2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二(上)第一次月考数学试卷(解析版).docx

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x4y+70平行的直线方程是（）Ax2y+40Bx2y40C2xy+10Dx+2y802（5分）若双曲线E：x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于（）A11B9C5D33（5分）设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A直线l平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直4（5分）已知圆（x1）2+y24内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（）Axy10Bx+y30Cx+y+30Dx25（5分）已知线段AB、BD在平面内，ABD120°，线段AC，如果ABa，BDb，ACc，则线段CD的长为（）Aa2+b2+c2+abBa2+b2+c2-abCa2+b2+c2-acDa2+b2+c26（5分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线x3与抛物线C交于A，B两点，|AF|4，圆E为FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OMON的取值范围是（）A-6325，9B3，21C6325，21D3，277（5分）设函数f（x）2sin（x+）1（0），若对于任意实数，f（x）在区间4，34上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A83，163）B4，163）C4，203）D83，203）8（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB+4IA+5IF2=0，则该椭圆的离心率是（）A23B55C34D12二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法中，正确的有（）A直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3）B直线y2x1在y轴上的截距为1C直线3x-y+2=0的倾斜角为60°D点（1，3）到直线y20的距离为1（多选）10（5分）若直线过点P（1，2）且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）Axy+10Bx+y30C2xy0Dx+y+10（多选）11（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F22c直线l：yk（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中错误的有（）AABF2的周长为4aB若AB的中点为M，则kOMk=b2a2C若AF1AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55，12D若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率e=12（多选）12（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（）AAG平面PBDB直线FG和直线AB所成的角为4C当点T在平面PBD内，且TA+TG2时，点T的轨迹为一个椭圆D过点E，F，G的平面与四棱锥PABCD表面交线的周长为22+6三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）双曲线y29-x2=1的虚半轴长为 14（5分）已知F（1，0），B是圆C：（x1）2+y216上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P则动点P的轨迹方程为 15（5分）曲线x2+y22（|x|+|y|）围成的图形面积是 16（5分）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为 cm四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知圆C经过A（1，1），B（2，2）两点，圆心C在直线l：xy+10上，求圆C的标准方程18（12分）已知3是函数f（x）2asinxcosx+2cos2x+1的一个零点（I）求实数a的值；（II）求f（x）单调递减区间19（12分）直线l经过抛物线y24x焦点F，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D（I）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；（）求证：直线DB平行于抛物线的对称轴20（12分）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB和DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切（1）若AD=437，AB=337，BD=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且A1D=5（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）若点P在线段B1C上，且直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为255，求点P到平面A1CD的距离22（12分）已知点P（1，1）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1F2的面积为62（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：x2+y2r2（0r1）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x4y+70平行的直线方程是（）Ax2y+40Bx2y40C2xy+10Dx+2y80【解答】解：所求直线与直线l：2x4y+70平行，可设所求直线为2x4y+m0，所求直线过点A（2，3），412+m0，