2024年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第3讲椭圆双曲线抛物线.docx

第3讲椭圆、双曲线、抛物线考情分析高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题考点一椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程核心提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(0<2a<|F1F2|)(3)抛物线：|PF|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PMl于点M.2求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值例1(1)(2020·广州四校模拟)若椭圆1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D解析椭圆1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，可得2a2c16，椭圆1(其中a>b>0)的离心率为，可得，解得a5，c3，则b4，所以椭圆C的方程为1.(2)(2020·全国)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A.B3C.D2答案B解析方法一由题意知a1，b，c2，F1(2,0)，F2(2,0)，如图，因为|OF1|OF2|OP|2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2(2c)216.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为|PF1|PF2|3.方法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|24.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|.所以PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|×4×3.易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2b2c2，双曲线中的关系式为c2a2b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置跟踪演练1(1)设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x答案C解析方法一因为以MF为直径的圆过点(0,2)，所以点M在第一象限由|MF|xM5，得xM5，即M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为.因为点N的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y轴相切于点(0,2)，从而2，即p210p160，解得p2或p8，所以抛物线方程为y24x或y216x.方法二由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)，则，.由已知，得·0，即y8y0160，解得y04，M.由|MF|5，得5.又因为p>0，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.(2)已知椭圆C：1(m>4)的右焦点为F，点A(2,2)为椭圆C内一点，若椭圆C上存在一点P，使得|PA|PF|8，则实数m的取值范围是()A(62，25 B9,25C(62，20 D3,5答案A解析椭圆C：1(m>4)的右焦点F的坐标为(2,0)设左焦点为F，则F(2,0)由椭圆的定义可得2|PF|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|PA|PF|282.由|PA|PF|AF|2，可得2822，解得35，所以9m25.又点A在椭圆内，所以<1(m>4)，所以8m16<m(m4)(m>4)，解得m<62(舍)或m>62.由得62<m25，故选A.考点二圆锥曲线的几何性质核心提炼1求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e.(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围2与双曲线1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay0的双曲线方程为(0)例2(1)设F1，F2分别是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·0，2，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.答案C解析2，设|BF2|x，则|AF2|2x，|AF1|2a2x，|BF1|2ax，·0，AF1AF2，在RtAF1B中，有(2a2x)2(3x)2(2ax)2，解得x，|AF2|，|AF1|，在RtAF1F2中，有22(2c)2，整理得，e.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：yx1与抛物线y24x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为()A.B4C7D8答案B解析由题意可知直线yx1过抛物线y24x的焦点(1,0)，如图，AA，BB，MM都和准线垂直，并且垂足分别是A，B，M，由图象可知|MM|(|AA|BB|)，根据抛物线的定义可知|AA|BB|AB|，|MM|AB|，联立得x26x10，设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，x1x26，|AB|x1x228，|MM|4.二级结论抛物线的有关性质：已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|x1x2p(为直线l的倾斜角)(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(3).跟踪演练2(1)已知F是抛物线C：y22px(p>0)的焦点，抛物线C的准线与双曲线：1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e等于()A.B.C.D.答案D解析抛物线的焦点坐标为，准线方程为x，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y±，可得|AB|，由ABF为等边三角形，可得p·，即有，则e.(2)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为|MA|，若2，则|AF|等于()A.B1C2D3答案B解析如图所示，由题意知，|MF|x0.圆M与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为|MA|，|MA|2|DM|2.2，|MF|MA|，x0p.又点M(x0,2)在抛物线上，2p28，又p>0，p2.|MA|22，|AF|1.考点三直线与圆锥曲线的位置关系核心提炼解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的式子，进而求解即可例3(2020·全国)已知椭圆C：1(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积解(1)由题设可得，得m2，所以C的方程为1.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y(x5)，所以|BP|yP，|BQ|.因为|BP|BQ|，所以yP1.将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线BP的方程得yQ2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q2(6,8)所以|P1Q1|，直线P1Q1的方程为yx，点A(5,0)到直线P1Q1的距离为，故AP1Q1的面积为××；|P2Q2|，直线P2Q2的方程为yx，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的面积为××.综上，APQ的面积为.规律方法解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组(3)注意用好圆锥曲线的几何性质(4)注意几何关系和代数关系之间的转化跟踪演练3(1)(2019·全国)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B.1C.1D.1答案B解析由题意设椭圆的方程为1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin.在等腰三角形ABF1中，cos2，因为cos212sin2，所以122，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.