【高中数学】有限样本空间与随机事件课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

通过通过上一章的学习可知，许多实际问题都可以用上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析数据分析的方法解决的方法解决，即即通过随机抽样收集数据，再选择适当的统计图表描述和通过随机抽样收集数据，再选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计规律，进而解决相应的问题规律，进而解决相应的问题.从中从中可以看到，用可以看到，用样本推断样本推断总体总体.当当样本量较小时，每次得到的结果往往不同样本量较小时，每次得到的结果往往不同；但但如果有如果有足够多的数据足够多的数据，就可以从中发现，就可以从中发现一些规律一些规律.例如例如，每天你从家到学校需要的时间（精确到分）不能预知，每天你从家到学校需要的时间（精确到分）不能预知；如果如果你记录一周，会发现每天所用的时间各不相同：如果在一你记录一周，会发现每天所用的时间各不相同：如果在一个月或一学期内记录下每次所用的时间，通过数据分析你会发个月或一学期内记录下每次所用的时间，通过数据分析你会发现，所用的时间现，所用的时间具有相对稳定的分布规律具有相对稳定的分布规律.又如，从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先又如，从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定它的颜色；有放回地不能确定它的颜色；有放回地重复摸取多次重复摸取多次，记录摸到的球的，记录摸到的球的颜色，从记录的数据中就能颜色，从记录的数据中就能发现一些规律发现一些规律，例如红球和白球的，例如红球和白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是可能性大概是多少多少等等等等.这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象。概概率率论论是是研研究究随随机机现现象象数数量量规规律律的的数数学学分分支支，概概率率是是对对随随机机事事件件发发生生可可能能性性大大小小的的度度量量，它它已已渗渗透透到到我我们们的的日日常生活中，成为一个常用词汇常生活中，成为一个常用词汇.概率论的产生和发展概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于但是来自于赌博者的请求赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的，却是数学家们思考概率论问题的源泉。源泉。传说早在传说早在1654年，有一个赌徒梅尔向当时的数学家帕斯年，有一个赌徒梅尔向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干两个赌徒相约赌若干局，谁先赢局，谁先赢 3局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了人赢了 2局，另一个人赢了局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因局的时候，由于某种原因,赌博赌博终止了。问：赌本应该如何分法才合理？终止了。问：赌本应该如何分法才合理？”帕斯卡帕斯卡是是17世纪著名的数学家，但这个问题却让他苦世纪著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思索了三年，三年后，也就是苦思索了三年，三年后，也就是1657年，荷兰著名的数学家年，荷兰著名的数学家惠更斯惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了企图自己解决这一问题，结果写成了论赌博中的计论赌博中的计算算一书，这就是概率论最早的一部著作。一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如如信息论、对策论、排队论、控制论信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为等，都是以概率论作为基础的。基础的。本章本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法继续研究刻画随机事件的方法；通过通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解随机现象的认识和理解；通过通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力的方法解决问题的能力.在在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率件的概率.本本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质算，探究随机事件概率的性质.学习目标1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.研究某种随机现象的规律研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果首先要观察它所有可能的基本结果.将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷2 2次，观察正面、反面出现的情况；次，观察正面、反面出现的情况；例如:从你所在的班级随机选择从你所在的班级随机选择1010名学生，观察近视的人数；名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只在一批灯管中任意抽取一只,测试它的寿命；测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；记录某地区记录某地区7 7月份的降雨量月份的降雨量.(3)每次试验总是每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个恰好出现这些可能结果中的一个，但，但事先不能确定出现哪一个结果事先不能确定出现哪一个结果.(1)试验可以在试验可以在相同条件下重复进行相同条件下重复进行；可重复性可重复性可预知性可预知性随机性随机性 我们我们把对把对随机现象的实现随机现象的实现和和对它的观察对它的观察称为称为随机试随机试验验(random experiment)，简称简称试验试验，用，用字母字母E表示表示.