解得m8，所求直线的方程为x2y+40故选：A2（5分）若双曲线E：x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于（）A11B9C5D3【解答】解：由题意，双曲线E：x29-y216=1中a3|PF1|3，P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|6，|PF2|9故选：B3（5分）设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A直线l平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直【解答】解：直线l与平面平行，直线m在平面上，直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，故选：C4（5分）已知圆（x1）2+y24内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（）Axy10Bx+y30Cx+y+30Dx2【解答】解：由题意得圆心O（1，0），当所求弦与OP垂直时，弦长最短，因为OP的斜率为1，此时弦所在的直线斜率为1，此时直线方程为yx+3，即x+y30故选：B5（5分）已知线段AB、BD在平面内，ABD120°，线段AC，如果ABa，BDb，ACc，则线段CD的长为（）Aa2+b2+c2+abBa2+b2+c2-abCa2+b2+c2-acDa2+b2+c2【解答】解：如图，CD=CA+AB+BD，线段AB、BD在平面内，ABD120°，线段AC，ABa，BDb，ACc，CD2=（CA+AB+BD）2c2+a2+b2+2abcos60°a2+b2+c2+ab，线段CD的长|CD|=a2+b2+c2+ab故选：A6（5分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，直线x3与抛物线C交于A，B两点，|AF|4，圆E为FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OMON的取值范围是（）A-6325，9B3，21C6325，21D3，27【解答】解：抛物线C：y22px（p0）的焦点F（p2，0），准线方程为x=-p2，设A（3，6p），所以|AF|3+p2=4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，A（3，23），B（3，23），F（1，0），所以直线AF的方程为y=3（x1），设圆心坐标为（x0，0），所以（x01）2（3x0）2+12，解得x05，即E（5，0），圆的方程为（x5）2+y216，不妨设yM0，设直线OM的方程为ykx，则k0，根据|5k|1+k2=4，解得k=43，由y=43x(x-5)2+y2=16，解得M（95，125），设N（4cos+5，4sin），所以OMON=365cos+485sin+9=125（3cos+4sin）+9，因为3cos+4sin5sin（+）5，5，所以OMON3，21故选：B7（5分）设函数f（x）2sin（x+）1（0），若对于任意实数，f（x）在区间4，34上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（）A83，163）B4，163）C4，203）D83，203）【解答】解：令f（x）0，则sin（x+）=12，令tx+，则sint=12，则原问题转化为：ysint在区间4+，34+上至少有2个t，至多有3个t，使得ysint=12，求的取值范围，作出ysint与y=12的图象，如图所示：由图可知，满足条件的最短区间长度为136-6=2，最长区间长度为176-6=83，2（34+）（4+）83，解得4163，所以的取值范围是4，163）故选：B8（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB+4IA+5IF2=0，则该椭圆的离心率是（）A23B55C34D12【解答】解：因为3IB+4IA+5IF2=0，所以38IB+58IF2=-12IA，如图，在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|5：3，连接IM，则IM=-12IA，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以SIAF2：SIF2B：SIBA3：4：5，所以|AF2|：|F2B|：|AB|3：4：5，不妨设|AF2|3，则|F2B|4，|AB|5，则|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a6，所以|AF1|3，|BF1|2，设|F1F2|x，由余弦定理得cosABF2=|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|22|BF1|BF2|=25+16-92×5-4=45，即22+42-x22×2×4=45，解得x=65，解得e=2c2a=656=55故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法中，正确的有（）A直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3）B直线y2x1在y轴上的截距为1C直线3x-y+2=0的倾斜角为60°D点（1，3）到直线y20的距离为1【解答】解：对于A，直线ya（x+2）+3（aR）必过定点（2，3），故A错误，对于B，当x0时，y1，直线y2x1在y轴上的截距为1，故B正确，对于C，直线3x-y+2=0的斜率为3，其倾斜角为60°，故C错误，对于D，点（1，3）到直线y20的距离为1，故D正确故选：BCD（多选）10（5分）若直线过点P（1，2）且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）Axy+10Bx+y30C2xy0Dx+y+10【解答】解：当直线在两坐标轴的截距为0时，可设直线方程为ykx，直线过点P（1，2），则k2，故直线方程为y2x，即2xy0，故C正确，当直线在两坐标轴的截距不为0时，可设直线方程为xa+ya=1或xa+y-a=1或x-a+ya=1，当直线方程为xa+ya=1时，则1a+2a=1，解得a3，即x+y30，故B正确，当直线方程为xa+y-a=1时，则1a+2-a=1，解得a1，即xy+10，当直线方程为x-a+ya=1时，则1-a+2a=1，解得a1，