2023高考数学二轮专题六培优2　圆锥曲线与圆的综合问题习题.docx

专题强化练1已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1·k2是定值吗？证明你的结论解(1)l与圆相切，1m21k2，由得 (1k2)x22mkx(m21)0， k2<1，1<k<1，故k的取值范围为(1,1)(2)由已知可得A1，A2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，k1，k2，由(1)知，x1x2，x1·x2，k1·k2，由得m2k21，k1·k2(32)为定值2(2022·泸州模拟)从抛物线y24x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P.(1)求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；(2)过点M(2,0)的直线l交曲线P于两点A，B，线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C，D，探究是否存在直线l使A，B，C，D四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由解(1)设抛物线y24x上的任意点为S(x0，y0)，垂线段的中点为(x，y)，故则代入y4x0得(2y)24x，得曲线P的方程为y2x，所以曲线P是焦点为的抛物线(2)若直线l与x轴重合，则直线l与曲线P只有一个交点，不符合题意设直线l的方程为xty2，根据题意知t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2ty20，t28>0，则y1y2t，y1·y22，则|AB|·|y1y2|，且线段AB中点的纵坐标为，即t·22，所以线段AB中点为M，因为直线CD为线段AB的垂直平分线，可设直线CD的方程为xym，则2×m，故m，联立得2ty22yt(t25)0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3y4，y3·y4(t25)，故|CD|y3y4|，线段CD中点为N，假设A，B，C，D四点共圆，则弦AB的中垂线与弦CD的中垂线的交点必为圆心，因为CD为线段AB的中垂线，则可知弦CD的中点N必为圆心，则|AN|CD|，在RtAMN中，|AN|2|AM|2|MN|2，所以2|AM|2|MN|2，则(t21)(t28)22，故t48t210，即0，解得t21，即t±1，所以存在直线l，使A，B，C，D四点共圆，且圆心为弦CD的中点N，圆N的方程为22或22.