硬解定理 -2024高中数学专项含答案.pdf
1硬解定理硬解定理在解析几何中，我们通常会涉及直线和圆锥曲线相交弦长的问题，我们前面的一般思路是联立方程，结合韦达定理，带入弦长公式，这样计算会相对较麻烦，我们在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时发现了可消项的存在，整体消除并整理后可得到一般的弦长求解公式，该公式即为硬解定理硬解定理及其证明硬解定理及其证明若曲线x2m+y2n=1与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点，则x1+x2=-2ACm，x1x2=m C2-B2n，=mn-C2，EF=2A2+B2，SOEF=C，其中=A2m+B2n,为一与同号的值，=14B2定理简证定理简证设曲线x2m+y2n=1与直线Ax+By+C=0相交于E,F两点联立x2m+y2n=1Ax+By+c=0 得最终的二次方程：A2m+B2nx2+2ACmx+C2m-mnB2=0应用韦达定理可得应用韦达定理可得x1+x2=-2ACmA2m+B2n，x1x2=C2m-mnB2A2m+B2n，=4mnB2A2m+B2n-C2由 EF=x1-x22+y1-y22=1+A2B2x1+x22-4x1x2，可得 EF=4mn A2+B2A2m+B2n-C2A2m+B2n.原点到直线EF的距离：dO-EF=CA2+B2SOEF=12dO-EF EF=12CA2+B24mn A2+B2A2m+B2n-C2A2m+B2n=Cmn A2m+B2n-C2A2m+B2n令=A2m+B2n，=14B2，则得到硬解定理：硬解定理：x1+x2=-2ACm，x1x2=m C2-B2n，=mn-C2，EF=2A2+B2，SOEF=C定理说明定理说明应用该定理于椭圆x2a2+y2b2=1时，应将m=a2n=b2 代入应用于双曲线x2a2-y2b2=1时，应将m=a2n=-b2 代入，同时 A2m+B2n不应为零，即不为零硬解定理-2024高中数学2求解y1+y2，y1y2即是求解x2m+y2n=1Ax+By+C=0，只需将A与B的值互换且m与n的值互换，可知与的值不会因此而改变注意：注意：由于在高考中硬解定理不可直接应用，学生应如此解答才可得全步分：联立两方程得(二次式子)x1+x2=，x2x2=x1-x2=x1+x22-4x1x2=(此时代入式得到一个大式子，但不必化简)化简得 x1-x2=n+mk2(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长l=1+k2x1-x2了硬解定理求弦长硬解定理求弦长1 1斜率为1的直线l与椭圆C:x24+y2=1相交于P、Q两点，求 PQ的最大值硬解定理求面积硬解定理求面积2 2过椭圆C:x26+y23=1的右焦点，倾斜角为60的直线交椭圆C于A、B两点，求AOB的面积33 3设过点A 0，-2的直线l与E:x24+y2=1相交于P、Q两点，当OPQ的面积为1时，求直线l的方程4 4设直线l的倾斜角为3，且与椭圆C:x220+y24=1交于A、B两点，求AOB(O为坐标原点)面积的最大值1硬解定理硬解定理在解析几何中，我们通常会涉及直线和圆锥曲线相交弦长的问题，我们前面的一般思路是联立方程，结合韦达定理，带入弦长公式，这样计算会相对较麻烦，我们在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时发现了可消项的存在，整体消除并整理后可得到一般的弦长求解公式，该公式即为硬解定理硬解定理及其证明硬解定理及其证明若曲线x2m+y2n=1与直线Ax+By+C=0相交于E、F两点，则x1+x2=-2ACm，x1x2=m C2-B2n，=mn-C2，EF=2A2+B2，SOEF=C，其中=A2m+B2n,为一与同号的值，=14B2定理简证定理简证设曲线x2m+y2n=1与直线Ax+By+C=0相交于E,F两点联立x2m+y2n=1Ax+By+c=0 得最终的二次方程：A2m+B2nx2+2ACmx+C2m-mnB2=0应用韦达定理可得应用韦达定理可得x1+x2=-2ACmA2m+B2n，x1x2=C2m-mnB2A2m+B2n，=4mnB2A2m+B2n-C2由 EF=x1-x22+y1-y22=1+A2B2x1+x22-4x1x2，可得 EF=4mn A2+B2A2m+B2n-C2A2m+B2n.