即xy+10，故A正确，故选：ABC（多选）11（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F22c直线l：yk（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中错误的有（）AABF2的周长为4aB若AB的中点为M，则kOMk=b2a2C若AF1AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55，12D若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率e=12【解答】解：对于A，因为ABF2的周长为AF1+BF1+AF2+BF24a，故A正确；对于B，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x1+x22，y1+y22），可得kOM=y1+y2x1+x2，k=y1-y2x1-x2，由x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1作差得：y12-y22x12-x22=-b2a2，则有则kkOM=-b2a2，故B错误；对于C，AF1AF2=x12+y12-c2b2c2，a2c2，由于k是实数，当k不存在时，可设A（c，b2a），由AF1AF2=c2+b4a2-c23c2，即b2=3ac，结合b2a2c2，e=ca，可得e2+3e10，解得e=7-32，由b2c23c2a2c2，可得e55，12，故所求离心率的范围是55，7-32）（7-32，12，故C不正确；对于D，易知AB不存在最小值，故D不正确故选：BCD（多选）12（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（）AAG平面PBDB直线FG和直线AB所成的角为4C当点T在平面PBD内，且TA+TG2时，点T的轨迹为一个椭圆D过点E，F，G的平面与四棱锥PABCD表面交线的周长为22+6【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上，则AG平面PBD，故A正确；设PB中点为H，则FGAH，且HAB=4，故B正确；TA+TG2，T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，又平面PBD与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；设平面EFG与PB，PD交于点M，N，连接PE，EC，PF，FC，EM，MG，GN，NF，PABC，AEBE，PAECBE，PAECBE，PECE，而PGGC，故EGPC，同理FGPC，而FGEGG，PC平面EFG，而EM平面EFG，则PCEM，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB，EM平面PBC，而PB平面PBC，则EMPB，BMEM=22BE=22，同理，FNDN=22，又PG=3，PM22-22=322，则GMGN=62，而EF=12BD=2，交线长为EF+EM+MG+GN+FN22+6，故D正确故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）双曲线y29-x2=1的虚半轴长为 1【解答】解：双曲线y29-x2=1，则b1，即双曲线虚半轴的长为1故答案为：114（5分）已知F（1，0），B是圆C：（x1）2+y216上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P则动点P的轨迹方程为 x24+y23=1【解答】解：因为C：（x1）2+y216上的圆心（1，0），半径为4，因为线段BF的垂直平分线交BC于点P，|PB|PF|，所以|PC|+|PF|PC|+|PB|BC|4|FC|2，所以由椭圆定义可知，P的轨迹是以F，C为焦点的椭圆，方程为x24+y23=1故答案为：x24+y23=115（5分）曲线x2+y22（|x|+|y|）围成的图形面积是8+4【解答】解：由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x0，y0时，解析式为（x1）2+（y1）22，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成，所围成的面积是22×22+4×12××（2）28+4故答案为：8+416（5分）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为 120cm【解答】解：如图所示，设圆弧圆心为O，半径为R，三个小球的球心自左至右分别为O1，O2，O3，设O1OO34，由题意可知，sin=O1QOO1=20R-20，且h=O2M-20=O2M-O1N=O2P=OO2-OO1cos2=(R-20)-(R-20)cos2=2(R-20)sin2，即2（R20）sin28，所以2(R-20)(20R-20)2=8，解得R120，故答案为：120四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知圆C经过A（1，1），B（2，2）两点，圆心C在直线l：xy+10上，求圆C的标准方程【解答】解：圆心在直线xy+10上，设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，2）在圆上，可得（a1）2+（a+11）2（a2）2+（a+1+2）2，解得a3，圆心坐标为C（3，2），半径r2（31）2+（3+11）225，r5，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）22518（12分）已知3是函数f（x）2asinxcosx+2cos2x+1的一个零点（I）求实数a的值；（II）求f（x）单调递减区间【解答】解：（）由题意可知f（3）0，即2asin3cos3+2cos23+10，即2a×32×12+2×14+10，解得a=-3（）由（）可得f（x）23sinxcosx+2cos2x+1=-3sin2x+cos2x+22sin（2x+56）+2，令2k+22x+562k+32，kZ，解得k6xk3，kZ，所以f（x）的单调递减区间为k6，k+3，kZ19（12分）直线l经过抛物线y24x焦点F，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D（I）