2024年高考二级结论速解技巧专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件含答案.pdf
专题专题 0 08 8 三角形”四心“向量形式的充要条件三角形”四心“向量形式的充要条件 一、结论一、结论 1 1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 （1 1）重心）重心中线的交点：重心将中线长度分成中线的交点：重心将中线长度分成 2 2：1 1；（2 2）垂心）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；高线的交点：高线与对应边垂直；（3 3）内心）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4 4）外心）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2 2、设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则（1 1）O为为ABC的外心的外心|2sinaOAOBOCA=.（2 2）O为为ABC的重心的重心0OAOBOC+=.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA=.（4 4）O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC+=.3 3、奔驰定理、奔驰定理 奔驰定理：设奔驰定理：设O是是ABC内一点，内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作的面积分别记作AS,BS,CS则则0ABCSOASOBSOC+=.说明：说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O是是ABC的重心的重心:1:1:1ABCSSS=0OAOBOC+=.O是是ABC的内心的内心:ABCSSSa b c=0aOAbOBcOC+=.O是是ABC的外心的外心:sin2:sin2:sin2ABCSSSABC=sin2sin2sin20A OAB OBC OC+=.O是是ABC的垂心的垂心:tan:tan:tanABCSSSABC=tantantan0A OAB OBC OC+=.OABCASCSBS2024年高考二级结论速解技巧12讲 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题二、典型例题 例题例题 1 1（2022023 3全国高三专题练习）平面上有全国高三专题练习）平面上有ABC及其内一点及其内一点O O，构成如图所示图形，若将，构成如图所示图形，若将OAB，OBC，OCA的面积分别记作的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式，则有关系式0abcSOASOBSOC+=因图形和奔驰车因图形和奔驰车的的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若满足若满足0a OAb OBc OC+=，则，则O为为ABC的（的（）A A外心外心 B B内心内心 C C重心重心 D D垂心垂心 例题例题 2 2：已知：已知G是是ABC的重心，且满足的重心，且满足56sin40sin35sin0AGABGBCGC+=，求角，求角B 例题例题 3 3：设点：设点O在在ABC内部，且内部，且5370OAOBOC+=,则则ABC与与AOC的面积之比为的面积之比为 .OABCASCSBS 三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（2022全国高三专题练习）平面上有ABC及其内一点 O，构成如图所示图形，若将OAB，OBC，OCA的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式0abcSOASOBSOC+=因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若满足0a OAb OBc OC+=，则 O为ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 2（2021 春湖北襄阳高一校联考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点，且满足：2332OAOBOCABBCCA+=+，则AOBABCSS=（）A25 B12 C16 D13 二、多选题二、多选题 3（2022全国高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB 的面积分别为AS，BS，CS，且0ABCSOASOBSOC+=设 O 是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是的ABC三个内角，以下命题正确的有（）A若230OAOBOC+=，则:1:2:3ABCSSS=B若2OAOB=，56AOB=，2340OAOBOC+=，则92ABCS=C若 O为ABC的内心，3450OAOBOC+=，则2C=D若 O为ABC的垂心，3450OAOBOC+=，则6cos6AOB=4（2022 春山东济宁高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O是ABC内的一点，,BOCAOCAOB的面积分别为,ABCSSS，则有0ABCSOASOBSOC+=设O是锐角ABC内的一点，,BACABCACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A若0OAOBOC+=，则 O为ABC的重心 B若230OAOBOC+=，则:1:2:3ABCSSS=C若5|2,6OAOBAOB=，2340OAOBOC+=，则92ABCS=D若 O为ABC的垂心，则tantantan0BAC OAABC OBACB OC+=5（2022 春广东佛山高一校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O 是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=.