2022-2023学年湖南师大附中高一(上)第一次大练习数学试卷(解析版).docx

2022-2023学年湖南师大附中高一（上）第一次大练习数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（）A矩形B平行四边形C菱形D梯形2（5分）设集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB（）Ax|2x3Bx|3x4Cx|x2Dx|x43（5分）下列各式中，正确的个数是（）00，1，2；0，1，22，1，0；0，1，2；0；0，1（0，1）；00A1B2C3D44（5分）已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若acbc，则abC若a3b3且ab0，则1a1bD若a2b2且ab0，则1a1b5（5分）已知命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（-94，+）B（4，+）C（2，4）D（2，+）6（5分）不等式xx-20成立的一个必要不充分条件是（）A0x2B0x1C1x3Dx17（5分）若不等式1x+11-4x-m0对x（0，14）恒成立，则实数m的最大值为（）A7B8C9D108（5分）在R上定义运算：ab（a+1）b已知1x2时，存在x使不等式（mx）（m+x）4成立，则实数m的取值范围为（）Am|2m2Bm|1m2Cm|3m2Dm|lm2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知集合A1，2，a2，B1，a+2，若BA，则a的可能取值为（）A1B0C1D2（多选）10（5分）若ab0，1c1d0，则下面四个不等式成立的有（）A1a1bB|c|d|CacbdDaa+cbb+d（多选）11（5分）下列说法正确的有（）A命题“若x3，则x29”的否定是“若x3，则x29”B命题“xM，p（x）”的否定是“xM，p（x）”C命题“x0R，(a-3)x02+ax0-10”是假命题，则实数a的取值范围为a|6a2D命题“xR，m2mx2+x+1”是真命题，则实数m的取值范围为m|-12m32（多选）12（5分）已知x+y1，y0，x0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（）A12B14C34D54三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“全等三角形的面积相等”的否定是 14（5分）已知x0，则2-3x-1x的最大值是 15（5分）已知函数f（x）mx2mx1若对于xx|1x3，f（x）5m恒成立，则实数m的取值范围为 16（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设a，bR，集合P1，a，Q1，b，若PQ（1）求ab的值；（2）集合Ax|x2+cx+10，Bx|ax（a+b），若BA，求实数c的取值范围18（12分）（1）设xy0，试比较（x2+y2）（xy）与（x2y2）（x+y）的大小；（2）已知a，b，x，y（0，+）且1a1b，xy，求证：xx+ayy+b19（12分）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）a+b|aA，bA，记集合S（A）的元素个数为d（S（A）定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）AS（A）（1）若A0，1，2，求S（A），T（A）；（2）若集合Ax1，x2，x3，xn，x1x2x3xn，nN，证明：“d（S（A）2n1”的充要条件是“x2x1x3x2xnxn1”20（12分）已知2x+5y8（1）当x0，y0时，求xy的最大值；（2）当x1，y2时，若不等式10x+1+1y+2m2+4m恒成立，求实数m的取值范围21（12分）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入I（x）（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式I(x)=56-2x，0x1017.6+328x-1440x2，x10（1）写出利润F（x）（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润销售收入成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？