重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司西南大学附中西南大学附中 20232024 学年度上期期中考试学年度上期期中考试 高三数学试题高三数学试题（满分：满分：150 分；考试时间：分；考试时间：120 分钟分钟）注意事项：注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整，必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整，3、考试结束后，将答题卡交回、考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲试题卷学生留存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.集合223Ax yxx=+，集合xBy ye=，则AB=（）A.(0,1B.(0,3C.)1,+D.)3,+2.已知扇形的圆心角是 60，半径为 2，则扇形的面积为（）A.60B.120C.3D.233.如图，正三棱柱111ABCABC中，12ABAA=，M是11AB的中点，则异面直线1AC与BM所成角的余弦值为（）A.62B.105C.63D.1554.“tantanxy=”是“()2xykkZ=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若0a，0b，4ab+=，则下列结论正确的是（）A.2ab+B.228ab+学科网（北京）股份有限公司 C.()()221332ab+D.2263ab+6.正四棱锥PABCD的高为 3，体积为 32，则其外接球的表面积为（）A.62536 B.62518 C.6259 D.256 7.一个蛋糕店制作一个大型蛋糕，蛋糕是由多个高度均为 0.1 米的圆柱形蛋糕重叠而成，上层蛋糕会覆盖相邻下层蛋糕的上底面一半的面积，最底层蛋糕的半径为 1 米.若该蛋糕的体积至少为 0.6 立方米，则蛋糕至少需要做的层数为（）（其中3.14）A.3 B.4 C.5 D.6 8.设函数()()()elnxf xaxmaxx=（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得()0f x 恒成立，则实数m的取值范围是（）A.21,e+B.1,e+C.()2e,+D.21,e 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.复数13i13iz=+，其共轭复数为z，则下列叙述正确的是（）A.z对应的点在复平面的第四象限 B.2z是一个纯虚数 C.2z z=D.izz=10.下列说法正确的是（）A.等比数列 na的公比为q，则其前n项和为()111nnaqSq=B.已知 na为等差数列，若mnpq+=+（其中*,Nm n p q），则mnpqaaaa+=+C.若数列 na的通项公式为()121nann=+，则其前n项和56nS D.若数列 na的首项为 1，其前n项和为nS，且22122nnSaan a=+，则21nan=11.下列说法中错误的有（）学科网（北京）股份有限公司A.已知()1,2a=，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3+B.已知向量()12,3e=，213,24e=，则12,e e 不能作为平面的一个基底C.若0a，a ba c=，则bc=D.O是ABC所在平面内一点，且满足0ABCABACBCABCOAOBOCABCABACBCABC+=+=+=，则O是ABC的内心 12.如图，已知矩形ABCD中，2AB=，3BC=.点E为线段CD上一动点（不与点D重合），将ADE沿AE向上翻折到APE，连接PB，PC.设()02DExx=，二面角PAEB的大小为()0，则下列说法正确的有（）A.若1x=，2=，则3cos4PAB=B.若1x=，则存在，使得PB 平面PAEC.若32x=，则直线PB与平面ABC所成角的正切值的最大值为34D.点A到平面PBC的距离的最大值为3，当且仅当2x=且3cos4=时取得该最大值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.等比数列 na中，21a=，83a=，则5a=_.14.已知0，2，且1cos7=，()1cos3+=，则cos=_.学科网（北京）股份有限公司 15.已知向量a，b，2a=，5b=，a与b的夹角为23，则axb+的值最小时，实数x的值为_.16.已知函数()32fx+为奇函数，()fx的函数图象关于yx=对称，且当12x时，()sin2f xx=，则72f=_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知向量()2cos,2sinaxx=，()2,3cosbx=，函数()f xa b=.（1）求()fx的解析式和单调递增区间；（2）若()fx是()fx的导函数，()()()1fxg xf x=，,6 3x，求函数()g x的值域.18.（12 分）已知各项为正的数列 na的首项为 2，26a=，22211122nnnnnnnnaaaaaaa a+=.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 na的前n项和nS，求数列28nnSa+（其中*Nn）前n项和的最小值.19.（12 分）如图，在五面体ABCDEF中，面ADE 面ABCD，90ADC=，EF面ABCD，2AEDEDC=，1EF=，3AB=，二面角ADCF的平面角为 45.