广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含答案.pdf

第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司深圳中学深圳中学 2023-2024 学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学 考试用时：考试用时：120 分钟分钟 卷面总分：卷面总分：150 分分 注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用选择题作答必须用 2B 铅笔铅笔.参考：以参考：以 10 为底的对数叫常用对数，把为底的对数叫常用对数，把log10 N 记为记为lg N；以；以e(e=2.71828)为底的对数叫为底的对数叫自然对数，把自然对数，把elog N记为记为ln N一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合3Pxx=N或0 x，2,4Q=，则()PQ=N（）A 1B.2C.1,2D.1,2,42.命题“()()31,1,xx+”否定是（）A.()1,x+，都有()31,x+B.()1,x+，都有()31,x+C.()1,x+，都有()31,x+D.()1,x+，都有()31,x+3.函数1()2xf xx+=的定义域是（）A.(,1)(1,0)B.1,)+C.1,0)D.1,0)(0,)+4.()f xx1x2=+的值域是A ()0,+B.1,)+C.()2,+D.2,)+5.已知幂函数的图象经过点()8,4P，则该幂函数在第一象限的大致图象是（）.的.第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.6.函数31()81ln803xf xx 的零点位于区间（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)7.已知不等式220axbx+的解集为21xx，则不等式220 xbxa+，则amabmb+”是“ab且2xyxy+=，则2xy+的最小值是_ 16.记(12)(12)Txy=，其中221xy+=，则 T 的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知集合(,)|1Ax yyx=，2(,)|Bx yymxaxm=+（1）若1a=，0m=，求AB；（2）若2 21a=+，且AB，求实数 m的取值范围 18.设不等式2514xx解集为A，关于 x的不等式2(2)20 xaxa+的解集为B（1）求集合A；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围 的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 19.已知函数()f x是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，2()2f xxx=+，现已画出函数()f x在 y轴左侧的图象，如图所示 （1）请将函数()f x的图象补充完整，并求出()()f x xR的解析式；（2）求()f x在区间,0a上的最大值 20.为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用 h(万元)与隔热层厚度(cm)x满足关系式：()()3232020h xxxk=+当隔热层厚度为1cm时，每年节省费用为 16 万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g(万元)与隔热层厚度(cm)x满足关系：()2g xx=（1）求 k的值；（2）在建造厚度为(cm)x的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=f xh xg x，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.21.已知23()21xxaf x=+，（1）若定义在R上的函数()ln()g xf x=是奇函数，求 a的值；（2）若函数()()h xf xa=+在(1,)+上有两个零点，求 a的取值范围 22.定义在R上的函数()f x满足如下条件：()()()4f xyf xf y+=+；(2)6f=；当0 x 时，()4f x （1）求(0)f，判断函数()f x的单调性，并证明你的结论；第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（2）当)0,x+时，不等式()()()ln3e122ln310 xfafxa+恒成立，求实数 a 的取值范围 第1页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 深圳中学深圳中学 2023-2024 学年度第一学期期中考试试题学年度第一学期期中考试试题 年级：高一科目：数学年级：高一科目：数学 命题人：曾劲松命题人：曾劲松 审题人：张铎、顾德禹审题人：张铎、顾德禹 考试用时：考试用时：120 分钟分钟 卷面总分：卷面总分：150 分分 注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用选择题作答必须用 2B 铅笔铅笔.参考：以参考：以 10 为底的对数叫常用对数，把为底的对数叫常用对数，把10logN记为记为lg N；以；以e(e2.71828)=为底的对数叫为底的对数叫自然对数，把自然对数，把elog N记为记为ln N 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合3Pxx=N或0 x，2,4Q=，则()PQ=N（）A.1 B.2 C.1,2 D.1,2,4【答案】D【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得1,2P=N，结合并集的定义和运算即可求解.【详解】由题意知，1,2P=N，2,4Q=，所以()1,2,4PQ=N，故选：D 2.命题“()()31,1,xx+”的否定是（）A.()1,x+，都有()31,x+B.()1,x+，都有()31,x+C.()1,x+，都有()31,x+D.()1,x+，都有()31,x+【答案】A【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,1,xx+”的否定是 第2页/共17页 学科网（北京）股份有限公司“()1,x+，都有()31,x+.故选：A.3.函数1()2xf xx+=的定义域是（）A.(,1)(1,0)B.1,)+C.1,0)D.1,0)(0,)+【答案】D【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可.【详解】()12xf xx+=的定义域满足1020 xx+，解得 1,0)(0,)x+.故选：D 4.()f xx1x2=+的值域是 A.()0,+B.1,)+C.()2,+D.2,)+【答案】B【解析】【分析】对x的范围分类，把()f x的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解【详解】()32,1121,1223,2x xf xxxxxx=+=，作出函数()f x的图像如图 所以()12f xxx=+的值域为)1,+，故选 B.第3页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决 5.已知幂函数的图象经过点()8,4P，则该幂函数在第一象限的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案.【详解】设()af xx=，则328422aa=，所以32a=，所以23a=，所以()2323f xxx=，因为2013，因为函数()f x在()0,+上递增，且增加的速度越来越缓慢，故该幂函数在第一象限的大致图象是 B 选项.故选：B.6.函数31()81ln803xf xx 的零点位于区间（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可【详解】因为函数81lnyx=与31803xy=在()0,+上均为增函数，所以()f x在()0,+上为增函数 因为()281ln2830f=，所以函数()f x的零点位于区间()2,3内 故选：B 7.已知不等式220axbx+的解集为21xx，则不等式220 xbxa+的解集为（）第4页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 A.11,2 B.1,12 C.1,12 D.()2,1【答案】A【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220axbx+=的两根为2,1，则22 1,2baa+=，解得1,1ab=，故220 xbxa+，即2210 xx+，()()2110 xx+，解得11,2x.即不等式220 xbxa+，()g xx=，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误 故选：BC 10.下列说法正确的是（）A.函数1yxx=+的最小值为 2 B.若 a，bR，则“220ab+”是“0ab+”充要条件 C.若 a，b，m为正实数，ab，则amabmb+”是“ab”的充分不必要条件【答案】BC【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定 A，根据绝对值和平方的性质可判定 B，根据不等式的性质可判断 CD.【分析】对于 A，当x取负值时显然不成立，故 A 错误，对于 B，若,a bR，由220ab+，可知 a，b 不同时为 0，由0ab+，可知 a，b 不同时为 0，所以“220ab+”是“0ab+”的充要条件，故 B 正确；对于 C，()()()()()0b ama bmm baamabmbb bmb bm+=+，所以amabmb+，则当0a，0b 时，则0ab，当0a，0b 时，则0ab 的 第6页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 若ab，当 a，b异号时，0ab，则11ab”是“ab，解得1x，故函数定义域为(,1)(3,)+，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+，故 A错；对于 B，()21e1xf x=+，由于e1xy=+在xR单调递增，且e10 x+，所以1e1xy=+在R上单调递减，2e1xy=+在R上单调递增，因此()f x在R上单调递增，B正确；对于 C，当0 x 时，lgyx=（即lgyx=）在区间()0,+上单调递增，又因为lgyx=为偶函数，其图象关于y轴对称，所以在区间(),0上单调递减，C正确；第7页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，由于函数13xy=与13logyx=（即3logyx=）互为反函数 所以两函数图象关于yx=对称，D 正确 故选：BCD.12.德国数学家狄里克雷在 1837年时提出：“如果对于 x 的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的 y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x，即：当自变量取有理数时，函数值为 1；当自变量取无理数时，函数值为 0下列关于狄里克雷函数()D x的性质表述正确的是（）A.()D x的解析式为()R1,0,.xQD xxQ=B.()D x的值域为0,1 C.()D x的图像关于直线1x=对称 D.()1D D x=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于 A，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故 A正确 对于 B，由解析式得()D x的值域为0,1，故 B错误；过于 C，若x为有理数，则2x为有理数，则()()21D xDx=；若x为无理数，则2x为无理数则()()20D xDx=；所以()D x的图像关于直线1x=对称，即 C 正确；对于D，当x为有理数，可得()1D x=，则()()1D D x=，当x为无理数，可得()0D x=，则()()1D D x=，所以()()1D D x=，所以 D 正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.计算1120.752535328()64162(4)327+=_ 第8页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【答案】414#1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：111114320.752364535335543282()64162(4)()(2)(2)22322733+=+221141821033444=+=故答案：414.14.已知 a，b是方程22(ln)3ln10 xx+=的两个实数根，则loglogabba+=_【答案】52#2.5【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得ea=，eb=，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为 a，b是方程()22 ln3ln10 xx+=的两个实数根，由韦达定理得1lnln2ab=，3lnln2ab+=，则()()()()2222lnlnlnln2lnlnlnlnlnln5loglog2lnlnlnlnlnlnlnln2abababababbabaabababab+=+=，即5loglog2abba+=；方法二：因为22310tt+=的根为1t=或12t=，不妨设ln1a=，1ln2b=，则ea=，eb=，所以ee15logloglogelog222eabba+=+=+=故答案为：52.15.