特点特点：1.1.随机试验随机试验 (2)试验的所有可能结果是试验的所有可能结果是明确可知的明确可知的，并且，并且不止一个不止一个；体育彩票摇奖时，将体育彩票摇奖时，将1010个质地和大小完全相同分别标个质地和大小完全相同分别标号号0 0、1 1、2 2、9 9的球放入摇奖器中的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可这个随机试验共有多少个可能结果能结果?如何表示这些结果如何表示这些结果?观察球的号码，共有观察球的号码，共有1010种可能结果种可能结果.用用数字数字m m表示表示“摇出的球的号码为摇出的球的号码为m m”这一结果这一结果，那么那么所有可能结果可用集合表示为所有可能结果可用集合表示为00，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9.9.我们把随机试验我们把随机试验E的的每个可能的基本结果每个可能的基本结果称为称为样本点样本点，全体样本点的集合全体样本点的集合称为试验称为试验E的的样本空间.一般地，我们用一般地，我们用(欧米伽)表示表示样本空间样本空间，用，用表示表示样样本点本点.注1：在本书中，我们只讨论为有限集的情况如果一个随机试验有如果一个随机试验有n个可能结果的个可能结果的1,2,n，则称样本空间则称样本空间1，2，n为为有限样本空间有限样本空间.2.2.样本空间样本空间有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解解:因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果果,所以试验的样本空间可以表示为所以试验的样本空间可以表示为=正面朝上正面朝上,反面朝上反面朝上.如果用如果用h h表示表示“正面朝上正面朝上”，t t表示表示“反面朝上反面朝上”，则样本空间，则样本空间=h,t=h,t.例2 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解解:用用i i表示朝上面的表示朝上面的“点数为点数为i”i”.因为落地时朝上面的点数有因为落地时朝上面的点数有1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6共共6 6个可能的个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为基本结果，所以试验的样本空间可以表示为=11，2 2，3 3，4 4，5 5，6.6.例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解解:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x x表示，表示，第二枚硬币可能的基本结果用第二枚硬币可能的基本结果用y y表示，那么试验的样本点表示，那么试验的样本点可用可用(x(x,y)y)表示表示.于是，试验的样本空间于是，试验的样本空间 如果我们用如果我们用1 1表示硬币表示硬币“正面朝上正面朝上”，用，用0 0表示硬币表示硬币“反面朝上反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为，那么样本空间还可以简单表示为 如图所示，如图所示，画树状图画树状图可以帮助我们可以帮助我们理解此例的解答过程理解此例的解答过程.=(1=(1,1)1)，(1,0)(1,0)，(0(0,1)1)，(0(0,0).0).1 10 01 10 01 10 0第一枚第一枚 第二枚第二枚=(正面正面,正面正面),(正面正面,反面反面),(反面反面,正面正面),(反面反面,反面反面).写出下列试验的样本空间：(1)同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；该试验的样本空间该试验的样本空间13,4,5，18.跟踪训练1(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；该试验所有可能的结果如图所示，因此，该试验的样本空间为2a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2.(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.如图，用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色这三种颜色，则此试验的样本空间为3(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3).在上面体育彩票摇号试验中在上面体育彩票摇号试验中,摇出摇出“球的号码为奇数球的号码为奇数”是随机事件吗是随机事件吗?摇出摇出“球的号码为球的号码为3 3的倍数的倍数”是否也是随是否也是随机事件机事件?如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系样本空间有什么关系?显然，显然，“球的号码为奇数球的号码为奇数”和和“球的号码为球的号码为3 3的倍数的倍数”都是随机事件都是随机事件.我们用我们用A A表示随机事件表示随机事件“球的号码为奇数球的号码为奇数”，则，则A A发生，当且仅当摇出的号码为发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,91,3,5,7,9之一，即之一，即事件事件A A发生等价于摇出的号码属于集合发生等价于摇出的号码属于集合1,3,5,7,91,3,5,7,9.因此因此可以用样本空间可以用样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的的子子集集1,3,5,7,91,3,5,7,9表示随机事件表示随机事件A.A.类似地，可以用样本空间的子集类似地，可以用样本空间的子集0,3,6,90,3,6,9表示表示随机随机事件事件“球的号码为球的号码为3 3的倍数的倍数”.只包含只包含一个一个样本点的事件称为样本点的事件称为基本事件基本事件.3.3.随机事件随机事件 为为 不可能事件不可能事件.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的试验的样本空间的子集样本空间的子集来表示来表示.