若 O 是锐角ABC内的一点，A，B，C 是ABC的三个内角，且点 O 满足OA OBOB OCOA OC=.则（）AO为ABC的外心 BBOCA+=C:cos:cos:cosOAOBOCABC=D:tan:tan:tanABCSSSABC=6（2022 春江苏淮安高一金湖中学校联考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已 知O是ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC+=.若O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、ACB是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=，则（）AO为ABC的垂心 BAOBACB=Csin:sin:sin:OAOBOCBACABCACB =Dtantantan0BAC OAABC OBACB OC +=7（2021 春江苏苏州高一统考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为,ABCSSS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，,A B C是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=，则（）AO为ABC的垂心 BAOBC=C:sin:sin:n:siOAAOBOCCB=Dtantantan0+=A OAB OBC OC 三、填空题三、填空题 8（2021四川凉山统考三模）如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优美等式PBCSPA+0PACPABSPBSPC+=成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：若P是ABC的重心，则有0PAPBPC+=；若0aPAbPBcPC+=成立，则P是ABC的内心；若2155APABAC=+，则:2:5ABPABCSS=；若P是ABC的外心，4A=，PAmPBnPC=+，则)2,1mn+.则正确的命题有_.四、解答题四、解答题 9（2021 春云南昆明高一昆明八中校考阶段练习）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=.(1)证明：点O为ABC的垂心；(2)证明：tantantan0A OAB OBC OC+=专题专题 0 08 8 三角形”四心“向量形式的充要条件三角形”四心“向量形式的充要条件 一、结论一、结论 1 1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 （1 1）重心）重心中线的交点：重心将中线长度分成中线的交点：重心将中线长度分成 2 2：1 1；（2 2）垂心）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；高线的交点：高线与对应边垂直；（3 3）内心）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4 4）外心）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2 2、设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则 （1 1）O为为ABC的外心的外心|2sinaOAOBOCA=.（2 2）O为为ABC的重心的重心0OAOBOC+=.（3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA=.（4 4）O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC+=.3 3、奔驰定理、奔驰定理 奔驰定理：设奔驰定理：设O是是ABC内一点，内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作的面积分别记作AS,BS,CS则则0ABCSOASOBSOC+=.说明：说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O是是ABC的重心的重心:1:1:1ABCSSS=0OAOBOC+=.O是是ABC的内心的内心:ABCSSSa b c=0aOAbOBcOC+=.O是是ABC的外心的外心:sin2:sin2:sin2ABCSSSABC=sin2sin2sin20A OAB OBC OC+=.O是是ABC的垂心的垂心:tan:tan:tanABCSSSABC=tantantan0A OAB OBC OC+=.OABCASCSBS 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题二、典型例题 例题例题 1 1（2022023 3全国高三专题练习）平面上有全国高三专题练习）平面上有ABC及其内一点及其内一点O O，构成如图所示图形，若将，构成如图所示图形，若将OAB，OBC，OCA的面积分别记作的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式，则有关系式0abcSOASOBSOC+=因图形和奔驰车因图形和奔驰车的的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若满足若满足0a OAb OBc OC+=，则，则O为为ABC的（的（）A A外心外心 B B内心内心 C C重心重心 D D垂心垂心 【答案】B【法一】由0abcSOASOBSOC+=得bcaaSSOAOBOCSS=，由0a OAb OBc OC+=得bcOAOBOCaa=，根据平面向量基本定理可得baSbSa=，caScSa=，所以baSbSa=，caScSa=，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，则|baSAESBE=，又baSbSa=，所以|AEbBEa=|ACBC=，所以CE为ACB的平分线，同理可得BF是ABC的平分线，所以O为ABC的内心.