云南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期适应性月考卷（五）数学含答案.pdf

寸数学试卷7.已知点 A(O,2),点B(O,-2),若在直线 x=my-3 上存在一点P,使得“丙而O成立是-2mO,bO)绕着其中心旋转一定的角度可以得到函数f(x)=x-1 a b X 的图象，则该双曲线的实轴长为A.2五五三c.2.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列不等关系不能恒成立的是1A.ex+-2 ex 1 B.lnx+2lnx B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B.4D.4ly X C.cosx+2 D.-+2 COSX X y II10.已知随机事件A,B,C,则下列说法正确的是A.若h为事件B 的对立事件，则 P(BIA)=1-P(BIA)B.若事件B,C 互斥，则 P(BUCIA)=P(B IA)+P(CIA)C.若 P(A)=P(AIB)则事件 A,B 独立D.若 P(A)+P(B)=1,则事件 A,B 对立11.如图 2,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=2AB,D 为棱 BC 的中点，点E,F 分别在棱 BB1,ee1上，当 AE+EF+FA1取得最小值时，则下列说法正确的是C,A.AE=EF1B.EF 与平面 ABe 所成角的正切值为3 C.直线 AD 与 EF 所成角为90D.V=V D-AA1F A1-ADE A 图2A.0.24B.0.14C.0.067数学第1页（共4页）D.0.07712.定义在 R 上 的函 数 y=f(x)由关 系式Xlxl-Y lrl=1 确定，设函数g(x)=寸(x),x;,O,则下列说法正确的是寸(-x),xO)图象上相邻的最高点和最低点，当EF=5,Y1-r2=4时，则o的值为15.在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD 为正方形，PA上平面ABCD,PA=AB=1,已知圆柱在该四棱锥的内部且圆柱的底面 在该 四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为16.已知点P在函数J(x)=xe义上，若满足到直线y=x+a的距离为2丘的点P有且仅有两个，则实数a的取值范围是四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）在6ABC中，角 A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知6ABC的外接圆半径为/5,且bsin(A+C)=asin(B+C)+(丘a+c)sin(A+B).(1)求角B;厄(2)若sinAsinC=求6ABC的面积10,电子元件A,B接入了 图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为X,求X的分布列(2)经反复测验，质检员把一此r-元件A 元件A-i兀件B乙厂-,：元件A亡l：元件Bl，甲图420.(本小题满分12分）al a2 a3 an l 已知数列1 an f满足：+-+-=n(n E N),数列j bn f满足丸2 22 23 2n an+250(1)求数列laJ的通项公式；(2)求b1+b2+b9918.(本小题满分12分）如图3 在菱形ABCD中，AB=2,LDAB=60,将!:.BCD沿着BD翻折，形成三棱锥 A-BCD.(1)当AC=2时，证明：AD上BC;(2)当平面ABD.l平面BDC时，求直线BC与平面ACD所成角的余弦值c 21.(本小题满分12分）巳知凡，凡 为椭圆C的两焦点，过点凡(0,1)作直线交椭圆C于A,B两 点，6AB凡的周长为4迈(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的 上顶点为P,下顶点为Q,直线QB 交y=2于点H,求证：A,P,H三点共线A厂三、I刁A 图319.(本小题满分12分）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图4,甲所示的电路 于是他在一批产品中随机抽取了电子元件A,B,安装在如图甲所示3 2 的电路中，已知元件A的合格率都为，元件B的合格率都为.4 3(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；22.(本小题满分12分）已知J(x)=a无(aO且a=/cl,xO),g(x)=x2cx0),h(x)=lng(x)ln lf(X)(1)当J(x)=g(x)有两个根时，求a的取值范围；h(2)h(3)h(n)n l 3(2)当a=e2时，求证：一了-+3+勹厂气十2n+2-4(nEN*).数学第3页（共4页）一二一二二一二口数学 第4页（共4页）.、,、#QQABZQIAggAAQBAAABgCAwGyCgAQkBCACCoGRAAMsAAAARFABCA=#数学参考答案第 1页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司数学参考答案一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案DCACBDDA【解析】1复数20232i2iz ，则z的共轭复数2iz 在复平面内对应的点(2 1)，位于第一象限，故选 D3|2a 且向量a与b的夹角为3，向量a在b上的投影为|cos1aa b ，又|1b，向量a在b上的投影向量为b，故选 A4棱长为2的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：1r，所以该球的表面积244Sr，故选 C5 tan67 tan68tan67tan68tan(6768)(1tan67tan6 8)tan67tan681 tan67tan68tan67tan681，故选 B6记小明步行上班为事件A，骑共享单车上班为事件B，乘坐地铁上班为事件C，小明上班迟到为事件H则()0.2P A，()0.3P B，()0.5P C，(|)1(|)0.09P H AP H A，(|)1(|)0.08P H BP H B，(|)1(|)0.07P H CP H C，所以()()()P HP AHP BH()()(|)()(|)(0.20.090.3)(|)0.080.50.07P CHP A P H AP B P H BP C P H C0.077，所以某天上班他迟到的概率是0.077，故选 D7以AB为直径的圆的方程为224xy，若直线上存在一点P，使得0PA PB ，则点P是在以AB为直径的圆的内部所以直线与圆相交.