2023高考数学二轮专题二培优4　几何特征在解三角形中的应用习题.docx

专题强化练1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BAC60°，b3，AD为BC边上的中线，若AD，则BC的长为()A7 B3 C. D3答案C解析如图，()，2(222·)，(c293c)，c5(负根舍去)，BC2b2c22bccosBAC9252×3×5×19，BC.2.(2022·赣州模拟)如图，在四边形ABCD中，BCDC，BADABC，BC2，AD1，则DC的长为()A. B. C. D3答案C解析如图，延长AD，BC交于点E，由题意知，BADABC，BCDC，DEC，DCE，ADC，不妨设DCx，则ECx，DEx.BEECBCAE，x21x，解得x.3在圆内接四边形ABCD中，AB5，BC6，CD3，AD4，则ACD的面积为()A. B.C. D.答案B解析设ABC，则ADC，在ABC中，AC2AB2BC22AB·BC·cos ，在ACD中，AC2AD2CD22AD·CD·cos()，AB2BC22AB·BC·cos AD2CD22AD·CD·cos ，则6160cos 2524cos ，cos ，而0<<，故sin ，SACDAD·CD·sin()6sin .4.如图，在ABC中，BAC120°，BAC的角平分线交BC于点D，AB2AC，若CD，则SABC的面积为_答案解析由角平分线定理知2，BD2CD2，BC3，令ACt，则AB2t，由余弦定理得63t24t22×t×2t×解得t3(负值舍去)，AB6，AC3，SABCAB·AC·sinBAC.5.(2022·长沙质检)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A60°，B45°，若将六个和ABC全等的三角形围成如图的正六边形，设其面积为S1，阴影部分面积为S2，则_.答案36解析因为A60°，B45°，则C75°，所以sin Csin 75°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°，面积比为相似比的平方，63.6(2022·山东学期联考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan Atan Btan Atan B，角C的平分线CD交AB于D.(1)求证：；(2)若CDCB2，求ABC的面积(1)证明tan Atan Btan Atan B，(tan Atan B1)tan Atan B，tan(AB)，tanACB，0<ACB<，ACB，CD为角平分线，SABCSACDSBCD，·CA·CB·sinACB·CD·CA·sinACD·CD·CB·sinBCD，CA·CBCD·CBCD·CA，即.(2)解由CDCB2代入，可得CA1，SABC×CA×CB×sinACB×2×(1)×.7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A(a2b)cos C0.(1)求C的大小；(2)若ABC的面积等于4，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AB边的长解(1)由ccos A(a2b)cos C0，得sin Ccos A(sin A2sin B)cos C0，即2sin Bcos Csin(AC)sin(B)sin B.因为0°<B<180°，所以sin B>0，从而cos C.又0°<C<180°，所以C120°.(2)因为SABCabsin 120°ab4，所以ab16.在ACD中，由余弦定理可得AD2b222×b××cos 120°b22224，当且仅当ba，即a4，b2时，等号成立此时AB2a2b22abcos 120°3282×4×2×56，故AB2.8.(2022·济宁模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD·sin D2CD·sin B.(1)求证：BC2CD；(2)若ADBC2，ADC120°，求梯形ABCD的面积(1)证明在ACD中，由正弦定理得，即AD·sin DAC·sinACD，因为ABCD，所以ACDCAB，所以AD·sin DAC·sinCAB，在ABC中，由正弦定理得，即AC·sinCABBC·sin B，所以AD·sin DBC·sin B.又AD·sin D2CD·sin B，所以BC·sin B2CD·sin B，即BC2CD.(2)解由(1)知CDBC1.在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22AD·CD·cosADC，解得AC.所以cosCABcosACD.在ABC中，由余弦定理得BC2AC2AB22AC·AB·cosCAB，解得AB1或3.又因为四边形ABCD为梯形，所以AB3.又梯形ABCD的高为hAD·sin 60°，所以梯形ABCD的面积为S(ABCD)h2.