我们将我们将样本空间样本空间的子集的子集称为称为随机事件随机事件，简称，简称事件事件，随机事件随机事件一般用大写字母一般用大写字母A,B,C,表示表示.事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间的一个子集.必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.为必然事件.不可能事件：在每次试验中都不会发生.指出下列事件是必然事件指出下列事件是必然事件,不可能事件不可能事件,还是随机事件：还是随机事件：随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件（1 1）某地）某地1 1月月1 1日刮西北风；日刮西北风；（2 2）当）当x x是实数时，是实数时，x x2 200；（3 3）手电筒的电池没电，灯泡发亮；）手电筒的电池没电，灯泡发亮；（4 4）一个电影院某天的上座率超过）一个电影院某天的上座率超过50%50%.（5 5）如果如果a ab b，那么，那么a-ba-b0 0；（6 6）从分别标有数字从分别标有数字l,2,3,4,5l,2,3,4,5的的5 5张标签中任取一张张标签中任取一张,得得到到4 4号签号签;（7 7）某电话机在某电话机在1 1分钟内收到分钟内收到2 2次呼叫；次呼叫；（8 8）随机选取一个实数随机选取一个实数x，得，得|x|0.|0.必然事件必然事件随机事件随机事件随机事件随机事件不可能事件不可能事件例4 如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.ACB解：解：(1)(1)分别用分别用x x1 1,x,x2 2和和x x3 3表示元件表示元件A,BA,B和和C C的可能状态，则的可能状态，则这个电路的工作状态可用这个电路的工作状态可用(x(x1 1,x x2 2,x,x3 3)表示表示.进一步地，用进一步地，用1 1表示元件的表示元件的“正常正常”状态，用状态，用0 0表示表示“失效失效”状态，则样状态，则样本空间本空间=(0=(0,0,0)0,0)，(1,0,0)(1,0,0)，(0(0,1,0)1,0)，(0(0,0,1)0,1)，(1,1,0)(1,1,0)，(1,0,1)(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1).(0,1,1),(1,1,1).0 01 1元件元件A A0 01 10 01 1元件元件B B0 01 10 01 10 01 10 01 1元件元件C C000000001001010010011011100100101101110110可能结果可能结果111111(2)(2)M M=(1,1,0)=(1,1,0)，(1,0,1)(1,0,1)，(0,1,1)(0,1,1)；N N=(1,1,0)=(1,1,0)，(1,0,1)(1,0,1)，(1,1,1)(1,1,1)；T T=(0=(0,0,0)0,0)，(1,0,0)(1,0,0)，(0(0,1,0)1,0)，(0(0,0,1)0,1)，(0,1,1),.(0,1,1),.还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下如下图图.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1)事件A(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)；例3事事件件A所所含含的的样样本本点点中中的的第第二二个个数数均均为为3，根根据据样样本本空空间间知知第第二二个个数数为为3的的样样本本点点都都在在事事件件A中中，故故事事件件A的的含含义义为为连连续续抛抛掷掷一一枚枚均均匀匀的的骰骰子子2次次，第第二二次次掷掷出的点数为出的点数为3.随机事件的含义随机事件的含义(2)事件B(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)；(3)事件C(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4).(2)事件B(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)；事事件件B所所含含的的样样本本点点中中两两个个数数的的和和均均为为6，且且样样本本空空间间中中两两数数和和为为6的的样样本本点点都都在在事事件件B中中，故故事事件件B的的含含义义为为连连续续抛抛掷掷一一枚枚均均匀匀的的骰骰子子2次次，2次次掷掷出出的的点点数之和为数之和为6.(3)事件C(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4).事事件件C所所含含的的样样本本点点中中两两个个数数的的差差的的绝绝对对值值为为2，且且样样本本空空间间中中两两个个数数的的差差的的绝绝对对值值为为2的的样样本本点点都都在在事事件件C中中，故故事事件件C的的含含义义为为连连续续抛抛掷掷一一枚枚均均匀匀的的骰子骰子2次，次，2次掷出的点数之差的绝对值为次掷出的点数之差的绝对值为2.柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义.(1)MA1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2；跟踪训练3事事件件M的的含含义义是是“从从3双双不不同同的的鞋鞋中中，随随机机抽抽取取2只只，取出的取出的2只鞋不成双只鞋不成双”.(2)NA1B1，B1C1，A1C1；事事件件N的的含含义义是是“从从3双双不不同同的的鞋鞋中中，随随机机抽抽取取2只只，取出的取出的2只鞋都是左脚的只鞋都是左脚的”.(3)PA1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1.事事件件P的的含含义义是是“从从3双双不不同同的的鞋鞋中中，随随机机抽抽取取2只只，取取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.课堂课堂小结小结1.知识清单：(1)随机试验.(2)有限样本空间.(3)随机事件、必然事件与不可能事件.(4)随机事件的含义.2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法.3.常见误区：在列举样本点时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏.