2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第23讲 定点问题含解析.docx

2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第23讲 定点问题 一选择题（共1小题）1已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点ABCD二解答题（共18小题）2已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标3已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由4已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆上异于点的任意两点，且（1）求椭圆的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由5已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线过定点6已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（1）求抛物线的方程；（2）证明直线过定点7已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由8已知左焦点为的椭圆过点过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，设，分别为线段，的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若为线段的中点，求；（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标9已知椭圆，为其左焦点，点，分别为椭圆的左、右顶点，且，（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点10已知椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上异于，的任意一点（）求直线与的斜率之积；（）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点证明：以为直径的圆恒过点11已知点，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点（1）求；（2）证明：直线恒过定点12已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图（1）证明：为定值；（2）若的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线恒过一个定点13已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由14已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标15已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，如图所示（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由16过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点（）若直线的斜率为1，求线段的长；（）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点如果有求定点坐标，如果没有请说明理由17如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标18已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为（1）当的面积为时，求的值；（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由19已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点（）求直线与的斜率乘积的值；（）设，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由第23讲 定点问题 参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点ABCD【解答】解：因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是，又，得，即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，所以直线恒过定点，故选：二解答题（共18小题）2已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标【解答】（1）解：设圆的标准为，把代入得，故圆的标准方程为（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时弦长为8，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，则，所以，根据弦长为8，可得，解得，所以直线的方程为，综上所述，直线的方程为或；（3）证明：当直线斜率不存在时，设，直线，的斜率之积为2，即，点在圆上，联立，无解，舍去，当直线斜率存在时，设直线，联立方程，代入，得，化简得，直线的方程为：，所以过定点3已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意得解得：，所以椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率不为0，若直线斜率存在，设直线的方程为，联立得由题意可知恒成立，所以，假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，所以所以，所以，所以，所以，所以，所以若直线斜率不存在时，则，两点关于轴对称，当点坐标为时，轴平分综上所述，在轴上存在一点，使得轴平分4已知椭圆的离心率是，一个顶点是，点，是椭圆上异于点的任意两点，且（1）求椭圆的方程；（2）试问直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为（2）由知直线，的斜率存在且不为0设直线的斜率为，直线的方程为，得解得或当时，即，用代替，得于是直线的斜率，直线的方程为，整理得，当，时，对任意的，恒成立，所以直线过定点5已知，分别为椭圆的左，右顶点，为的上顶点，为椭圆外一点，与的另一交点为，与的另一交点为，且（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线过定点【解答】解：（1）由题意知，所以，解得，故椭圆的标准方程为证明：（2）设直线的方程为，联立，消去得，则有，所以，即，因为，所以，解得，所以直线的方程为，故直线过定点6已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（1）求抛物线的方程；（2）证明直线过定点【解答】解：（1）由题意可得双曲线的焦点为，即有抛物线的焦点，则，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，设切线方程为，联立得：，由设两条切线的斜率分别为，则，由知等根为，故设，则，所以直线的方程为：，化简得所以直线过定点7已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆过点，离心率为，解得，椭圆的方程为（2）由题意得，设，直线的方程为，即，代入椭圆方程并化简，得：，同理，直线的方程为，即，此时直线过定点，当时，直线即为轴，此时也过点综上，直线恒过定点，且定点坐标为8已知左焦点为的椭圆过点过点分别作斜率为，的椭圆的动弦，设，分别为线段，的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若为线段的中点，求；（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标【解答】（1）解：由题意，且右焦点，所求椭圆方程为；（2）解：设，则，可得；（3）证明：由题意，设，直线的方程为，即，代入椭圆方程并化简得，同理，当时，直线的斜率直线的方程为即此时直线过定点当时，直线即为轴，此时亦过点综上，直线恒过定点，且坐标为9已知椭圆，为其左焦点，点，分别为椭圆的左、右顶点，且，（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条射线分别与椭圆交于、两点（均异于点，且，证明：直线恒过轴上的一个定点【解答】（1）解：，又，整理得，则椭圆的方程为；（2）证明：由已知直线与轴不垂直，假设其过定点，设其方程为，联立，得设，则，即化简得：，若，则与重合，不合题意，整理得综上，直线过定点10已知椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上异于，的任意一点（）求直线与的斜率之积；（）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点证明：以为直径的圆恒过点【解答】解：（）设点，则有，即，（）证明：设，与轴不重合，设直线，由化简得，；由题意可知成立，且；将代入上式并化简得，即以为直径的圆恒过点11已知点，抛物线，过点的动直