备战2023年高考数学二轮专题复习考点过关检测31__空间角.docx

考点过关检测31_空间角一、单项选择题1在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线与AC成60°角的是()AB1C1 BBC1CDD1 DB1D22022·福建泉州模拟在长方体ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A. B.C D32022·河北邯郸模拟如图，圆台OO1的上底面半径为O1A11，下底面半径为OA2，母线长AA12，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为()A30° B45°C60° D90°42022·广东深圳模拟在正三棱柱ABC­A1B1C1中，2ABAA1，则B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为()A. B.C. D.5若一个圆锥的母线与底面所成的角为60°，侧面积为14，则该圆锥的体积为()A. B7C. D1462022·福建师大附中模拟过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.72022·江苏南京模拟如图，四棱锥P­ABCD的底面为矩形，PD底面ABCD，AD1，PDAB2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则下列说法错误的是()Al平面PADBlPDC直线PA与l所成角的正切值为D平面截四棱锥P­ABCD所得的上下两部分几何体的体积之比为82022·山东济南模拟已知菱形ABCD，ABBD2，将ABD沿BD折起，使二面角A­BD­C的大小为60°，则三棱锥A­BCD的体积为()A. B.C. D2二、多项选择题9已知正四棱锥S­ABCD的侧棱长是底面边长的倍，O为底面中心，E是SB的中点，AC2，则()A异面直线AE，SC所成角的余弦值为BSAC异面直线AE，SC所成角的余弦值为DSO102022·山东淄博模拟已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则()A棱台的侧面积为8B棱台的体积为13C棱台的侧棱与底面所成的角D棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为112022·江苏苏州十中月考矩形ABCD中，AB2，BC1，将此矩形沿着对角线BD折成一个三棱锥C­BDA，则以下说法正确的有()A三棱锥C­BDA的体积最大值为B当二面角C­BD­A为直二面角时，三棱锥C­BDA的体积为C当二面角C­BD­A为直二面角时，三棱锥C­BDA的外接球的表面积为5D当二面角C­BD­A不是直二面角时，三棱锥C­BDA的外接球的表面积小于512.2022·广东珠海模拟如图，三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，AB2，BC2，AC4，A到平面PBC的距离为，则()APA4B三棱锥P­ABC的外接球的表面积为32C直线AB与直线PC所成角的余弦值为DAB与平面PBC所成角的正弦值为三、填空题13.2022·河北秦皇岛一中月考如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，CBCC12，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为 _.14在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小是_15.2022·湖北武汉模拟如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的平面角的正切值为_16.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，且PAAD，AB1，则异面直线PB与CD所成角的大小为_；二面角P­CD­A的大小为_四、解答题17.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面ACE；(2)设PA1，AD，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P­ABCD的体积18.2022·湖南长沙模拟如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点(1)求证：平面AEF平面B1BCC1.(2)若二面角F­AE­C为45°，求三棱锥F­AEC的体积考点过关检测31空间角1答案：B解析：因为B1C1BC，所以AC与B1C1所成的角为ACB45°因为BC1AD1，所以AC与BC1所成的角为CAD160°因为DD1平面ABCD，所以AC与DD1所成的角为90°，因为ACBD，ACBB1，BDBB1B，所以AC平面BDD1B1，因为B1D平面BDD1B1，所以ACB1D，即AC与B1D所成的角为90°.2答案：A解析：联接B1D，交AC1于O点，则O点为B1D的中点，取CD的中点E，则OEB1C异面直线AC1与B1C所成角即直线AC1与OE所成角，在OAE中，OA1，OEB1C×，AE则cosAOE故异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.3答案：B解析：在直角梯形OO1A1A中，B为OA的中点，OA2，O1A1OBAB1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，OO1A1B，BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在RtAA1B中，AA12，AB1，A1B；连接OC，在RtOBC中，由OB1，OC2得：BC；在RtA1BC中，BCA1B，BA1C45°.4答案：B解析：取AB中点D，连接B1D，CD，三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，ABC为等边三角形，AA1平面ABC，D为AB中点，CD平面ABC，CDAB，CDAA1，又AB，AA1平面AA1B1B，ABAA1A，CD平面AA1B1B，B1C与平面AA1B1B所成角为CB1D，不妨设ABa，则AA1BB12a，CDa，B1Da，tanCB1D，即B1C与平面AA1B1B所成角的正切值为.5答案：A解析：设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，由圆锥的结构特征知：cos 60°，即l2r，圆锥侧面积Srl2r2，则2r214，r，l2，圆锥的高h，圆锥的体积为Vr2h·()2·.6答案：B解析：设APAB1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，(1,1，1)，(0,1，1)，设平面PCD的法向量m(x，y，z)，则，取y1，则z1，得m(0,1,1)，平面ABP的法向量n(0,1,0)，设平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为，则cos .7答案：C解析：因为ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC，又AD平面ADE，平面ADE平面PBCl，所以ADl，而AD平面PAD，l平面PAD，所以l平面PAD，A正确；PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD，所以PDl，B正确；直线PA与l所成角即PAD，在PAD中tanPAD2，C错；取PC中点F，因为E是PB中点，则EFBC，所以EFAD，EF即为直线l，连接BD，ABCD是矩形，SABDSBDC，则VP­ABDVP­BDCVP­ABCD，EF是PBC的中位线，所以SPEFSPBC，所以VD­PEFVD­PBCVP­ABCD，AE是PAB的中线，SPAESABE，VD­PAEVD­PABVP­ABCD，所以VP­AEFDVD­PEFVD­PAEVP­ABCD，从而VABCDEFVP­ABCD，所以.D正确8答案：A解析：由题意可得示意图，E为BD中点，AEC60°，ABCD是菱形，ABBD2，AECEAC，即AEC为等边三角形，则A到CE的高为h，又BDAE，BDCE，AECEE，有BD面ACE，BD面BDC，面ACE面BDC，且面ACE面BDCCE，故h为三棱锥A­BCD的高，SBDCBC·DC·sin 60°，VA­BCDh·SBDC.9答案：BCD解析：S­ABCD是正四棱锥，四边形ABCD为正方形，ACBD，ABBCAC|AB|，AC2, AB，正四棱锥S­ABCD的侧棱长是底面边长的倍 SASBSCSD，故B正确；S­ABCD是正四棱锥，SO平面ABCD，SOOA，SOOB，ACBD，OAOB，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz. 在RtSAO中，SOOA，SA，OA1，SO，故D正确；由题意A(1,0,0)，S(0,0，)，C(1,0,0)，E，(1,0，)cos ，异面直线AE与SC所成角的余弦值为，故C正确10答案：AC解析：作正四棱台如图所示：对于A，过A1作A1HAB于H，过A1作A1MAC于M，所以A1M平面ABCD，AHMH，AM，又因为AHMH，AH1，所以A1H，AB2AH13 ，所以棱台的侧面积为4×8，所以A正确；对于B，上底面面积S121，下底面面积S329，棱台的体积为Vh(SS)××1313，故B错误；对于C，因为AM为AA1在底面的投影，所以A1AM为侧棱与底面所成角cos A1AM，则A1AM，所以C正确；对于D，A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos A1HM，所以D错误11答案：ABC解析：过C作CEBD于E，在平面DBA内过E作BD的垂线EG，则CEG为二面角C­BD­A的平面角，如图，平面CEG平面DBA，过C作CFEG于F，则CF平面DBA，在直角BCD中，BCD90°，BC1，CD2，CE，显然CFCE，当且仅当点E与F重合时取“”，即点C到平面ABD距离的最大值为CE，而SDBAAB·AD1，则三棱锥CBDA的体积最大值为CE·SDBA，A正确；当CF取最大值时，CF平面BCD，又CF平面DBA，则平面BCD平面DBA，即二面角C­BD­A为直二面角，三棱锥C­BDA的体积为，B正确；取BD中点O，连接AO，CO，显然有AOCOBDBODO，于是得点A，B，C，D在以O为球心，AO为半径的球面上，显然，无论二面角C­BD­A如何变化，点A，B，C，D都在上述的球O上，其表面积为5，C正确，D不正确12答案：ABD解析：因为AB2，BC2，AC4，所以AB2BC2AC2，即ABBC，又因为PA平面ABC，所以PAAB，PABC，设APa，根据等体积法VP­ABCVA­PBC，即××2×2×a××2××，解得a4，所以APa4，故A选项正确；所以三棱锥P­ABC的外接球的半径与以BC，BA，AP为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三棱锥P­ABC的外接球的半径为2，所以三棱锥P­ABC的外接球的表面积为32，故B选项正确；过点B作PA的平行线BD，则BD平面ABC，所以以点B为坐标原点，BC，BA，BD所在边分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(2，0,0)，A(0,2,0)，P(0,2,4)，所以(0，2,0)，(2，2，4)，所以cos ，所以直线AB与直线PC所成角的余弦值为，故C选项错误；因为(2，0,0)，(0,2,4)，设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则，即，令z1，所以m(0，2,1)，由于(0，2,0)故设AB与平面PBC所成角为，则sin |cos m，|.所以AB与平面PBC所成角的正弦值为，故D选项正确13答案：解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(1，0)，M(，2)，N(1,0,2)(1,0,2)，cos ，.14答案：45°解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有DD1平面ABCD，直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，所以DAD1为直线AD1与平面ABCD所成角，在RtDAD1中，ADDD1，所以DAD145°.15答案：解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，O为AC的中点，又点F为PC的中点，所以OFAP，因为PA平面ABCD，所以OF平面ABCD，以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BDF的一个法向量设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，则，令x1，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)，所以cosn，sinn，所以tann，.由题图知二面角C­BF­D的平面角为锐角，故二面角C­BF­D的平面角的正切值为.16答案：60°45°解析：(1)因为ABCD，所以PBA就是异面直线PB与CD所成的角或其补角，因为PA平面ABCD，所以PAAB，因为PA，AB1，所以PBA60°；(2)因为PA平面ABCD，所以PACD，又CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD，所以PDA就是二面角P­CD­A的平面角，因为PAAD，所以PDA45°.所以二面角P­CD­A的大小为45°.17解析：(1)连接BD交AC于点O，连接OE. 在PBD中，因为PEDE，BODO，所以PBOE，因为OE平面ACE，PB平面ACE，则PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，所以PBA就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以PBA45°，又PA1，AD，所以PA1AB，所以四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD×PA×AB×AD×1×1×，所以四棱锥P­ABCD的体积为.18解析：(1)证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E是BC的中点，AEBC，又BCBB1B，BC、BB1平面B1BCC1，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；(2)由(1)知，AE平面B1BCC1，则AEBC，AEEF，可得FEC为二面角F­AE­C的平面角为45°，在RtFCE中，可得FCEC，等边三角形ABC的边长为2，AE，CECF1，则三棱锥F­AEC的体积V××1××1.