广东省深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案.pdf

试卷第 1页，共 4页深大实验2023-2024 学年度第一学期高一期中考试（数学）试卷深大实验2023-2024 学年度第一学期高一期中考试（数学）试卷考试时间：120 分钟；命题人：注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2请将答案正确填写在答题卡上.第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列各结论中，正确的是（）A 0是空集B220 x xx是空集C1,2与2,1是不同的集合D方程2440 xx的解集是2,22命题“2x,220 xx”的否定是（）A2x,220 xxB2x,02xC2x,220 xxD2x,0 x 或2x 3若0ab，则下列不等式不能成立的是（）A11abB22abCabD2211ab4若0a，则“22ab”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5若不等式2 2 acbc，则abB当2x 时，422xx的最小值为4C若Ra，则2232aa的最小值为2D若,Ra b，22ab，则1492 22ab12若函数 f x同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有 0f xfx；（2）对于定义域内的任意1x，2x，当12xx时，有12120fxfxxx，则称函数 f x为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A 2f xxB 3f xx C1()f xxD 22,0,0 xxf xxx#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#试卷第 3页，共 4页第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题三、填空题:本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13函数 021(1)4f xxx的定义域是.14计算：20.751166.15已知函数 yf x满足 122f xfxx，xR且0 x，则 f x.16 对任意xR，给定 5f xx ，21g xx，记函数 max,M xf xg x，则 M x的最小值是.四、解答题四、解答题:本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17集合|23Ax x，|121Bxaxa(1)当4a 时，求AB；(2)若ABB，求实数a的取值范围.18已知函数 220fxaxbxa.(1)若 0f x 的解集为|14xx，求,a b的值；(2)当21ba时，解不等式 0f x.19函数 24axf xx，且 15f(1)求a的值；(2)证明：f x为奇函数；(3)判断函数 f x在0,2上的单调性，并加以证明.20已知函数 2151mf xmmx为幂函数，且为奇函数(1)求 m 的值；(2)求函数 212f xg xf x在0,1x的值域#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#试卷第 4页，共 4页21如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知3AB 米，2AD 米.(1)设DN的长为0 x x 米，试用x表示矩形AMPN的面积；(2)当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.22函数 f x对任意实数,x y恒有()()()f xf yf xy，且当0 x 时，0f x.(1)判断 f x的奇偶性；(2)求证：f x是R上的减函数；(3)若Ra，解关于x的不等式222f axf xf xf ax.#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 1页，共 12页参考答案：参考答案：1B【分析】按照集合的定义逐个判断即可.【详解】0是以 0 为元素的非空集合，故 A 错误；220 xx的70 ，无实数根，故 B 正确；相同集合的元素顺序可以不同，故 C 错误；同一集合不能有相同元素，故 D 错误.故选：B.2D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.【详解】命题“2x,220 xx”是存在量词命题,又22002xxx,所以其否定为全称量词命题,即为“2x,0 x 或2x”.故选:D.3D【分析】根据不等式的性质逐项判断.【详解】对于 A：由0ab得0ab，则ababab，即11ab，故 A 成立；对于 B：由0ab得0ab ，则根据不等式的性质有22()()0ab，即22ab，故B 成立；对于 C：由0ab得,aa bb ，则0ab ，进而ab，故 C 成立；对于 D：由22ab可得2211ab，故 D 不成立.故选：D.4B【分析】举出反例得到充分性不成立，ab 两边平方得到必要性成立.【详解】若1,2ab，满足22ab，不能得到ab，充分性不成立，因为0a，若0ab，两边平方得22ab，必要性成立.则“22ab”是“ab”的必要不充分条件.故选：B#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 2页，共 12页5B【解析】将不等式2 2 2 2在 12,2 上有解求解.【详解】因为不等式2 2 2 2在 12,2 上有解，令=2 2=12 1，则min=1，所以 1，所以实数的取值范围是 1,+故选：B6A【分析】作直线2x 分别与曲线1234C C C C相交，结合函数2xy 的单调性即可判断.【详解】因为函数2xy 为增函数，所以1122222222，所以作直线2x 分别与曲线1234C C C C相交，交点由上到下分别对应的 n 值为112,222，由图可知，曲线1234C C C C相应 n 值为112,222.