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点，为坐标原点（1）求；（2）证明：直线恒过定点【解答】解：（1）设点，由题意，设直线，由得，又，（2）证明：设，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，三点共线，即，即，即，直线的方程是，即，由式可知，代入上式，得，令，解得，直线恒过定点12已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于、，直线交抛物线于另一点，如图（1）证明：为定值；（2）若的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线恒过一个定点【解答】证明：设点，、三点共线，即，（2分）（5分）解：设，则，（8分）又，与的夹角为（10分）（）证明：设点，、三点共线，即，即，（12分），直线的方程是，即，即，由式，代入上式，得，直线过定点13已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，（1）求抛物线的方程；（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，满足，的的坐标为，在抛物线上，所以，即，解得，所以抛物线的方程为：；（2）设，则，直线的斜率，则直线的方程为：，即，同理可得直线的方程整理可得，将，分别代入，的方程可得，消可得，易知直线，则直线的方程为：，即，故，所以，因此直线恒过定点14已知直线与抛物线相交于，两点，满足定点，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标【解答】解：（1）设，联立，整理可得：，所以可得，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，由，三点共线可得，即，整理可得：，所以，同理可得，三点共线，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点15已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，如图所示（1）求抛物线的焦点坐标；（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由【解答】解：（1）抛物线的方程化为，（2分）抛物线的焦点坐标为（4分）（2）联立方程组，解得点坐标为（6分）联立方程组，解得点坐标为（7分）所以直线的方程为，（8分）令，解得点的坐标为（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为，则另一条为，联立方程组，解得点坐标为（11分）联立方程组，解得点坐标为，（12分）所以直线的方程为，（13分）令，解得直线恒过定点（14分）16过抛物线上一点作直线交抛物线于另一点（）若直线的斜率为1，求线段的长；（）不过点的动直线交抛物线于，两点，且以为直径的圆经过点，问动直线是否恒过定点如果有求定点坐标，如果没有请说明理由【解答】解：（）把点的坐标代入抛物线可得，所以抛物线的方程为：，由题意可得直线的方程为：，即，与抛物线联立，整理可得：，解得：或，可得交点或，所以；（）设直线为：，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，即，因为，所以，整理可得：，整理可得：，即，可得不是恒成立，或（符合，所以直线为：，即，直线恒过点17如图所示，已知椭圆的离心率为，的右焦点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，不经过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过，求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标【解答】解：（1）椭圆的离心率为，即（2分）椭圆的右焦点到直线的距离为，（4分）解得，又，故椭圆的方程为（5分）（2）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意，不妨设直线的方程为，由，消去得，设，则，（7分）以为直径的圆过椭圆右顶点，即（9分），解得或（舍（11分）故直线恒过定点（12分）18已知椭圆的左顶点是，左焦点为，上顶点为（1）当的面积为时，求的值；（2）若直线交椭圆于，两点（不同于，以线段为直径的圆过点，试探究直线是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由【解答】解：（1）由椭圆方程：，则，由三角形的面积，则，解得：，的值为；（2）由线段过直径的圆过点，则，设直线的斜率为，则直线的斜率为，为，设，则，整理得：，则，则，故，则，直线的方程为，同理可得：，当的斜率不存在时，显然可得，此时，则圆心为，由直线总穿过轴，证明当的斜率存在时，也过点，当的斜率存在时，综上可知：过定点，19已知椭圆的左右顶点分别为、，点为椭圆上异于，的任意一点（）求直线与的斜率乘积的值；（）设，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点，则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设点，则有，即，（）假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点；设，与轴不重合，设直线的方程为，由化简得，由题意可知成立，且，；，将，代入上式可得，即，即，即，解得，（舍去）或故第24讲 定值问题 一解答题（共19小题）1已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点（）求双曲线的方程；（）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明（）试推广（）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）2已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由3已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值4已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值5已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由6在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点设直线，的斜率分别为，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；求面积的最大值7已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由8已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（1）若，求点坐标；（2）问：是否为定值9已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，记直线，的斜率分别为，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由10已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由11在平面直角坐标系中，椭圆（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；（2）若，是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值12已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，设点，分别为线段，的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标求证：点到直线，的距离的平方和为定值13已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值14如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点（1）求证：（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由15已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值16已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值17已知圆的方程为，直线，设点，（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；（2）若点在圆上，且，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数若直线过点，求直线的斜率；试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由18已知椭圆的左、右焦点分别是，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且的周长为6（1）求椭圆的方程；（2）若，在直线上的射影分别为，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，试问：当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点证明：直线与直线的斜率之积为定值第24讲 