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；（）求证：直线DB平行于抛物线的对称轴【解答】（I）解：抛物线y24x的焦点F（1，0），准线方程为x1直线AB的方程为yx1联立方程y24x可得x26x+10xA+xB6，xAxB1由抛物线的定义可知，ABAF+BFxA+1+xB+1xA+xB+28（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）直线OA的方程为：y=y1x1x=4y1x，令x1，可得yD=-4y1设直线AB的方程为：myx1，联立方程y24x，化为y24m40，y1y24y2=-4y1yDy2直线DB平行于抛物线的对称轴20（12分）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB和DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切（1）若AD=437，AB=337，BD=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？【解答】解：（1）ABD中，AD437，AB337，BD37，所以cosA=(437)2+(337)2-3722×437×337=-12，又因为A（0，），所以A=23，设扇形的半径为r，则SABD=1237r=12437337sin23，解得r63，所以扇形的面积为S扇形=12×23×(63)2=36，所以两块花卉景观扇形的面积为72米2；（2）连接A与切点O，设BDA，AOD中，ADOA1sin=10sin，在OAB中，AB=10sin(45°-)，在ABE中，BEABsin45°，平行四边形绿地ABCD的面积为SADBE=10sin10sin(45°-)sin45°=502sinsin(45°-)，0°45°，令f（）sinsin（45°）sin（22cos-22sin）=22（sincossin2）=22（12sin2-1-cos22）=12（22sin2+22cos2-22）=12sin（2+4）-24，（0，4），所以2+4（4，34），当=8，即22.5°时，f（）取得最大值为2-24，此时S取得最小值；所以BDA22.5°时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且A1D=5（1）求证：CD平面ABB1A1；（2）若点P在线段B1C上，且直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为255，求点P到平面A1CD的距离【解答】（1）证明：由题知AA1=2，AD=1，A1D=5，因为AD2+A1A2=5=A1D2，所以A1AAD，又B1BBC，B1BA1A，所以A1ABC，又ADBCB，所以A1A平面ABC，又CD平面ABC，所以CDAA1，在正三角形ABC中，D为AB中点，于是CDAB，又ABAA1A，所以CD平面ABB1A1；（2）解：取BC中点为O，B1C1中点为Q，则OABC，OQBC，由（1）知A1A平面ABC，且OA平面ABC，所以OAAA1，又B1BA1A，所以OABB1，BB1BCB，所以OA平面BCC1B1，于是OA，OB，OQ两两垂直，如图，以O为坐标原点，OB，OQ，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，0，3)，A1(0，2，3)，C(-1，0，0)，D(12，0，32)，B1(1，2，0)，所以CD=(32，0，32)，CA1=(1，2，3)，CB1=(2，2，0)，AC=(-1，0，-3)，设平面A1CD的法向量为n=(x，y，z)，则nCD=0nCA1=0，即32x+32z=0x+2y+3z=0，令x1，则z=-3，y=1，于是n=(1，1，-3)，设CP=CB1=(2，2，0)，0，1，则AP=AC+CP=CB1=(2-1，2，-3)，由于直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为255，于是|cosAP，n|=|2-1+2+3|1+1+3(2-1)2+(2)2+3=255，即|2+1|=(2-1)2+(2)2+3，整理得428+30，由于0，1，所以=12，于是CP=CB1=(1，1，0)，设点P到平面A1CD的距离为d，则d=|CPn|n|=|1+1|1+1+3=255，所以点P到平面A1CD的距离为25522（12分）已知点P（1，1）在椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1F2的面积为62（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：x2+y2r2（0r1）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论【解答】解：（1）由题知，1a2+1b2=1，PF1F2的面积等于12|F1F2|=c=62，所以a2-b2=c2=32，解得a2=3，b2=32，所以椭圆C的方程为x23+2y23=1（2）设直线PA的方程为yk1xk1+1，直线PB的方程为yk2xk2+1，由题知|1-k1|1+k12=r，所以(1-k1)2=r2(1+k12)，所以(1-r2)k12-2k1+1-r2=0，同理，(1-r2)k22-2k2+1-r2=0，所以k1，k2是方程（1r2）x22x+1r20的两根，所以k1k21，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为ykx+m，将ykx+m代入x23+2y23=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m230，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-31+2k2，所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-3k21+2k2，又因为k1k2=y1-1x1-1×y2-1x2-1=(y1-1)(y2-1)(x1-1)(x2-1)=y1y2-(y1+y2)+1x1x2-(x1+x2)+1=1，将代入，化简得3k2+4km+m2+2m30，所以3k2+4km+（m+3）（m1）0，所以（m+3k+3）（m+k1）0，若m+k10，则直线AB：ykx+1kk（x1）+1，此时AB过点P，舍去，若m+3k+30，则直线AB：ykx33kk（x3）3，此时AB恒过点（3，3），所以直线AB过定点（3，3）