故选：A7C【分析】利用一次函数与二次函数的单调性，结合分段函数的性质得到关于a的不等式组，从而得解.【详解】因为函数 21,01,0axaxf xxaxx是R上的减函数，#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 3页，共 12页所以00211aaa ，解得02a，即实数 a 的取值范围为0,2.故选：C.8D【分析】根据含参一元不等式恒成立对a分类讨论即可得 a 的取值集合.【详解】当0a 时，不等式22340axaxa化为40对xR恒成立；当0a，要使得不等式22340axaxa对xR恒成立，则2044340aaaa，解得a0综上，a 的取值集合为0a a.故选：D.9AC【分析】根据集合的运算逐个判断即可.【详解】2111,1Ax xxxBx x 或1x，对于 A：易知AB，所以 A 正确；对于 B：1RABx x，所以 B 错误；对于 C：11Bxx R，所以RAB，所以 C 正确；对于 D：1Ax x R或1x，所以RBA，所以RRBAA 痧，所以 D 错误，故选：AC.10ACD【分析】根据同一函数的定义，分别判断即可【详解】对于 A，可知两个函数的定义域均为 R，且 ,fxx g xx，故 A 正确；对于 B，f x的定义域为R，g x的定义域为|0 x x，故 B 错误；对于 C，f x的定义域为|1x x，g x的定义域为|1x x，且 11x xg xxx,故 C 正确；#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 4页，共 12页对于 D，可知两个函数的定义域均为 R，且,0(),0t tg ttt t，故 D 正确故选：ACD11AD【分析】利用不等式的性质及基本不等式，结合对勾函数的性质即可求解.【详解】对于 A，因为22acbc，所以20c，因此在不等式22acbc两边同乘21c得ab，故 A 正确；对于 B，当20 x，即20 x时，44222422xxxx ,当且仅当422xx，即0 x 时，等号成立，所以422xx的最大值为4，故 B 不正确；对于 C、令22ta因为Ra，所以2t，而222231222aaaa，因此2232aa的最小值就是函数12yttt 的最小值又因为由对勾函数的性质知：函数1ytt 在2,是增函数，当2t 时，函数1ytt 取得的最小值为13 2222，即2232aa的最小值为3 22，故 C 不正确；对于 D，因为,Ra b，22ab，所以14142142922ababababba1429922 222abba，#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 5页，共 12页当且仅当4222abbaab，即4 2282 2,77ab时，等号成立，因此1492 22ab，故 D 正确故选：AD 12BD【分析】先根据题目条件得到 f x为奇函数，且在定义域内为单调递减函数，A 选项，2f xx为偶函数，A 错误；B 选项，根据函数奇偶性得到 3f xx 为奇函数，且 3f xx 单调递减；C 选项，1()h xx在定义域内不是单调递减，C 错误；D 选项，根据函数奇偶性得到 22,0,0 xxf xxx为奇函数，且由二次函数的单调性得到 22,0,0 xxf xxx单调递减,D 正确.【详解】由（1）可知，f x为奇函数，由（2）可知，f x在定义域内为单调递减函数，对于 A，2f xx定义域为 R，又 22=fxxxfx，故 2f xx为偶函数，故 A错误；对于 B，3f xx 定义域为 R，又 33=fxxxfx ，故 3f xx 为奇函数，又 3f xx 在 R 上单调递减，满足要求，B 正确；对于 C，1()f xx分别在区间0，和0，上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；对于 D：22,0,0 xxf xx xxx，()()fxxxx xf x，所以 22,0,0 xxf xxx是奇函数；根据二次函数的单调性，易知()q x在(,0)和(0)，都是减函数，且在0 x 处连续，所以 22,0,0 xxf xxx在R上是减函数，所以是“理想函数”，D 正确.故选：BD#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 6页，共 12页132,11,2【分析】根据二次根式的性质，结合分母不为零、零指数幂的定义进行求解即可.【详解】函数 021(1)4f xxx，则24010 xx ，即221xx ，即 f x定义域是2,11,2.故答案为：2,11,2 1444【分析】利用分数指数幂运算法则计算出答案.【详解】2320.7543411662362368446.故答案是：44.15 xf xx4233【分析】用1x替换x,再解方程组可得答案.【详解】由 122f xfxx，用1x替换x，得 122ffxxx，2，得 234fxxx，得 xf xx4233.故答案为：xf xx4233.164【分析】根据定义及一次函数、二次函数的单调性计算最小值即可.【详解】由定义可知当 f xg x时251410 xxxx，解之得41x，此时 5M xf xx ，当 f xg x时，则251410 xxxx，解之得1x 或4x，此时 21M xg xx，综上 25,41,41,141,14xxf xxM xM xg xxxxxx 或或，#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 7页，共 12页易知5yx 在41x 上单调递减，最小值为 4，在1x 取得；21yx在1,上单调递增，在,4 上单调递减，所以2211 14yx，综上 M x的最小值是 4.故答案为：4.17(1)|17xx；(2)3a.【分析】（1）解绝对值不等式求集合 A，再由并集运算求AB；（2）由题设有BA，讨论B、B 求参数范围即可.【详解】（1）由题设15|Axx，|57Bxx，所以|17ABxx.