故选：B 【法二】记点 O到 AB、BC、CA 的距离分别为123hhh，212OBCSa h=，312OACSb h=，112OABSc h=，因为0OBCOACOABSOASOBSOC+=，则233111=0222a hOAb hOBc hOC+，即2310a hOAb hOBc h OC+=，又因为0a OAb OBc OC+=，所以123hhh=，所以点 P 是ABC 的内心.故选：B【反思反思】设设O为为ABC所在平面上一点所在平面上一点,内角内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,则则O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC+=.利用结论可直接得到利用结论可直接得到O为为ABC的内心的内心.例题例题 2 2：已知：已知G是是ABC的重心，且满足的重心，且满足56sin40sin35sin0AGABGBCGC+=，求角，求角B 【详解】【详解】因为因为G是是ABC的重心，所以的重心，所以0GAGBGC+=,所以所以56sin:40sin:35sin1:1:1ABC=，所以，所以sin:sin:sin5:7:8ABC=，由正弦定理，由正弦定理:sin:sin:sin5:7:8a b cABC=，由余弦定理，由余弦定理，2222225871cos22 5 82acbBac+=，因为，因为(0,)B，所以，所以3B=.【反思反思】设设G是是ABC的重心的重心,直接利用奔驰定理结论直接利用奔驰定理结论O是是ABC的重心的重心:1:1:1ABCSSS=0OAOBOC+=，所 以 在 本 例 中，已 知，所 以 在 本 例 中，已 知56sin40sin35sin0AGABGBCGC+=可 得 到可 得 到56sin:40sin:35sin1:1:1ABC=，从而得到，从而得到sin:sin:sin5:7:8ABC=，再利用正弦定理，余弦定理，再利用正弦定理，余弦定理求解求解.例题例题 3 3：设点：设点O在在ABC内部，且内部，且5370OAOBOC+=,则则ABC与与AOC的面积之比为的面积之比为 .【详解】因为点O在ABC内部，满足奔驰定理0ABCSOASOBSOC+=，且5370OAOBOC+=，所 以:5:3:7ABCSSS=,从 而 得 到:(537):35:1ABCAOCSS=+=【反思反思】奔驰定理：设奔驰定理：设O是是ABC内一点，内一点，BOC,AOC,AOB的面积分的面积分别记作别记作AS,BS,CS则则0ABCSOASOBSOC+=，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论结论.三、针对训练三、针对训练 举一反三举一反三 一、单选题一、单选题 1（2022全国高三专题练习）平面上有ABC及其内一点 O，构成如图所示图形，若将OAB，OBC，OCA的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式0abcSOASOBSOC+=因图形和奔驰车的logo很相OABCASCSBS 似，常把上述结论称为“奔驰定理”已知ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若满足0a OAb OBc OC+=，则 O为ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】B【详解】由0abcSOASOBSOC+=得bcaaSSOAOBOCSS=，由0a OAb OBc OC+=得bcOAOBOCaa=，根据平面向量基本定理可得baSbSa=，caScSa=，所以baSbSa=，caScSa=，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，则|baSAESBE=，又baSbSa=，所以|AEbBEa=|ACBC=，所以CE为ACB的平分线，同理可得BF是ABC的平分线，所以O为ABC的内心.故选：B 另解：记点 O 到 AB、BC、CA 的距离分别为123hhh，212OBCSa h=，312OACSb h=，112OABSc h=，因为0OBCOACOABSOASOBSOC+=，则233111=0222a hOAb hOBc hOC+，即2310a hOAb hOBc h OC+=，又因为0a OAb OBc OC+=，所以123hhh=，所以点 P 是ABC 的内心.故选：B 2（2021 春湖北襄阳高一校联考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一点，且满足：2332OAOBOCABBCCA+=+，则AOBABCSS=（）A25 B12 C16 D13【答案】D【详解】解：O为三角形ABC内一点，且满足2332OAOBOCABBCCA+=+，233()2()()320OAOBOCOBOAOCOBOAOCOAOBOC+=+=，0ABCSOASOBSOC+=13AOBAOBCABCAOBBOCAOCABCSSSSSSSSSS=+，故选：D 二、多选题二、多选题 3（2022全国高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB 的面积分别为AS，BS，CS，且0ABCSOASOBSOC+=设 O 