(2)设F为抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|3|FB|，则直线AB的斜率为()A.B1C.D.答案D解析假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|AF|，|BE|BF|，又|FA|3|FB|，|AD|CE|3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|m，则|BC|2m，|AF|3m，|AB|4m，即|AC|2m，则tanABC，即直线AB的斜率k.专题强化练一、单项选择题1(2020·福州模拟)已知双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案C解析因为双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，所以，所以双曲线的离心率e.2(2020·全国)已知A为抛物线C：y22px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于()A2B3C6D9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x12.又因为点A到y轴的距离为9，即x9，所以912，解得p6.3已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为，则C的方程为()A.1B.1C.1D.y21答案C解析由AF1B的周长为4，可知|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，解得a，则M，N(，0)设点A(x0，y0)(x0±)，由直线AM与AN的斜率之积为，可得·，即y(x3)，又1，所以yb2，由解得b22.所以C的方程为1.4设F为双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.B.C2D.答案A解析如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为2y2，将x2y2a2记为式，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的公共弦所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e.5(2020·潍坊模拟)已知点P为双曲线C：1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|4|HF1|，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案C解析如图，取PF1的中点M，连接MF2.由条件可知|HF1|PF1|MF1|，O是F1F2的中点，OHMF2，又OHPF1，MF2PF1，|F1F2|PF2|2c.根据双曲线的定义可知|PF1|2a2c，|HF1|，直线PF1的方程是y(xc)，即axbyac0，原点到直线PF1的距离|OH|a，在OHF1中，a22c2，整理为3c22ac5a20，即3e22e50，解得e或e1(舍)二、多项选择题6(2020·新高考全国)已知曲线C：mx2ny21.()A若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn>0，则C是圆，其半径为C若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y±xD若m0，n>0，则C是两条直线答案ACD解析对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确对于B，当mn>0时，方程化为x2y2，表示半径为的圆，故B错误对于C，当m>0，n<0时，方程化为1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，渐近线方程为y±x；当m<0，n>0时，方程化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a，b，渐近线方程为y±x，故C正确对于D，当m0，n>0时，方程化为y±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确7已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y±x，则下列结论正确的是()AC的方程为y21BC的离心率为C曲线yex21经过C的一个焦点D直线xy10与C有两个公共点答案AC解析因为渐近线方程为y±x，所以可设双曲线方程为，代入点(3，)，得，所以双曲线方程为y21，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线yex21经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把xy1代入双曲线方程，得y22y20，解得y，故直线xy10与曲线C只有一个公共点，选项D不正确8已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|8，则下列结论正确的是()Ap4B.C|BD|2|BF|D|BF|4答案ABC解析如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AEx轴，EAF60°，由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，EFPAEF60°，则PEF30°，|AF|EF|2|PF|2p8，解得p4，故A正确；|AE|EF|2|PF|，PFAE，F为线段AD的中点，则，故B正确；DAE60°，ADE30°，|BD|2|BM|2|BF|(抛物线定义)，故C正确；|BD|2|BF|，|BF|DF|AF|，故D错误三、填空题9(2019·全国)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)10(2020·全国)已知F为双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_答案2解析如图，A(a,0)由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB3，即b23ac3a2.又c2a2b2，即b2c2a2，c23ac2a20，e23e20.解得e2或e1(舍去)故e2.11设双曲线mx2ny21的一个焦点与抛物线yx2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为_答案解析抛物线x28y的焦点为(0,2)，mx2ny21的一个焦点为(0,2)，焦点在y轴上，a2，b2，c2.根据双曲线三个参数的关系得到4a2b2，又离心率为2，即4，解得n1，m，此双曲线的方程为y21，则双曲线的一条渐近线方程为xy0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d.12.如图，抛物线C1：y22px和圆C2：2y2，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，D，B，C四点，则·的值为_答案解析易知·|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x，所以A，B，C，D，|，所以··；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|FA|FB|x1x1，同理|CD|x2，设l的方程为yk，由可得k2x2(pk22p)x0，则·|AB|·|CD|x1·x2.综上，·.四、解答题13(2020·全国)已知椭圆C1：1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即3×222，解得2(舍去)，.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.由于C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)，c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.14已知点F为抛物线E：y22px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且到原点的距离为2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切(1)解由题意可得解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨取A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)，联立得2x25x20，解得x2或x，从而B.所以直线GB的方程为2x3y20，易知直线GA的方程为2x3y20，从而r.因为点F到直线GB的距离dr，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切