（2）由ABBBA，当B 时，1212aaa ；当B 时，21123215aaaa ；综上，3a.18(1)1252ab；(2)答案见解析.【分析】（1）由题设1,4是方程220axbx的两根，结合根与系数关系求参数，注意验证；（2）由题设可得1()(2)0a xxa，讨论12a、120a、10a求对应解集即可.【详解】（1）由题设 0f x 的解集为|14xx，则1,4是方程220axbx的两根，所以1522542baaba，经验证满足题设，#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 8页，共 12页所以1252ab.（2）由题设2(21)20axax且0a，所以1()(2)0a xxa，当12a，即102a时，解集为1(,)(2,)a；当120a，即12a 时，解集为1(,2)(,)a；当10a，即0a 时，解集为1(2,)a.19(1)1(2)证明见解析(3)函数 f x在0,2上单调递减，证明见解析【分析】（1）根据 15f直接带入求解；（2）根据奇函数定义证明即可；（3）根据函数单调性的定义判断和证明即可.【详解】（1）因为函数 24axf xx，且 15f，所以 145fa，所以1a.（2）由（1）知，24xf xx，定义域,00,U关于原点对称，又因为 22440 xxf xfxxx，即 f xfx，所以 f x为,00,U上的奇函数.（3）函数 f x在0,2上单调递减，证明如下：任取12,0,2xx，且12xx，因为 244xf xxxx，则121212121212121244444xxfxfxxxxxxxxxxxx x#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 9页，共 12页1212124x xxxx x，因为12,0,2xx，且12xx，所以1212120,0,40 xxx xx x，所以120f xf x，即12f xf x，所以函数 f x在0,2上单调递减20(1)0m(2)1,12【分析】（1）根据幂函数得到0m 或5m，再验证奇偶性得到答案.（2）确定 21112g xx，函数在0,1上单调递增，计算最值得到值域.【详解】（1）函数 2151mf xmmx为幂函数，则2511mm，解得0m 或5m；当0m 时，f xx为奇函数，满足条件；当5m 时，6f xx为偶函数，不满足条件，舍去.综上所述：0m.（2）22111122xg xxx，函数在0,1上单调递增，故 min102g xg，max11g xg，故值域为1,1221(1)232AMPNxSx(2)DN的长为 2 米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为 24 平方米.【分析】（1）设DN的长为0 x x 米，则2ANx米，由:DN ANDC AM得到 AM，然后由AMPNSAN AM求解；（2）由23212312xSxxx，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：设DN的长为0 x x 米，则2ANx米，#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 10页，共 12页:DN ANDC AM，32xAMx，232AMPNxSAN AMx；（2）记矩形花坛AMPN的面积为S，则23212123122 31224xSxxxxx，当且仅当123xx，即2x 时取等号，故DN的长为 2 米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为 24 平方米.22(1)奇函数(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.【详解】（1）解：由题意，函数 f x对任意实数,x y恒有()()()f xf yf xy，令0 xy得(0)(0)(0)fff，解得：(0)0f.取0 x，则由()()()f xf yf xy得(0)()()0ff yfy，()()fyf y，即()()fxf x，函数 f x是奇函数.（2）证明：任取12,Rx x，且12xx，则210 xx，当0 x 时，0f x，210f xx，由()()()f xf yf xy得()()()f xf yf xy，21210f xf xf xx，12f xf x，f x是R上的减函数.#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 11页，共 12页（3）解：由()()()f xf yf xy得2222f axfxf axx，由()()()f xf yf xy得()()()f xf yf xy，则22fxf axfxax，不等式222f axf xf xf ax可化为222f axxfxax，f x是R上的减函数，222axxxax，即21120axax.（i）当1a 时，不等式式即为220 x，解得：1x ，即原不等式解集为1,；（ii）当1a 时，不等式式化为21101axxa，即2101xxa，若3a，上式不等式即为210 x，解得：1x ，即原不等式解集为,11,；若3a，则211a，原不等式解集为2,1,1 a；若13a，则211a，原不等式解集为2,1,1 a；（iii）当1a时，不等式式化为21101axxa，即2101xxa，此时211a，原不等式解集为21,1 a；综上，当1a时，原不等式解集为21,1 a；当1a 时，原不等式解集为1,；当13a时，原不等式解集为2,1,1 a；当3a 时，原不等式解集为,11,；当3a 时，原不等式解集为2,1,1 a.【点睛】方法点睛：1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若0，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#答案第 12页，共 12页大小，注意分类讨论思想的应用.#QQABDQKAggAoABAAABgCUwWyCkEQkBCAAKoOgAAAIAAAABFABCA=#