22（12分）已知二次函数f（x）ax2+bx+c（1）若f（x）0的解集为x|3x4，解关于x的不等式bx2+2ax（c+3b）0；（2）若对任意xR，f（x）0恒成立，求ba+c的最大值；（3）已知b4，ac，若y0对于一切实数x恒成立，并且存在x0R，使得ax02+bx0+c=0成立，求4a2+c22a-c的最小值2022-2023学年湖南师大附中高一（上）第一次大练习数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（）A矩形B平行四边形C菱形D梯形【解答】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；满足题意的可能是梯形故选：D2（5分）设集合Ax|2x4，Bx|3x782x，则AB（）Ax|2x3Bx|3x4Cx|x2Dx|x4【解答】解：由B中不等式解得：x3，即Bx|x3，Ax|2x4，ABx|3x4故选：B3（5分）下列各式中，正确的个数是（）00，1，2；0，1，22，1，0；0，1，2；0；0，1（0，1）；00A1B2C3D4【解答】解：集合之间的关系是包含与不包含，因此00，1，2，不正确，应该为00，1，2；0，1，22，1，0，正确；0，1，2，正确；不含有元素，因此0；0，1与（0，1）的元素形式不一样，因此不正确；元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为00，因此不正确综上只有：，正确故选：B4（5分）已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若acbc，则abC若a3b3且ab0，则1a1bD若a2b2且ab0，则1a1b【解答】解：A若ab，则ac2bc2（错），若c0，则A不成立；B若acbc，则ab（错），若c0，则B不成立；C若a3b3且ab0，则1a1b（对），若a3b3且ab0，则 a0b0，D若a2b2且ab0，则1a1b（错），若 a0b0，则D不成立故选：C5（5分）已知命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（-94，+）B（4，+）C（2，4）D（2，+）【解答】解：命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题 等价于ax23x在x1，1上有解，令f（x）x23x，x1，1，则等价于af（x）minf（1）2，a2，故选：D6（5分）不等式xx-20成立的一个必要不充分条件是（）A0x2B0x1C1x3Dx1【解答】解：xx-20，得x（x2）0，0x2，x|0x2x|x1，不等式xx-20成立的一个必要不充分条件是x1，故选：D7（5分）若不等式1x+11-4x-m0对x（0，14）恒成立，则实数m的最大值为（）A7B8C9D10【解答】解：根据题意，x（0，14），则14x0，则1x+11-4x=44x+11-4x=4x+（14x）（44x+11-4x）5+4(1-4x)4x+4x1-4x5+2×4(1-4x)4x×4x1-4x=9，当且仅当14x2x时等号成立，则1x+11-4x的最小值为9，若不等式1x+11-4x-m0对x（0，14）恒成立，即式1x+11-4xm恒成立，必有m9恒成立，故实数m的最大值为9；故选：C8（5分）在R上定义运算：ab（a+1）b已知1x2时，存在x使不等式（mx）（m+x）4成立，则实数m的取值范围为（）Am|2m2Bm|1m2Cm|3m2Dm|lm2【解答】解：（mx）（m+x）4，即为（mx+1）（m+x）m2x2+m+x4，当1x2时，存在x使不等式m2+mx2x+4成立，等价为m2+m（x2x+4）max，由x2x+4（x-12）2+154，可得x2时，x2x+4取得最大值，且为6，所以m2+m6，解得3m2，故选：C二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知集合A1，2，a2，B1，a+2，若BA，则a的可能取值为（）A1B0C1D2【解答】解：由集合A1，2，a2，B1，a+2，BA，得到a2a+2或a+22，解得：a1或a2，a0，而a1时，不合题意，舍去，则实数a的可能取值为2或0故选：BD（多选）10（5分）若ab0，1c1d0，则下面四个不等式成立的有（）A1a1bB|c|d|CacbdDaa+cbb+d【解答】解：A，ab0，1a1b，A正确，B，1c1d0，0cd，|c|d|，B错误，C，ab0，ab0，0cd，dc0，adbc，dc0，ac-bd=ad-bcdc0，C正确，D，ab0，dc0，a+c0，b+d0，由C知，adbc，aa+c-bb+d=ad-bc(a+c)(b+d)0，aa+cbb+d，D正确，故选：ACD（多选）11（5分）下列说法正确的有（）A命题“若x3，则x29”的否定是“若x3，则x29”B命题“xM，p（x）”的否定是“xM，p（x）”C命题“x0R，(a-3)x02+ax0-10”是假命题，则实数a的取值范围为a|6a2D命题“xR，m2mx2+x+1”是真命题，则实数m的取值范围为m|-12m32【解答】解：命题“若x3