第2节 基本不等式及其应用.pptx
第七章第七章第二节基本不等式及其应用第二节基本不等式及其应用内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的实际应用3.基本不等式的综合应用1.数学运算2.逻辑推理3.数学建模强基础强基础 固本增分固本增分(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立a0,b0 微点拨1.基本不等式应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.2.两个重要的不等式(1)a2+b2(a,bR),当且仅当a=b时,等号成立.3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则微点拨和定积最大,积定和最小:两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值;积为定值时,可求其和的最小值.2ab x=y 小 x=y 大 常用结论 研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一利用基本不等式求最利用基本不等式求最值(多考向探究多考向探究)考向考向1 配配凑法求最凑法求最值A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1(3)已知0 xy0,x-y0,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2 常数常数代代换法求最法求最值例2(1)(2023河北石家庄月考)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+4y的值为()A.2B.3C.4D.5(2)(2022山西临汾二模)已知正数a,b满足a+2b=2,则 的最小值为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3 消元法消元法求最求最值例3已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.答案:6解析:(方法1换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x0,y0,所以x+3y2 ,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以(x+3y)2-12xy=(x+3y)2+12(x+3y)-1080.令x+3y=t,则t0且t2+12t-1080,得t6,即x+3y的最小值为6.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法 通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)9 考点一考点一考点二考点二考点三考点三x(10-x)9,即x2-10 x+90,解得1x9,满足0 x10,a+b的最大值为9.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二基本不等式的基本不等式的实际应用用例4(2022湖北八市联考)某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m.则每块试验区的面积的最大值为m2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:6 考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法 1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练4(2022江苏苏州期中)某区域规划建设扇形观景水池,同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元,水池造价为每平方米400元,人行步道造价为每米1 000元(不考虑宽度厚度等因素),则水池面积最大值为平方米.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:400解析:由题意可设水池长为a,宽为b,则面积为ab,水池造价为400ab,人行步道的周长为2a+2b,所以人行步道造价为1 000(2a+2b)=2 000(a+b),所以可得2 000(a+b)+400ab240 000,化简得2 40020(a+b)+4ab,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三基本不等式的基本不等式的综合合应用用例5(1)在等比数列an中,a2a6+a5a11=16,则a3a9的最大值是()A.4B.8C.16D.32考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)B解析:(1)由等比数列性质知a3a9=a4a8,a2a6+a5a11=162a4a8(当且仅当a4=a8时取等号),a4a88,a3a98,即a3a9的最大值为8.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是:(1)先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.(2)要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.(3)检验等号是否成立,完成后续问题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练5(1)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6(2)命题p:xx|1x9,x2-ax+360,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.37,+)B.13,+)C.12,+)D.(-,13考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)C解析:(1)由题意得a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=2a=6,故|MF1|MF2|的最大值为9.(2)命题p:xx|1x9,使x2-ax+360为真命题,
