2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第17讲 直线的斜率问题含解析.docx

2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第17讲 直线的斜率问题 一解答题（共18小题）1已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点（）求椭圆的离心率；（）若垂直于轴，求直线的斜率；（）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由2设椭圆的焦距为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由3如图，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点证明：，三点共线4已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，（）当，时，求的面积；（）当时，求的取值范围5已知椭圆的右焦点为，左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由6已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且（）求椭圆的标准方程；（）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程7在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程8已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，点为点关于轴的对称点（1）求双曲线的方程；（2）判断，三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形面积的最小值9设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：10在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）11在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由12已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由13一个圆经过点，且和直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点14设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点（1）若过点，且，求的斜率；（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行15如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且证明：直线的斜率为定值16已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且（）求抛物线的方程；（）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点17已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值18设椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点第17讲 直线的斜率问题 参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点（）求椭圆的离心率；（）若垂直于轴，求直线的斜率；（）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【解答】解：（）椭圆的标准方程为所以，所以椭圆的离心率（）因为过点且垂直于轴，所以可设，直线的方程为令，得所以直线的斜率（）直线与直线平行证明如下：当直线的斜率不存在时，由（）可知又因为直线的斜率，所以当直线的斜率存在时，设其方程为设，则直线的方程为令，得点由，得所以，直线的斜率为：，因为所以，综上，直线与直线平行2设椭圆的焦距为，且经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）椭圆的焦距为，且经过点，根据题意得：，即，把代入椭圆方程得：，把代入得：，则椭圆的标准方程为；（2）直线与直线平行证明如下：过点且垂直于轴，可设，直线的方程为：，令，得，直线的斜率当直线的斜率不存在时，又直线的斜率，；当直线的斜率存在时，设其方程为，设，则直线的方程为，令，则点，直线的斜率，联立，得，由韦达定理，得，即；综上所述，直线与直线平行3如图，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点证明：，三点共线【解答】（1）解：，由2是与的等差中项，是与的等比中项，解得，椭圆的方程为（2）证明：直线的方程为：，直线的方程为：，联立，化为，直线的方程为：，把代入上述方程可得，三点共线4已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，（）当，时，求的面积；（）当时，求的取值范围【解答】解：（）方法一、时，椭圆的方程为，直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，解得或，则，由，可得，由，可得，整理可得，由无实根，可得，即有的面积为；方法二、由，可得，关于轴对称，由可得直线的斜率为1，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，则的面积为；（）直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，（补充求，的纵坐标的方法：设，则直线的方程为，与椭圆的方程联立，可得，因此的纵坐标为，的纵坐标为即有，由，可得，整理得，由椭圆的焦点在轴上，则，即有，即有，可得，即的取值范围是，5已知椭圆的右焦点为，左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【解答】解：（1）根据题意，椭圆的右焦点为，左顶点为，则，则所以椭圆的方程为（2）根据题意，当直线与轴垂直时，直线的方程为，联立得，解得此时直线的方程为直线与轴的交点为当直线不垂直于轴时，设直线的方程为联立得设，则，且，即而，由题意知，即，解得或（舍去）当时，满足直线的方程为，此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点，坐标为6已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且（）求椭圆的标准方程；（）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程【解答】解：（）由，可得，椭圆过点，可得，解得，所以椭圆的方程为：（4分）（）设，则，两式相减得，因为线段的中点在轴上，所以，从而可得（7分）若，则，因为过点作两条相互垂直的直线，所以，所以，得又因为，所以解得，所以，或，所以直线的方程为（10分）若，则，因为，所以，得又因为，所以解得或，经检验：满足条件，不满足条件综上，直线的方程为或（13分）7在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程【解答】解：（1）由题意，解得，双曲线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在，设，则，即，联立，得设，解得，又，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，即，则，得或当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；当时，代入，解得，满足条件直线的方程为或8已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，点为点关于轴的对称点（1）求双曲线的方程；（2）判断，三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形面积的最小值【解答】解：（1），双曲线的方程为；（2）由（1）可知，由题意直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，代入整理得，设，则，由韦达定理知，所以因为向量共线，所以，三点共线（3）因为直线与双曲线右支交于点，所以，得，令，则，又，所以，即时，三角形面积的最小值189设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：【解答】解：（1），与轴垂直，由，解得或，或，直线的方程为，证明：（2）当与轴重合时，当与轴垂直时，为的垂直平分线，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线，的斜率之和为，之和为，由，得，将代入可得，从而，故，的倾斜角互补，综上10在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）【解答】解：联立，不妨取，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为同理可得曲线在点处的切线方程为：存在符合条件的点，下面给出证明：设满足，直线，的斜率分别为：，联立，化为，当时，直线，的倾斜角互补，点符合条件11在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由【解答】解：（1）联立，可得，或，故在处的导数值为，在处的切线方程为，即故在处的导数值为，在处的切线方程为，即故所求切线方程为或（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，将代入得方程整理得，当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以符合题意12已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由【解答】解：（1）也是抛物线的焦点，且抛物线的准线方程为，设点，解得，椭圆方程为，（2）假设存在满足设，联立得，由韦达定理有，其中恒成立，由（显然，的斜率存在），故即，由，两点在直线上，故，代入整理有，将代入即有：，要使得与的取值无关，当且仅当“ “时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有13一个圆经过点，且和直线相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点【解答】解：（1）设动圆圆心，则由抛物线定义易得：点是以为焦点，以为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹方程为：（2）设两点，设不垂直于轴的直线：，则有：，所以：，因为轴是的角平分线，所以：，即：，即：则：，所以：，所以直线过定点14设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点（1）若过点，且，求的斜率；（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程可得，即，所以，但，故直线的斜率存在，设其方程为由得，设，则，所以，解得，所以直线的斜率为（2）设直线的方程为，得，则由，得又，所以，从而在轴上的截距的取值范围为，所以直线，的斜率互补，从而的平分线始终与轴平行15如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且证明：直线的斜率为定值【解答】证明：设，直线的斜率为，方程为则直线的斜率为，方程为由点的坐标为（5分）同理可得，点的坐标为所以，所以直线的斜率为定值（10分）16已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且（）求抛物线的方程；（）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点【解答】解：（）由题意可设直线的方程为，令，联立得，根据抛物线的定义得，又，又，则此抛物线的方程为（）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则由于直线、的倾斜角互余，则，则直线的斜率为于是直线的方程为，即，联立得，则，同理将换成得：，则直线的方程为，即，显然当，所以直线经过定点17已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值【解答】解：（1）依题意，直线的方程为，由点到直线间的距离公式得：点到直线的距离，因为，所以；当与时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，消去解得，根据对称性，设，则，同理可得，所以方法二：设直线、的斜率分别为、，则，所以，、，在椭圆上，即，所以，即，所以18设椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点【解答】解：（1）由已知可得，解得，又椭圆过点，所以，解得，故椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得点，设，当直线的斜率不存在时，设其方程为，有，所以，解得，此时直线的方程为，当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立可得：，则，又，所以，即，所以，整理可得，因为直线不过点，所以，则，即，所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点，此点也在直线上，所以直线恒过定点第18讲 向量的数量积问题 一解答题（共16小题）1已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率2已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由3已知抛物线过点（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值4已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知为原点，求证：为定值5已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率（1）分别求抛物线和椭圆的方程；（2）经过，两点分别作抛物线的切线，切线与相交于点证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由6已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，且为坐标原点）证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程7设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（）求双曲线方程；（）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由8已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由9设双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，四边形的面积为4（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求10已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论11已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由12已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围13设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上（）求椭圆的方程；（）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形14设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线（）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内15设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线（）求椭圆的方程；（）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，求证：为锐角16已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若的周长为6，且离心率（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点第18讲 向量的数量积问题 参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为（2）由（1）可知焦点的坐标为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以，抛物线的准线方程为，联立圆的方程，所以，所以，所以，不满足，所以直线的斜率不存在不满足条件当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，设，则，则，又，所以，解得，所以直线的斜率为22已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为，而在抛物线上，即，抛物线的方程为：（2）由题意可设，代入，得：，设，则，若以为直径的圆经过点，则，即，存在直线，的方程：3已知抛物线过点（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值【解答】解：（1）将代入，得，解得故所求抛物线的方程为，其准线方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得直线与抛物线有公共点，解得，由直线与的距离，可得，解得，符合题意的直线存在，其方程为（3）由题意可知：设，设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，直线的斜率为，方程为，设，联立，化为，当且仅当时取等号当时，的最小值为164已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知为原点，求证：为定值【解答】解：（1）将代入，得，抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程；（3分）（2）证明：设，因为直线不经过点，则直线的斜率存在，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，整理得：，则由韦达定理得：，（6分）直线的方程为：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，则，（13分），即为定值（14分）方法二：证明：设，设直线方程为，于抛物线方程联立得，整理得：，则由韦达定理得：，（6分）直线的方程为：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，则，（13分），即为定值（14分）5已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率（1）分别求抛物线和椭圆的方程；（2）经过，两点分别作抛物线的切线，切线与相交于点证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由【解答】解：（1）抛物线 的焦点为，可得，解得，可得抛物线的方程为；设椭圆的方程为 ，半焦距为由已知可得：，解得，所以椭圆的方程为；（2）证明：显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，设， ，代入抛物线方程，消去并整理得，抛物线的方程为，求导得，过抛物线上、两点的切线方程分别是，即，解得两条切线，的交点的坐标为，即，（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为，其中点，为切点令，得，解得或，故不妨取，即直线过点综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、为切点），能使直线过点此时，两切线的方程分别为和6已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，且为坐标原点）证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程【解答】解：（1）满足，可得的横坐标为，纵坐标为，再由，可得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）证明：设，联立，整理可得：，则，因为，即，则，即，可得，原点到直线的距离为定值，所以可证：存在一个确定的圆与直线相切7设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（）求双曲线方程；（）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因为，解得，故双曲线的离心率为2；（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，最小距离为，即，又，所以，所以，所以双曲线的方程为：，由题知直线的斜率不为0，设直线，联立直线与双曲线的方程得，化简得，根据根与系数的关系得，所以，设直线，直线，令，可得，设是以为直径的圆上的任意一点，则，则以为直径的圆的方程为：，由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，即，将代入，可得，即，解得或2，所以以为直径的圆过定点，8已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由【解答】解：（1）因为圆与椭圆有且仅有两个公共点，所以，由题意，得，解得，所以椭圆的标准方程为（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，所以，设，由根与系数的关系可得，而，所以，由为定值，可得，即，解得或（满足，所以直线的方程为或，所以直线过定点或，此时定值为，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，不妨令，则，又为定值，所以，直线的方程为，此时直线过点，符合题意，综上，若为定值，则直线过定点或，且定值为9设双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，四边形的面积为4（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求【解答】解：（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，可得，因为双曲线的准线方程为，则，可得，所以，由双曲线的对称性，可得，结合四边形的面积为4，可得，解得，结合，可得，所以双曲线的方程为；（2）当直线的斜率存在时，对于圆，不妨考虑，则由，可得，所以，所以；当直线的斜率存在时，设，因为这些与相交于，两点，所以，因为这些与圆相切，所以，即，设，联立方程组，可得，结合，可得，则，所以，结合，可得综上所述，10已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论【解答】解：（）依题意得，又，由此解得，所以椭圆的方程为（）点在以为直径的圆内证明如下：方法1：由（）得，设，点在椭圆上，又点异于顶点、，由、三点共线可以得从而，将代入，化简得，于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内方法2：由（）得，设，则，又的中点的坐标为，依题意，计算点到圆心的距离与半径的差直线的方程为，直线的方程为，而两直线与的交点在直线上，即又点在椭圆上，则，即于是将、代入，化简后可得11已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由【解答】解法一：（1）由已知得，解得，椭圆的方程为（2）设点，中点为，由，化为，故，故在以为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点，则，由，化为，从而，又，不共线，为锐角故点在以为直径的圆外12已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围【解答】解：（1）圆经过点，故椭圆的方程为，（4分）（2）设直线的方程为由消去得，设，则，（6分），（8分）（10分）点在圆的内部，即，解得，由，解得又，（12分）13设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上（）求椭圆的方程；（）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形【解答】解：（）由题意：，所以，所求椭圆方程为；又点在椭圆上，；故所求椭圆方程为：（）证明：由（）知，设，则直线的方程为：，；由得；因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以；由，得，所以；从而，；所以又，三点不共线，所以为钝角；所以为钝角三角形14设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线（）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内【解答】解：（）依题意得，解得，从而故椭圆的方程为（）由（）得，设，点在椭圆上，（1）又点异于顶点、，由、三点共线可以得从而，（2）将（1）代入（2），化简得，则为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内15设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线（）求椭圆的方程；（）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，求证：为锐角【解答】解：（）依题意得，解得，从而故椭圆的方程为（）由（）得，设，点在椭圆上，又点异于顶点、，由、三点共线可得，从而，于是为锐角16已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若的周长为6，且离心率（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于，的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点【解答】（）解：设、，由已知可得，又，由可求得，所以椭圆的方程为；（）证明：由题意知，设，则直线的方程为，当时，所以，又点，在椭圆上，所以，因为，所以，因此以为直径的圆过点