短路程为线段PP',即PP'=62.显然有OP2+OP'2=72=PP'2,即POP'=2.设圆锥底面圆半径为r,则有2r=6×2=3,解得r=32.即圆锥形物体的底面半径为32.13.解(1)连接EF,EB,BC1,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1ED1F,所以四边形A1EFD1是平行四边形,所以A1D1与EF平行且相等,所以EF与BC平行且相等,所以四边形EFCB为平行四边形,所以FCBE,直线CF与C1E所成角就是C1EB或其补角,C1E=EF2+FC12=13,EB=EB12+BB12=410,C1B=B1B2+B1C12=41,在C1EB中,由余弦定理,cosC1EB=C1E2+EB2-C1B22C1E·EB=169+160-412×13×410=181065,所以直线CF与C1E所成角的余弦值为181065.(2)设过点E,F的平面与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,即正方形EFNM,则EM=5,作EPAB于点P,作FQDC于点Q,所以PM=3,所以点M在点P的右侧,平面把该长方体分成的两部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,两个直棱柱的高相等,两部分体积之比为VAMEA1-DNFD1VEMBB1-FNCC1=AM+A1E2·AA1·ADMB+B1E2·AA1·BC=721=13.14.B解析:对于A,作出图形如图所示,PO=202-(103)2=400-300=10,所以sinAPO=AOAP=10320=32,因为0°<APO<90°,故APO=60°,所以APB=120°,故选项A正确;对于B,设APB=,截面三角形面积为S=12·PA2·sin=200sin200,故选项B不正确;对于C,设外接球球心为M,半径为R,所以MA=MP=R,在AOM中,由勾股定理可得300+(R-10)2=R2,解得R=20,所以该球的表面积S=4×202=1600,故选项C正确;对于D,设球心为O',截面主视图如图所示,设内切圆半径为r,ABP各边长分别为PA=PB=20,AB=203,所以12×(20+20+203)r=12×203×10,解得r=203-30,故选项D正确.故选B.15.(1)解由题可知,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑,所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知,四棱锥共有5个顶点,5个面,其中4个为三角形,1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形,1个为四边形组成,则其总曲率为2×5-(4+2)=4.(2)证明设顶点数、棱数、面数分别为n,l,m,所以有n-l+m=2.设第i个面的棱数为xi,所以x1+x2+xm=2l,所以总曲率为2n-(x1-2)+(x2-2)+(xm-2)=2n-(2l-2m)=2(n-l+m)=4,所以这类多面体的总曲率是常数.