【高中数学】事件的相互独立性 课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法过和事件的概率计算方法.性质1 对任意的事件A，都有P(A)0.性质2P()，P().性 质 3 如 果 事 件 A与 事 件 B互 斥，那 么 P(AB).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)，P(A).性质5 如果AB，那么.性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB).10P(A)P(B)1P(B)1P(A)P(A)P(B)P(A)P(B)P(AB)对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？积事件积事件AB就是事件就是事件A与事件与事件B同时发生同时发生.积事件积事件AB发生的概率一定与事件发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关发生的概率有关系系.这种关系会是怎样的呢这种关系会是怎样的呢?下面下面我们来讨论一类我们来讨论一类与积与积事件事件有关有关的特殊的特殊问题问题.学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.探究下面下面两个随机试验各定义了一对随机事件两个随机试验各定义了一对随机事件A A和和B B，你，你觉得事件觉得事件A A发生与否会影响事件发生与否会影响事件B B发生的概率吗发生的概率吗?试验试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“A=“第一枚硬币第一枚硬币正面朝上正面朝上”，B=“B=“第二枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上”.试验试验2：一个袋子中装有标号分别是一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球,除标号外没有其他差异除标号外没有其他差异,采用采用有放回方式有放回方式从袋中依次任意摸出从袋中依次任意摸出两球两球.设设A=A=“第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3”,B=B=“第二次摸到球第二次摸到球的标号小于的标号小于3 3”.我们发现：对于试验我们发现：对于试验1 1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响互相不受影响，所以事件，所以事件A A发生发生与否不影响事件与否不影响事件B B发生的概率发生的概率.对于试验对于试验2 2，因为是，因为是有放回摸球有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果球的结果互相不受影响互相不受影响，所以事件，所以事件A A发生与否也不影响事件发生与否也不影响事件B B发生的发生的概率概率.在试验在试验1中，样本空间中，样本空间为为=(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，包含，包含4个等可能的样本点个等可能的样本点.A=(1,1),(1,0)，B=(1,0),(0,0)AB=(1,0)积事件积事件AB的概率的概率P(AB)恰好等于恰好等于P(A)与与P(B)的乘积的乘积.由古典概型概率计算公式，由古典概型概率计算公式，得得P(A)=P(B)=,P(AB)=.P(AB)=P(A)P(B)试验试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“A=“第一枚硬币正面第一枚硬币正面朝上朝上”，B=“B=“第二枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上”.试验试验2：一个袋子中装有标号分别是一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球,除标除标号外没有其他差异号外没有其他差异,采用采用有放回方式有放回方式从袋中依次任意摸出两球从袋中依次任意摸出两球.设设A=A=“第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3”,B=B=“第二次摸到球的标号第二次摸到球的标号小于小于3 3”.在试验在试验2中，样本空间中，样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4包含包含16个等可能的样本点个等可能的样本点.A=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),B=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),AB=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),于是也有于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件积事件AB的概率的概率P(AB)也等于也等于P(A),P(B)的乘积的乘积.1.相互独立事件的定义对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B，如果，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，成立，则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立，相互独立，简称简称独立独立.事件事件A与事件与事件B相互独立就是：相互独立就是：事件事件A是否发生不是否发生不影响事件影响事件B发生的概率，事件发生的概率，事件B是否发生不影响事件是否发生不影响事件A发生的概率发生的概率.说明：注意：互斥事件：互斥事件：两个事件两个事件不能同时发生不能同时发生.相互独立事件：相互独立事件：两个事件的发生两个事件的发生彼此互不影响彼此互不影响.公式变形公式变形:相互独立的定义，既可以相互独立的定义，既可以用来判断两个事件是否用来判断两个事件是否独立独立，也可以，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率在相互独立的条件下求积事件的概率必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响不可能事件一定不会发生，不受不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的任何事件是否发生的影响影响当然，当然，它们也不影响其他事件的发生它们也不影响其他事件的发生.问题 必然事件必然事件与任意事件是否相互独立？与任意事件是否相互独立？必然事件与任意事件相互独立必然事件与任意事件相互独立，不可能事件不可能事件与任意事件相互独立与任意事件相互独立不可能事件不可能事件与任意事件是否相互独立？与任意事件是否相互独立？