原点到直线EF的距离：dO-EF=CA2+B2SOEF=12dO-EF EF=12CA2+B24mn A2+B2A2m+B2n-C2A2m+B2n=Cmn A2m+B2n-C2A2m+B2n令=A2m+B2n，=14B2，则得到硬解定理：硬解定理：x1+x2=-2ACm，x1x2=m C2-B2n，=mn-C2，EF=2A2+B2，SOEF=C定理说明定理说明应用该定理于椭圆x2a2+y2b2=1时，应将m=a2n=b2 代入应用于双曲线x2a2-y2b2=1时，应将m=a2n=-b2 代入，同时 A2m+B2n不应为零，即不为零2求解y1+y2，y1y2即是求解x2m+y2n=1Ax+By+C=0，只需将A与B的值互换且m与n的值互换，可知与的值不会因此而改变注意：注意：由于在高考中硬解定理不可直接应用，学生应如此解答才可得全步分：联立两方程得(二次式子)x1+x2=，x2x2=x1-x2=x1+x22-4x1x2=(此时代入式得到一个大式子，但不必化简)化简得 x1-x2=n+mk2(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长l=1+k2x1-x2了硬解定理求弦长硬解定理求弦长1 1斜率为1的直线l与椭圆C:x24+y2=1相交于P、Q两点，求 PQ的最大值【解析】设P、Q两点的坐标分别为 x1，y1，x2，y2，直线l的方程为y=x+t，联立x2+4y2=4y=x+t，消去y得5x2+8tx+4 t2-1=0，则x1+x2=-85t，x1x2=4 t2-15由0得0t25，PQ=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=2-85t2-44 t2-15=4 255-t20t25当t=0时，PQmax=4 105用硬解定理验证答案：椭圆C:x24+y2=1，直线l的方程为x-y+t=0，带入结论：PQ=4mn A2+B2A2m+B2n-C2A2m+B2n=4 255-t20t20可得k234又x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2从而 PQ=k2+1 x1-x2=k2+1x1+x22-4x1x2=4 k2+1 4k2-34k2+1又点O到直线PQ的距离d=2k2+1，OPQ的面积为SOPQ=12d PQ=122k2+14 k2+1 4k2-34k2+1=4 4k2-34k2+1=1，整理得16k4-56k2+49=0，即 4k2-72=0，解得k2=74，k=72且满足0直线l的方程为y=72x-2或y=-72x-2用硬解定理验证答案：SOPQ=Cmn A2m+B2n-C2A2m+B2n=-24 4k2-34k2+1=1k=724 4设直线l的倾斜角为3，且与椭圆C:x220+y24=1交于A、B两点，求AOB(O为坐标原点)面积的最大值【解析】依题意可设直线l的方程为y=3x+m联立y=3x+mx220+y24=1，消去y整理得16x2+10 3mx+5m2-20=0，则=300m2-64 5m2-200，解得-8m8设点A x1，y1，点B x2，y2，则x1+x2=-5 3m8，x1x2=5m2-2016，AB=1+3 x1+x22-4x1x2=275m264-5m2-204=-5m2+32044原点到直线l的距离d=m1+3=m2，则AOB的面积S=12d AB=12m2-5m2+3204=-5 m2-322+512016当且仅当“m2=32，即“m=4 2时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5用硬解定理验证答案：直线l的方程为：3x-y+m=0，椭圆C:x220+y24=1带入结论：SOAB=Cmn A2m+B2n-C2A2m+B2n=-5 m2-322+512016当且仅当“m2=32”，即“m=4 2”时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5