已知0,0 xy且2xyxy+=，则2xy+的最小值是_【答案】8【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为 第9页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为2xyxy+=，所以211xy+=，所以()21442222428xyxyxyxyxyyxyx+=+=+=，当且仅当4xyyx=，即4,2xy=时取等号.所以2xy+的最小值为 8.故答案为：8.16.记(12)(12)Txy=，其中221xy+=，则 T 的取值范围是_【答案】3,32 22+【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222Tt=，22t 上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()1 24Txyxy=+，设xyt+=，则212txy=，所以2211 242212tTttt=+=因为22xyxy+，所以22124tt所以22t 又213222Tt=，所以当12t=时，T有最小值32，当2t=时，T有最大值32 2+故答案为：3,32 22+四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知集合(,)|1Ax yyx=，2(,)|Bx yymxaxm=+（1）若1a=，0m=，求AB；（2）若2 21a=+，且AB，求实数 m的取值范围 第10页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）11,22AB=（2）2,1【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到22 210mxxm+=，分0m=与0m 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.【小问 1 详解】若1a=，0m=，则(),|Bx yyx=由1yxyx=，得1212xy=所以11,22AB=【小问 2 详解】由()212 21xyymxxm=+消去y，得22 210mxxm+=因为AB，所以方程有解 当0m=时，方程可化为2 21x=，解得24x=，所以214y=，所以0m=符合要求 当0m 时，要使方程有解，必须()()22 2410m m=+，即220mm+，解得21m，所以21m，且0m 综上所述，m的取值范围是2,1 18.设不等式2514xx的解集为A，关于 x 的不等式2(2)20 xaxa+的解集为B（1）求集合A；第11页/共17页 学科网（北京）股份有限公司（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 a的取值范围【答案】（1）)1,4 （2）)1,4【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为BA，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B，进而求得a取值范围.【小问 1 详解】解：由不等式2514xx，可得2511044xxxx=，即()()140 xx，且4x，所以14x，所以)1,4A=【小问 2 详解】解：因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以集合B是A的真子集，由不等式()2220 xaxa+，可得()()20 xxa，当2a 时，不等式的解集为2ax，即,2Ba=，因为BA，则12a时，不等式的解集为2xa，即2,Ba=，因为BA，则24a，综上所述14 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问 1 详解】作出函数()f x的图象，如图所示，当0 x 时，0 x 【小问 2 详解】易如()()200ff=，当2a 时，()f x在xa=处有最大值 22f aaa；当20a ，所以12t，于是方程可化为2210atat+=，（*）问题转化为关于t的方程（*）在1,2+上有两个不相等的根，显然0a，方法一：设()221p tatat=+，抛物线的对称轴为1t=，()01p=第15页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 若a知，()p t必有一个零点为负数，不合题意；若0a，要使()p t在1,2+上有两个零点，由于对数轴112t=，故只需2102440paa=，即31044(1)0aa a，解得413a，即a，此时，11ata=，即11ata=，其中111,2aa+，则1112aa，即112aa，即114aa，可得340aa，解得403a时，()4f x （1）求(0)f，判断函数()f x的单调性，并证明你的结论；（2）当)0,x+时，不等式()()()ln3e122ln310 xfafxa+恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1）()04f=，函数()f x在R上为增函数，证明见解析 （2）1,3【解析】的 第16页/共17页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）令2,0 xy=，求得()04f=，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x在R上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln3e12ln30 xaxa+（*）对于任意)0,x+成立，由对数函数的性质，求得03a，再由不等式()23 e3 e10 xxaa+成立，转化为max1exa对于任意)0,x+成立，求得1a，即可求得实数a的取值范围【小问 1 详解】解：令2x=，0y=，可得()04f=函数()f x在R上为增函数，证明如下：设12xx，所以()214f xx，所以()2140f xx，所以()()210f xf x，即()()21f xf x，所以函数()f x在R上为增函数【小问 2 详解】解：由条件有()()()4f xfyf xy+=+，则不等式可化为()()ln3e122ln3410 xfaxa+，即()()ln3e122ln36xfaxa+，又由()26f=，所以()()()ln3e122ln32xfaxaf+，因为函数()f x在R上为增函数，可得()ln3e122ln32xaxa+即()ln3e12ln30 xaxa+（*）对于任意)0,x+成立，根据对数函数的性质，可得()3e10 xa+，30a 对于任意)0,x+成立，第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司 则13e0 xaa，因为0 x，则e1x，所以101ex，可得1334ex+，所以03a，所以e10 xa 对于任意)0,x+成立，即max1exa对于任意)0,x+成立，所以1a 由，可得13a，所以实数a的取值范围为1,3