（1）求证：CD面ABFE；（2）点P在线段AE上，且2APPE=，求二面角PFCB的平面角的余弦值.20.（12 分）已知ABC内角A、B、C的对边为a、b、c（其中bc），若3 coscos2 cosbAaBbcA+=+.（1）求角A的大小；（2）若点D是边BC上的一点，3a=，2DCBD=，求AD的最大值.21.（12 分）王老师每天早上 7：00 准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：学科网（北京）股份有限公司 到校时间 7：30 之前 7：30-7：35 7：35-7：40 7：40-7：45 7：45-7：50 7：50 之后 乘地铁 0.1 0.15 0.35 0.2 0.15 0.05 乘汽车 0.25 0.3 0.2 0.1 0.1 0.05（例如：表格中 0.35 的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在 7：35-7：40 的概率为 0.35.）（1）某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天 7：40-7：45 到校的概率；（2）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间 早于 7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续 10 天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于 7：40，第 11 天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求()E X；（3）已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于 7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校 且到校时间晚于 7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于 7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记nP为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求 nP的通项公式.22.（12 分）已知()()121xf xaex=，其中0a.（1）求()fx在1x=处的切线方程；（2）若()310f xxxa+在1,2+上恒成立，求a的取值范围.西南大学附中西南大学附中 20232024 学年度上期期中考试学年度上期期中考试 高三数学试题参考答案高三数学试题参考答案 1-8CDBDB CCA 8.解析：由函数连续性知：ln00 xaxxaxme恒成立或者ln00 xaxxaxme恒成立，若为前者，则有lnxmexaxx恒 成 立，但0 x+时，ln xx，矛 盾.故 只 能 是 后 者，即lnxxmeaxx恒 成 立，则 有maxminlnxxmexx，1xxme+，令()1xxg xe+=，()11xxgxe+=，当01x，()g x单增，1x 时，()0gx.9.BCD 10.BC 11.AC 12.AD 12.解析：选项 A.取AE中点M，连接BM，PM.易证此时BMAE，又平面PAE 平面ABE，所以BM 平面PAE，故BMPM，3BM=，1PM=，所以()22312BP=+=，在ABP中，由余弦定理得：()2222323cos42 23PAB+=，A 正确；选项 B，同选项 A 知BMAE，若PB 平面PAE，则PBAE，所以AE 平面PBM，所以AEPM，显然矛盾，B 错误；选项 C，易证此时BDAE，设垂足为F，则AEDF，AEPF，所以AE 平面BDP，所以平面BDP 平面ABE，故所求线面角为PBD.又点P在以F为圆心，PF为半径的圆上，从而当直线PB与圆F相切时，PBD最大，故max3sin4PFDEPBDBFAB=，从而max7tan4PBD=，C 错误；选项 D.点A到平面PBC的距离3PA=，等号成立当且仅当AP 平面PBC，从而1BP=，BC 平面PAB，过P作PHAB于点H.连接DH，易求32AH=，PH 底面ABC.由翻折知AEDH，故DCADADAH=，解得2DC=即2x=.又由二面角的面积射影知：3cos4AHEAHCAHCAPEAPCADCAHSSSSSSAB=.13.3 14.1 8 621 15.15 16.53 16.解析：由题：()()3322fxfx=+，用x替换3x可得：()()22fxfx=+，所以()fx关于点()2,0对称，故7122ff=，设12fm=，由于()fx关于yx=对称，又当12x时，()sin2f xx=，结 合 图 象 可 知 点1,2m关 于yx=的 对 称 点1,2m在()sin2f xx=上，故()()1sin1222f mmm=，解得53m=，故7523f=.17.4）由题，()22cos3sin212sin 26f xxxx=+=+，令222262kxk+，()kZ，解得36kxk+，则函数()fx的单调增区间为(),36kkkZ+；学科网（北京）股份有限公司（2）()4cos 26fxx=+，()()()2cos 261sin 26xfxg xf xx+=+，而,6 3x，则52266x+，所以cos 206x+，()2tan 26g xx=+，由52266x+得3tan 263x+，即22 30tan 26x，10nnaa+，所以2120nnnaaa+=，则211121nnnnnnaaaaaaaa+=，又12a=，26a=，214aa=，由等差数列定义知数列 na是以 2 为首项，4 为公差的等差数列.