探究探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件如果事件A A与事件与事件B B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立相互独立?以有放回摸球试验为例以有放回摸球试验为例,验证验证A A与与 ,与与B,B,与与 是否独立是否独立,你有什么发现你有什么发现?我们就先以我们就先以试验试验2来验证：来验证：一个袋子中装有标号分别是一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球,除标号外没有其他差异除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球意摸出两球.设设A=A=“第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3”,”,B=B=“第二次摸到第二次摸到球的标号小于球的标号小于3 3”.1 12 23 34 41 1(1,1(1,1)(1,2(1,2)(1,3(1,3)(1,4(1,4)2 2(2,1(2,1)(2,2(2,2)(2,3(2,3)(2,4(2,4)3 3(3,1(3,1)(3,2(3,2)(3,3(3,3)(3,4(3,4)4 4(4,1(4,1)(4,2(4,2)(4,3(4,3)(4,4(4,4)n(B)=n(B)=8 8，n()=n()=8 8，n()=n()=4 4，n()=n()=4 4，n()=n()=4 4，所以所以P(A)=P(A)=P(AP(A)P()=P()=P(P()P(B)=P(B)=P(B)=P(B)=易得，易得，n()=n()=1616，n(A)=8n(A)=8，n()=8n()=8，P(P()P()=P()=P()=P()=因此因此A A与与 ，与与B B，与与 是独立的是独立的.对于对于A A与与 ，因为，因为A=ABA A=ABA，而且，而且ABAB与与A A 互斥互斥，所以，所以P(P(A A)=P(P(ABAABA )=P()=P(ABAB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )+P(A )=P(A)P(B)+P(A )P(A)=P(P(A)=P(A A)-P(A)P(B)=)-P(A)P(B)=所以所以P(P(A A)(1-P(B)=)(1-P(B)=P(P(A A)P()P()由事件的独立性定义，由事件的独立性定义，A A与与 相互独立相互独立.类似地，可以证明事件类似地，可以证明事件 与与B B，与与 也都相互独立也都相互独立.我们再用理论来验证：我们再用理论来验证：（1）必然事件）必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互相互独立独立.（2）若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立:2.相互独立事件的性质Why？例1判断下列各对事件判断下列各对事件A与与B是不是相互独立事件：是不是相互独立事件：(1)甲组甲组3名男生，名男生，2名女生；乙组名女生；乙组2名男生，名男生，3名女生，现从甲、名女生，现从甲、乙两组中各选乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，名同学参加演讲比赛，事件事件A“从甲组中选出从甲组中选出1名男生名男生”与与事件事件B“从乙组中选出从乙组中选出1名女生名女生”；(2)掷一枚骰子一次，掷一枚骰子一次，事件事件A“出现偶数点出现偶数点”与与事件事件B“出现出现3点或点或6点点”(3)一个袋子中有标号分别为一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的的4个球，除标号外没个球，除标号外没有其他差异有其他差异.采用采用不放回方式不放回方式从中任意摸球两次从中任意摸球两次.事件事件A=“第一第一次摸出球的标号小于次摸出球的标号小于3”与与事件事件B=“第二次摸出球的标号小于第二次摸出球的标号小于3”.解解:(1)“从甲组中选出从甲组中选出1名男生名男生”这一事件是否发生，对这一事件是否发生，对“从乙组中选从乙组中选出出1名女生名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立相互独立事事件件(2)A2,4,6，B3,6，AB6，所以所以P(A)3/61/2，P(B)2/61/3，P(AB)1/6，所以，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件，所以事件A与与B相互独立相互独立例1判断下列各对事件判断下列各对事件A与与B是不是相互独立事件：是不是相互独立事件：(3)一个袋子中有标号分别为一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的的4个球，除标号个球，除标号外没有其他差异外没有其他差异.采用采用不放回方式不放回方式从中任意摸球两次从中任意摸球两次.事事件件A=“第一次摸出球的标号小于第一次摸出球的标号小于3”与与事件事件B=“第二次摸出第二次摸出球的标号小于球的标号小于3”.B=(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，解：解：(3)因为样本空间因为样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4，且，且mn，A=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，此时此时P(AB)P(A)P(B)AB=(1,2)，(2,1).所以所以P(A)=P(B)=P(AB)=因此，事件因此，事件A与事件与事件B不独立不独立.反思感悟判断两个事件相互独立的方法：定义法：定义法：P(AB)=P(A)P(B)直接法：直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响生是否相互影响.转化法：转化法：判断判断A与与B是否相互独立是否相互独立,转化为判断转化为判断A与与,与与B,与与是否具有独立性是否具有独立性.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是_.(填序号)A，B；A，C；B，C.跟踪训练1【2021年年新高考新高考卷】卷】有有6个相同的球，分别标有数字个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中，从中有放回有放回的随机取两次，每次取的随机取两次，每次取1个球个球.甲表示事件甲表示事件“第一次第一次取出的球的数字是取出的球的数字是1”，乙表示事件，乙表示事件“第二次取出的球的数第二次取出的球的数字是字是2”，丙表示事件，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是两次取出的球的数字之和是8”，丁，丁表示事件表示事件“两次取出的球的数字之和是两次取出的球的数字之和是7”，则，则()A.甲与丙相互独立甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立丙与丁相互独立B例2甲甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙乙的中靶概率为的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1）两人都中靶；）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶）至少有一人中靶.（1）AB=“两人都中靶两人都中靶”，由事件独立性的定义，由事件独立性的定义，得，得P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72由于两个人射击的结果互不影响，所以由于两个人射击的结果互不影响，所以A与与B相互独立，相互独立，解：设解：设A=“甲中靶甲中靶”，B=“乙中靶乙中靶”，则，则=“甲脱靶甲脱靶”，=“乙乙脱靶脱靶”，A与与,与与B,与与都相互都相互独立独立,由由已知可得，已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1（2）“恰好有一人中靶恰好有一人中靶”=AB，且，且A与与B互斥互斥,P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.80.1+0.20.9=0.26例2甲甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙乙的中靶概率为的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1）两人都中靶；）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶）至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以由于两个人射击的结果互不影响，所以A与与B相互独立，相互独立，解：设解：设A=“甲中靶甲中靶”，B=“乙中靶乙中靶”，则，则=“甲脱靶甲脱靶”，=“乙乙脱靶脱靶”，A与与,与与B,与与都相互都相互独立独立,由由已知可得，已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1例2甲甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙乙的中靶概率为的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1）两人都中靶；）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶）至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以由于两个人射击的结果互不影响，所以A与与B相互独立，相互独立，解：设解：设A=“甲中靶甲中靶”，B=“乙中靶乙中靶”，则，则=“甲脱靶甲脱靶”，=“乙乙脱靶脱靶”，A与与,与与B,与与都相互都相互独立独立,由由已知可得，已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1（3）事件）事件“两人都脱靶两人都脱靶”=，所以所以P()=P()P()=0.20.1=0.02“大化小大化小”例2甲甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙乙的中靶概率为的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1）两人都中靶；）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶）至少有一人中靶.由于两个人射击的结果互不影响，所以由于两个人射击的结果互不影响，所以A与与B相互独立，相互独立，解：设解：设A=“甲中靶甲中靶”，B=“乙中靶乙中靶”，则，则=“甲脱靶甲脱靶”，=“乙乙脱靶脱靶”，A与与,与与B,与与都相互都相互独立独立,由由已知可得，已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1(4)事件事件“至少有一人中靶至少有一人中靶,事件事件“至少有一人中靶至少有一人中靶”的对立事件是的对立事件是“两人都脱靶两人都脱靶”事件事件“至少有一人中把至少有一人中把”的概率为的概率为“正难则反正难则反”练习3天气预报元旦假期甲地的降雨概率是天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的，乙地的降雨概率是降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内间没有影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都降雨的概率）甲、乙两地都降雨的概率;（2）甲、乙两地都不降雨的概率）甲、乙两地都不降雨的概率;（3）至少一个地方降雨的概率；）至少一个地方降雨的概率；解：设事件解：设事件A=“A=“甲地降雨甲地降雨”，事件，事件B=“B=“乙地降雨乙地降雨”，由题意知，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(A)=0.2,P(B)=0.3,且事件且事件A A与与B B相互独立相互独立.归纳：归纳：求较为复杂事件的概率的方法求较为复杂事件的概率的方法已知两个事件已知两个事件A,B,那么那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件中至少有一个发生为事件A+B.2.对事件分解时对事件分解时,要明确事件中的要明确事件中的“至少至少有一个发生有一个发生”“至至多多有一个发生有一个发生”“恰好恰好有一个发生有一个发生”“都都发生发生”“都不都不发发生生”“不都不都发生发生”等词语的意义等词语的意义.(2)A,B中至多有一个发生为事件中至多有一个发生为事件.(3)A,B恰好有一个发生为事件恰好有一个发生为事件.(5)A,B都不发生为事件都不发生为事件.(4)A,B都发生为事件都发生为事件AB.(6)A,B不都发生为事件不都发生为事件.1.对事件进行对事件进行分解分解,一方面分解为一方面分解为互斥的几类简单事件互斥的几类简单事件求概率求概率;另一方面分解为另一方面分解为独立的事件独立的事件,利用事件同时发生利用事件同时发生(乘法乘法)求出概率求出概率.甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；跟踪训练3记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.两个人都破译出密码的概率为(2)恰有一人能破译的概率；(3)至多有一人能破译的概率.(2)恰有一人能破译的概率；恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，(3)至多有一人能破译的概率.至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，课堂课堂小结小结1.知识清单：(1)相互独立事件的判断.(2)相互独立事件概率的计算.2.方法归纳：用列举法、定义法求相互独立事件的概率.3.常见误区：对事件是否相互独立判断错误.