，则x29”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“x3，则x29“，故A不正确；命题“xM，¬p（x）”的否定是“xM，p（x）”，故B正确；“x0R，（a3）x02+ax010”是假命题，则它的否定“xR，（a3）x2+ax10”是真命题，则当a30时，3x10，不合题意，当a30时，则a-30=a2+4(a-3)0，解得6a2，故C正确；“xR，m2mx2+x+1“是真命题，则m2m（x2+x+1）min，又x2+x+1（x+12）2+3434，则m2m34，解得-12m32，故D正确故选：BCD（多选）12（5分）已知x+y1，y0，x0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（）A12B14C34D54【解答】解：已知x+y1，y0，x0，所以x1，当0x1时，12|x|+|x|y+1=12x+x2-x=x+2-x4x+x2-x=14+2-x4x+x2-x14+22-x4xx2-x=54（当且仅当x=23时，等号成立）当x0时，12|x|+|x|y+1=1-2x+-x2-x=-14+2-x-4x+-x2-x-14+1=34（当且仅当x2时，等号成立）故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）命题“全等三角形的面积相等”的否定是 存在两个三角形全等，但其面积不相等【解答】解：根据题意，命题“全等三角形的面积相等”，即任选两个三角形全等，其面积相等，是全称命题，故其否定为：存在两个三角形全等，但其面积不相等；故答案为：存在两个三角形全等，但其面积不相等14（5分）已知x0，则2-3x-1x的最大值是 223【解答】解：因为x0，所以3x+1x23x1x=23，当且仅当3x=1x，即x=33时取“”，所以2-3x-1x=2（3x+1x）223，即23x-1x的最大值是223故答案为：22315（5分）已知函数f（x）mx2mx1若对于xx|1x3，f（x）5m恒成立，则实数m的取值范围为 （，67）【解答】解：mx2mx15m恒成立，则m（x2x+1）6在1x3恒成立，因为x2x+10在1x3恒成立，所以参变分离得到m6x2-x+1在1x3恒成立，x2x+11，7，所以m6716（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为6该小组人数的最小值为12【解答】解：设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则xyy42×4x，即4yx8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则xyyz2zx，即zyx2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设a，bR，集合P1，a，Q1，b，若PQ（1）求ab的值；（2）集合Ax|x2+cx+10，Bx|ax（a+b），若BA，求实数c的取值范围【解答】解：（1）设a，bR，P1，a，Q1，b，若PQ，则a1，b1，故ab0；（2）已知集合Ax|x2+cx+10，由（1）可得Bx|ax（a+b）x|1x2，若BA，即对于任意的x（1，2），x2+cx+10恒成立，令f（x）x2+cx+1，可得f(1)0f(2)0，即2+c05+2c0，解得c-52，实数c的取值范围是（，-5218（12分）（1）设xy0，试比较（x2+y2）（xy）与（x2y2）（x+y）的大小；（2）已知a，b，x，y（0，+）且1a1b，xy，求证：xx+ayy+b【解答】（1）解：方法一：（x2+y2）（xy）（x2y2）（x+y）（xy）（x2+y2）（x+y）22xy（xy）；因为xy0，所以xy0，xy0，所以2xy（xy）0，所以（x2+y2）（xy）（x2y2）（x+y）；方法二：xy0，所以xy0，x2y2，x+y0，所以（x2+y2）（xy）0，（x2y2）（x+y）0；所以0(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y)=x2+y2x2+y2+2xy1，所以（x2+y2）（xy）（x2y2）（x+y）；（2）证明：xx+a-yy+b=bx-ay(x+a)(y+b)，因为1a1b且a，b（0，+），所以ba0；又因为xy0，所以bxay0，所以xx+ayy+b19（12分）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）a+b|aA，bA，记集合S（A）的元素个数为d（S（A）定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）AS（A）（1）若A0，1，2，求S（A），T（A）；（2）若集合Ax1，x2，x3，xn，x1x2x3xn，nN，证明：“d（S（A）2n1”的充要条件是“x2x1x3x2xnxn1”【解答】解：（1）若集合A0，1，2，则S（A）0，1，2，3，4，T（A）AS（A）0，1，20，1，2，3，40，1，2，3，4；证明：（2）由Ax1，x2，xn，x1x2xn，nN，充分性：设xk是公差为d（d0）的等差数列则xi+xjx1+（i1）d+x1+（j1）d2x1+（i+j2）d（1i，jn），且2i+j2nxi+xj共有2n1个不同的值，即d（S（A）2n1；必要性：若d（S（A）2n1，2xixi+xi+12xi+1，（i1，2，n1）S（A）中有2n1个不同的元素：2x1，2x2，2xn，x1+x2，x2+x3，xn1+xn任意xi+xj（1i，jn） 的值都与上述某一项相等又xi+xi+1xi+xi+2xi+1+xi+2，且xi+xi+12xi+1xi+1+xi+2，i1，2，n2xi+xi+22xi+1，则xk是等差数列，且公差不为0，即x2x1x3x2xnxn1“d（S（A）2n1”的充要条件是“x2x1x3x2xnxn1”20（12分）已知2x+5y8（1）当x0，y0时，求xy的最大值；（2）当x1，y2时，若不等式10x+1+1y+2m2+4m恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）因为2x+5y8，当x0，y0时，xy=110（2x5y）110(2x+5y2)2=110×(82)2=1.6，当且仅当2x5y，即x2，y=45时取“”，所以xy的最大值是1.6；（2）当x1，y2时，因为2x+5y8，所以2（x+1）+5（y+2）20，所以10x+1+1y+2=120×（10x+1+1y+2）×2（x+1）+5（y+2）=120×20+5+50(y+2)x+1+2(x+1)y+2120×25+250(y+2)x+12(x+1)y+2=120×（25+20）=94，当且仅当50(y+2)x+1=2(x+1)y+2，即x=173，y=-23时取“”，所以10x+1+1y+2m2+4m恒成立，等价于94m2+4m，化简得4m2+16m90，即（2m+9）（2m1）0，解得-92m12，所以实数m的取值范围是-92，1221（12分）党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入I（x）（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式I(x)=56-2x，0x1017.6+328x-1440x2，x10（1）写出利润F（x）（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润销售收入成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【解答】解：（1）当0x10时，F（x）xI（x）24x56x2x224x2x2+32x，当x10时，F(x)=xI(x)-24x=x(17.6+328x-1440x2)-24x=-6.4x-1440x+328，故F(x)=-2x2+32x，0x10-6.4x-1440x+328，x10；（2）当0x10时，F（x）2x2+32x2（x8）2+128，故当x8时，F（x）取得最大值，且最大值为128，当x10时，F(x)=-6.4x-1440x+328=-(6.4x+1440x)+328-26.4x1440x+328=136，当且仅当6.4x=1440x，即x15（负值舍去）时，等号成立，此时F（x）取得最大值，且最大值为136，由于136128，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元22（12分）已知二次函数f（x）ax2+bx+c（1）若f（x）0的解集为x|3x4，解关于x的不等式bx2+2ax（c+3b）0；（2）若对任意xR，f（x）0恒成立，求ba+c的最大值；（3）已知b4，ac，若y0对于一切实数x恒成立，并且存在x0R，使得ax02+bx0+c=0成立，求4a2+c22a-c的最小值【解答】解：（1）ax2+bx+c0的解集为x|3x4，a0，-3+4=-ba，-3×4=cab=-a，c12a（a0），bx2+2ax（c+3b）0ax2+2ax+15a0（a0）x22x150，解集为（3，5）；（2）对任意xR，f（x）0恒成立，b24ac0，即b24ac，又a0，c0，故-2acb2ac，ba+c2aca+ca+ca+c=1，当ca，b2a时取“”，ba+c的最大值为1，（3）由f（x）0对于一切实数x恒成立，可得a0=16-4ac0即a0ac4，由存在x0R，使得ax02+bx0+c=0成立可得164ac0，164ac0，ac4，4a2+c22a-c=(2a-c)2+162a-c2(2a-c)2.162a-c=8，当且仅当2ac4时“”成立