数列 na的通项公式为42nan=.（2）由（1）有22nSn=，()()2282430253nnSannnn+=+=+，令280nnSa+，有4,5,6,n=；280nnSa+，有1,2n=；280nnSa+=，有3n=.所以28nnSa+前n项和的最小值为-38，当且仅当2,3n=时取到 19.（1）证明：EF面ABCD，又EF 面CDEF，面ABCD面CDEFCD=，CDEF.又CD/面ABFE，EF 面ABFE，CD面ABFE.（2）取AD中点O，BC中点M，连结OE，OM.面ADE 面ABCD，交线为AD，CD 面ABCD，90ADC=，CD 面ADE.ADE是二面角ADCF的平面角.即45ADE=.同（1）中CDEF理，可证：ABEF CDAB.又ABCD，四边形ABCD是梯形.OM是梯形ABCD的中位线.OMCD.OM 面ADE.AEDE=，O是AD中点，OEAD.以O为原点，OA，OM，OE为轴如图建立空间直角坐标系Oxyz，则 学科网（北京）股份有限公司()2,0,0A，()2,3,0B，()2,0,0D，()2,2,0C，()0,0,2E，()0,1,2F，()2,0,2AE=，()2 2,1,0CB=，()2,1,2CF=，()2,1,2FA=，由23APAE=，22,1,33FPFAFP=+=设面PCF的一个法向量为()111,mx y z=，由mFP，mCF，得 1111112320220 xyzxyz=+=，取12y=，得12x=，11z=，()2,2,1m=.设面BCF的一个法向量为()222,nxyz=，由nCB，nCF，得 222222 20220 xyxyz+=+=，取22 2y=，得21x=，23z=，()1,2 2,3n=.24314cos,42718m n+=二面角PFCB的平面角的余弦值为1442.20.（1）由正弦定理有3sincossincossin2sincosBAABBCA+=+，2sincossinsin2sincosBACBCA+=+，即有()()2cos1 sinsin0ABC=，bc，sinsinBC，则1cos2A=而0180A，60A=.（2）由余弦定理有 学科网（北京）股份有限公司 2222cosABADBDAD BDADB=+；2222cosACADDCAD DCADC=+，而3BC=，2DCBD=，1BD=，2DC=，又180ADBADC+=，所以222326ADABAC=+.又由（1）60A=，3BC=，设ACD=，ABC=，则由正弦定理有2 3sinAB=，2 3sinAC=，且120+=，所以()()2228sin4sin24 1 cos22 1 cos22AD=+=+()4cos22cos244cos22cos 24024=+=+()()4cos22cos 120242 3sin 26042 34=+=+，故max13AD=+，当75ACD=时取到.21.（1）记事件A=“硬币正面向上”，事件B=“7：40-7：45 到校”则由题有()0.5P A=，()0.2P B A=，()0.1P B A=故()()()()()0.5 0.20.5 0.10.15P BP AP B AP AP B A=+=+=.（2）X可取 1，2，3，9，10 由题：对于()*19Nkk，()12355kP Xk=；()93105P X=故()2892232323312391055555555E X=+()2891032323232331289105555555555E X=+以上两式相减得：()28922232323235555555555E X=+故()1028910313333553513555522515E X=+=.学科网（北京）股份有限公司 所以()10553225E X=.（3）由题意：11P=，()1321155nnnnPPPP+=+=+，则1525757nnPP+=，这说明57nP为以15277P=为首项，25为公比的等比数列.故1522775nnP=，所以1225757nnP=+.22.（1）()()()11121222xxxfxaexaeaex=故()12fa=，又()10f=，故()fx在()1,0处的切线方程为：()021ya x=即：22yaxa=+，（2）一方面，取1x=，有110a，解得01a.另一方面，我们证明若01a时，()()()()1212110 xf xaxaxe=恒成立，即()()21f xax 故只需证()31210axxxa+，其中(0,1a，1,2x+只需证()23210axxax+，其中(0,1a，1,2x+将上式左边视为关于a的函数，令()()232 1g ax axax=+，下证当(0,1a，1,2x+时，()0g a 若1x=，则()10g aa=成立 若1x，此时()300gx=，()()()()2312 1120gxxxxx=+=+.又()g a为关于a的开口向下的二次函数，(0,1a，故()()()minmin0,10g agg，学科网（北京）股份有限公司 若112x，此时()g a为关于a的开口向上的二次函数，对称轴为()4 1xax=i.若对称轴()14 1xx，又112x，解得415x，所以()()min10g ag=ii.若对称轴()14 1xx，又112x，解得1425x，注意到此时()g a对应的判别式()()22322211818818028xxxxxxxx=+=.综上，当(0,1a，1,2x+时，()0g a.故a的取值范围为(0,1.