即圆心(0 0)，到直线3xmy的距离2321dm，所以52m 或52m 52m 或52m 是“22m”成立的既不充分也不必要条件，故选 D数学参考答案第 2页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司8对于双曲线，原点到右支的最短距离为a，所以在函数1()f xxx上 找 一 点P到 原 点 的 最 小 值 即 为a 设 点0001P xxx，则22200020011222 22dxxxxx，所以当2022x 时，min2 22da，所以实轴长为2 2 22，故选 A二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）题号9101112答案BCDABCACDAD【解析】9对于不等式2abab成立的条件之一是：a bN，所以A：令e(0)xt ，12tt，当1t，即0 x 时取等号，A正确；B：令ln(0)(0)tx ，不满足上述基本不等式的条件，B错误；C：令cos 1 0)(0 1tx，不满足上述基本不等式的条件，C错误；D：(0)(0)xy ，不满足上述基本不等式的条件，D错误，故选 BCD10对于随机事件A B C，A：若B为事件B的对立事件，由条件概率的性质可知：在事件 A 的条件下，事件B发生和事件B发生的概率之和为 1，所以(|)1(|)P B AP B A，A正确；B：若事件B C，互斥，则在事件A的条件下，B C，发生的概率等于在事件A的条件下，B发生的概率与C发生的概率之和即(|)(|)(|)P BC AP B AP C A，B正确；C：()()(|)()P ABP AP A BP B，()()()P ABP A P B，事件A B，独立，C正确；D：比如投掷一枚骰子，随机事件A为：向上的点数为奇数，则1()2P A，随机事件B为：向上的点数不小于 4，则1()2P B，虽然()()1P AP B，但事件A与事件B不是对立事件，D错误，故选 ABC11在正三棱柱111ABCABC中，其侧面展开图如图 1：当1AEEFFA取得最小值时，在侧面展开图中连接1AA，分别为交11BBCC，图 1数学参考答案第 3页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司于点EF，由相似可知，点EF，分别为11BBCC，的三等分点，A：如图 2，过 点E作1EHCC交1CC于 点H，由 勾 股 定 理 得：22AEABBE，22EFEHHF，ABBCEH，BEHF，AEEF，A正确；B：由A选项知：EFBH，所以EF与平面ABC所成的角即为BH与平面ABC所成的角，1CCABC 平面，HBC为BH与平面ABC所成的角又12AAAB且H为三等分点，tanHCHBCBC1122333CCBCBCBC，B错误；C：在正三棱柱111ABCABC中，1CCABC 平面，1CCAD.又ABACBC且点D为中点，ADBC.又1BCCCC，11ADBCC B面平，ADEF，即直线AD与EF所成角为90，C正确；D：11D AA FFDAAVV，11AADEE DAAVV，取11BC的中点1D，连接1DD，则11CCDD，11BBDD，所以点F到平面1DAA的距离等于点E到平面1DAA的距离，11D AA FAADEVV，D正确，故选 ACD12 当0 x，0y时，221xy；当0 x，0y时，221xy；当0 x，0y时，221xy（不存在）；当0 x，0y时，221yx；2221(1)()1(01)1(0)xxf xxxxx ，函数()f x的图象如图 3，()0()()0f xxg xfxx，即221(11)()1(11)xxxg xxx 或 ，函数()g x的图象如右图 4，由图可知：()f x在定义域内单调递增，A正确；()f x关于直线yx 对称，B错误；()g x的值域为(1，C错误；()g x为偶函数，故其导函数为奇函数，D正确，故选 AD三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号13141516图 2图 3图 4数学参考答案第 4页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司答案160313(4 4)，【解析】1362xx展开式中的常数项是：33362C20(8)160 xx 14假设()f x的图象如图 5 所示，5EF，124yy，32T，26|T，3，故答案是315如图 6，设圆柱外切长方体的底边长为x，则高为1x，圆柱的底 面 半 径 为2x，高 为1x，圆 柱 的 体 积 为232(1)244xxxVx，23042xVx ，10 x ，223x，V在203，上单调递增，在23，上单调递减，当23x，即半径为13时，圆柱的体积最大16因为()(1)e1xfxx，所以00 x，所以点(0 0)P，到 直 线yxa的 距 离 为2 2时，|2 22ad，解得4a 或4当4a 时，函数()exf xx图象与直线4yx不相交（如图 7），从而函数()exf xx的图象上只有一点到直线4yx的距离为2 2当4a 时，函数()exf xx图象与直线4yx相交（如图），从而函数()exf xx的图象上有且仅有三个点到直线4yx的距离为2 2综上，要满足点P到直线yxa的距离为2 2的点有且仅有两个时，(4 4)a ，四、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）解：（1）在ABC中，ABC，图 5图 6图 7数学参考答案第 5页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司sin()sinABC，sin()sinACB，sin()sinBCA，sinsin(2)sinbBaAacC，（2 分）由正弦定理得：2222baacc，即：2222acacb，（3 分）由余弦定理得：2222cos22acbBac，（4 分）34B（5 分）（2）由正弦定理22 5sinsinsinabcRABC，得：2 5sinaA，2 5sincC，（7 分）2(2 5)sinsin2 2acAC，（9 分）ABC的面积为112sin2 21222ABCSacB（10 分）18（本小题满分 12 分）（1）证明：当2AC 时，此三棱锥ABCD为正四面体，如图 8，取AD的中点F，连接CF，BF在正四面体ABCD中，CFAD，BFAD且CFBFF，（3 分）ADCBF 平面，.ADBC（5 分）（2）解：当ABD 平面BDC平面时，取BD的中点H，建立如图所示的空间直角坐标系，则(3 0 0)A，(0 1 0)B，(0 03)C，(01 0)D，.（6 分）设 平 面ACD的 法 向 量111()mxyz，(3 03)AC ，(0 13)DC，(013)BC ，11113300030 xzmACm DCyz，令13x，得：(333)m，（9 分）设直线BC与平面ACD所成角为，则|33sin|cos|215m BCm BCmBC ，155，图 8数学参考答案第 6页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司221510cos1sin155，直线BC与平面ACD所成角的余弦值为105（12 分）19（本小题满分 12 分）解：（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件 A 一定是合格的在质检员犯错误的情况下，对于前面的元件 A，B 分为两大类：第一类：元件 A 合格，元件 B 不合格，故1313343416P，（2 分）第二类：元件 B 合格，元件 A 不合格，故221313448P，（4 分）所以该质检员犯错误的概率为：12315.16816PP（5 分）（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为P，则5323111643416P，（7 分）所以X服从二项分布：11316XN，则0303115125(0)C16164096P X ，1213115825(1)C16164096P X ，21231151815(2)C16164096P X ，30331151331(3)C16164096P X （11 分）X 的分布列为：（12 分）20（本小题满分 12 分）解：（1）当1n 时，12a；（2 分）当2n时，312232222nnaaaan，311223112222nnaaaan，（4 分）0123125409682540961815409613314096数学参考答案第 7页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司得：12nna，2nna，当1n 时，12a，2.nna（6 分）（2）50122nnb，100501005050100501112222222222nnnnnnnbb505050505050501222122(22)2(22)22nnnnn，（8 分）123991502509950111222222bbbb，9998972199509850150111222222bbbbb，又1995012bb，+得：1239950992()2bbbb，（10 分）1299bbb=5199.2（12 分）21（本小题满分 12 分）（1）解：在椭圆C中，由题意可得：1c ，（2 分）又2ABF的周长为4 2，由椭圆的定义可知：44 2a，即2a，221bac，椭圆C的标准方程为2212yx（5 分）（2）证明：如图 9，设：ABl：1ykx，11()A xy，22()B xy，3(2)H x，联立方程：22121yxykx，得：22(2)210kxkx ，12222kxxk，12212x xk（7 分）点Q B H，三点共线，图 9数学参考答案第 8页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司223222yxx，即232(22)2xxy，22223222(22)(2)(21)(2)(21)(2)22(22)(21)HPyyykxxxx，112APykx，212122(21)(2)APHPyykkxx2122112(2)(21)(2)yxyxx x2122112(12)(21)(12)kxxkxxx x 1212121212(2 22)(12)()()(2 22)(12)kx xxxxxkx xx x，（10 分）把12222kxxk，12212x xk代入得：(2 22)(12)20APHPkkkk，A P H，三点共线.（12 分）22（本小题满分 12 分）（1）解：当()()f xg x时，2(0)xaxx，两 边 同 时 取 对 数 得：2lnlnxax，即ln2lnxax，2lnln.xax（2 分）令2ln xyx，则22(1ln)0 xyx ，得：ex，所以在(0 e)，上函数单调递增，在(e)，上函数单调递减，当ex 时，函数2ln xyx取得最大值2e，函数图象如图 10：（4 分）当()()f xg x有两个根时，20lnea，2e1e.a（6 分）图 10数学参考答案第 9页（共 10页）学科网（北京）股份有限公司（2）证明：当2ea 时，22ln2lnln()ln(e)2xxxxh xxx，2()lnh nnnn，由不等式ln1xx，得：ln11xxx，令2xn，得：2222ln2ln11nnnnn，22ln1112nnn；（8 分）当2n时：222(2)(3)()ln2ln3ln2323hhh nnnn，由22ln1112nnn累加可得：222222ln2ln3ln111111123223nnn 2221111(1)223nn.（10 分）又211111(1)1nn nnnnn，2221111111111111(1)(1)22322334451nnnnn，即：(2)(3)()23hhh nn11113(1)2212224nnnn，结论成立因此，当2n时，(2)(3)()13232224hhh nnnn成立（12 分）