定值问题 参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点（）求双曲线的方程；（）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明（）试推广（）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）【解答】解：（）由题意可设双曲线的方程为点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点双曲线的一个焦点为可得的另一个焦点为（1分）由（3分），又，所以（4分）双曲线的方程为（）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线交抛物线于点，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，定值是2（6分）证明如下：由于直线与轴不垂直，可设直线的方程为联立方程可得由题意与有两个交点，则，设，则，线段的中点的坐标（8分）的垂直平分线的方程为令可得，即，（9分）（10分）（）过圆锥曲线的焦点作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线交于，两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点，则为定值，定值是（其中 是圆锥曲线的离心率）（13分）（法二）由题意可设双曲线的方程为（1分）由已知可得（3分）解可得，双曲线的方程为（4分）（），（）同法一2已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由【解答】解：中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点，设椭圆方程为，把代入，得：，整理，得，解得，或，椭圆的方程为（4分） “过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是4” （5分）证明如下：由于与轴不垂直，可设直线的方程为当时，由依题意与有两个交点、，所以设，则，所以线段的中点的坐标为，（7分）的垂直平分线的方程为：令，解得，即，所以（9分）又，（10分）所以（11分）时，易得结论成立综上所述，结论成立（12分）3已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，所以，椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得，所以，解得：，所以柯圆的标准方程为：方法二：由椭圆定义；，得到：，即，又，得，所以椭圆的标准方程为：（2）证明：设直线的方程为：得，设过点且平行于的直线方程：，4已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值【解答】解：（1）椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3，解得，椭圆的方程为：（2）方法一（点差法），设，为的中点，两式相减可得，即，直线方程为，即；方法二：易知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为，即，由，消可得，设，为的中点，解得，即直线为，即；（3）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程为，且，设，由得，由（1）得，（定值）5已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆，的离心率等于，点在椭圆上，解得，椭圆的方程为（2）当轴时，直线、的方程分别为，分别化为：，联立解得猜测常数即存在定直线，使得与的交点总在直线上证明：当直线的斜率存在时，设的方程为：，联立，化为，三点，共线，由于，要证明三点，共线即证明即证明，而，成立存在定直线，使得与的交点总在直线上综上可知：存在定直线，使得与的交点总在直线上6在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上（）求椭圆的方程；（）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点设直线，的斜率分别为，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；求面积的最大值【解答】解：上顶点在直线上，由得，即，椭圆的方程为； 存在实数，使得设，则，直线的斜率，直线的斜率，设直线的方程为，由题意知，由得，由题意知，直线的方程为，令，得，即，即，存在常数使得结论成立直线的方程，令，得，即，由知，的面积为由于，当且仅当时等号成立，此时取得最大值，面积的最大值为7已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知，由，解得，所以，所以椭圆的方程：；（2）由（1）知，设，由，得，所以，代入椭圆方程得，解得所以，因此的方程为：；（3）设直线的方程，联立方程组，消去，整理得：，则，所以，直线的方程为，又，令，则，所以点的坐标为，即，所以因此为定值，定值为08已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点（1）若，求点坐标；（2）问：是否为定值【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，设，由椭圆的第二定义得：，解得，在椭圆上，解得，或，（2）设直线的方程为，不妨取，把，代入直线，得，直线的方程为，联立，得，解得，的中点，直线的方程为，令，得，故为定值9已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，记直线，的斜率分别为，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由【解答】解：（1）椭圆的离心率为，面积的最大值为，解得，故椭圆的方程为（2）设，轴，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，化简整理可得，由韦达定理可得，故为定值，定值为10已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为（1）求椭圆的方程；（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，则满足方程组，解得，所以椭圆方程为，（2）设直线的方程为，联立方程，消去整理得，设点，的中点，则，所以，的垂直平分线的方程为，令得，因为，所以，所以点的横坐标的取值范围为（3）假设存在，设，结合第（2）问知：，所以所以设则对任意恒成立，所以，解得，所以存在点，使得为定值11在平面直角坐标系中，椭圆（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；（2）若，是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值【解答】解：（1）由题意得，解得，所以实数的取值范围是；（2）因为，所以椭圆的方程为，设点坐标为，则，因为点的坐标为，所以，所以当时，的最小值为，此时对应的点坐标为；由，得，即，从而椭圆的右焦点的坐标为，右准线方程为，离心率，设，的中点，则，两式相减得，即，令，则线段的垂直平分线的方程为，令，则，因为，所以，因为故，即为定值12已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，设点，分别为线段，的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标求证：点到直线，的距离的平方和为定值【解答】（1）解：由题意，且右焦点，所求椭圆方程为：；（2）解：设，设方程为由，得，三角形面积，当且仅当时，取等号； （3）证明：由题意，令直线的斜率为，则的斜率为，设，直线的方程为，代入椭圆方程并化简得，；同理可得，直线的斜率，直线的方程为，即，此时直线过定点；证明：直线的方程为，即，直线的方程为，即则点到距离的平方，到距离的平方点到直线，的距离的平方和为，为定值13已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值【解答】解：（1）设，则，两式相减得，所以，即又所在直线的方程是，所以，所以，故椭圆的方程是（2）设直线交椭圆于，由，消去得，因此，于是故为定值，且为1514如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点（1）求证：（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：，由到直线的距离为，即，故抛物线方程为，依题意，设直线方程为，联立得：，设，；（2）将代入得，若有成立，则有解得，故存在，使成立15已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得，由椭圆的定义可得的周长为，又因为的周长为8，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）证明：设直线的方程为，联立，得，设，所以，设的中点为，所以，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，所以，