是锐角ABC内的一点，BAC，ABC，ACB分别是的ABC三个内角，以下命题正确的有（）A若230OAOBOC+=，则:1:2:3ABCSSS=B若2OAOB=，56AOB=，2340OAOBOC+=，则92ABCS=C若 O为ABC的内心，3450OAOBOC+=，则2C=D若 O为ABC的垂心，3450OAOBOC+=，则6cos6AOB=【答案】ACD【详解】对 A，由奔驰定理可得，230ABCOAOBOCSOASOBSOC+=+=，又OAOB OC 、不共线，故:1:2:3ABCSSS=，A 对；对 B，12 2 sin12CSAOB=，由2340OAOBOC+=得:2:3:4ABCSSS=，故9944ABCCSS=，B错；对 C，若 O为ABC 的内心，3450OAOBOC+=，则:3:4:5ABCSSS=，又111:222ABCarbrcra b cSSS=（r为内切圆半径），三边满足勾股定律，故2C=，C 对；对 D，若 O为ABC 的垂心，则BOCA+=，coscosOB OCOBOCBOCOBOCA=，又()0coscosOB ACOBOCOAOB OCOB OAOCAOAC=，同理coscos,coscosOCBOBC OABOBA=，:cos:cos:cosOAOBOCABC=，3450OAOBOC+=，则:3:4:5ABCSSS=，且111:sin:sin:sin222ABCSSSOB OCBOCOA OCAOCOA OBAOB=coscossin:coscossin:coscossinBCAACBABC=sinsinsin:coscoscosABCABC=tan:tan:tanABC=如图，DEF、分别为垂足，设AFm=，()tan30At t=，则2373,9144FCmtBFmABmACtm=+，又:5:3tantanBEBEAE ECAC=，故515,388tAEACBEt AEAC=，由()2271539148tAB FCAC BEmmttm=+，解得55t=，由2216tan15coscos6CCC=，故6coscos6AOBC=，D 对故选：ACD 4（2022 春山东济宁高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O是ABC内的一点，,BOCAOCAOB的面积分别为,ABCSSS，则有0ABCSOASOBSOC+=设O是锐角ABC内的一点，,BACABCACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A若0OAOBOC+=，则 O为ABC的重心 B若230OAOBOC+=，则:1:2:3ABCSSS=C若5|2,6OAOBAOB=，2340OAOBOC+=，则92ABCS=D若 O为ABC的垂心，则tantantan0BAC OAABC OBACB OC+=【答案】ABD【详解】A：若D为AB的中点，连接OD，则=2OOAODCBO+=，故,C O D共线，即O在中线CD上，同理可得O在其它两中线上，故 O 为ABC的重心，正确；B：若2,3OEOB ODOC=，由题设知0OAOEOD+=，即 O为AED的重心，所以AOEDOEAODSSS=，12CAOESS=，13BAODSS=，16ADOESS=，则:1:2:3ABCSSS=，正确；C：由题设12 256in1s2CS=，若2,3,4OFOA OEOB ODOC=，所以0OFOEOD+=，即 O为DEF的重心，则EOFDOEDOFSSS=，而16CEOFSS=，则6EOFS=，故11122ADOESS=，1384BDOFSS=，所以1391244ABCS=+=，错误；D：由BOCBAC+=，则|cos|cosOB OCOB OCBOCOB OCBAC=，同理，|cos|cosOB OAOB OABOAOB OABCA=，因为 O为ABC的垂心，则()0OB ACOBOCOAOB OCOB OA=，所以|cos|cosOCBACOABCA=，同理得：|cos|cosOCABCOBBCA=，|cos|cosOAABCOBBAC=，则|:|:|cos:cos:cosOAOBOCBACABCBCA=，令|cos,|cos,|cosOAmBAC OBmABC OCmBCA=，由1|sin2ASOB OCBOC=，则21|sincoscossin22AmSOB OCBACABCBCABAC=，同理：21|sincoscossin22BmSOA OCABCBACBCAABC=，21|sincoscossin22CmSOA OBBCABACABCBCA=，综上，sinsinsin:tan:tan:tancoscoscosABCBACABCBCASSSBACABCBCABACABCBCA=，由已知可得tantantan0BAC OAABC OBACB OC+=，正确.故选：ABD 5（2022 春广东佛山高一校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=.若 O是锐角ABC内的一点，A，B，C 是ABC的三个内角，且点 O 满足OA OBOB OCOA OC=.则（）AO为ABC的外心 BBOCA+=C:cos:cos:cosOAOBOCABC=D:tan:tan:tanABCSSSABC=【答案】BCD【详解】依题意，()00OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCA=，同理 OACB，OCAB，则 O 为ABC的垂心，A 错误；如图，直线,CO BO分别交 AB，AC于 P，Q，由选项 A 知，,CPAB BQAC，2OBCACB+=，2OCBABC+=，则OBCACBOCBABC+=，又OBCOCBBOC+=，即有BOCACBABC=+，又BACACBABC+=，因此BOCBAC+=，B 正确；由选项 B 知，BACBOC=，同理ABCAOC=，()()cos:coscos:coscos:cos:OP OPABBOCAOCBOPAOPOB OA=:OA OB=，同理可得cos:cos:ACOA OC=，因此cos:cos:cos:ABCOA OB OC=，C 正确；11:():():tan:tan22ABSSOC BPOC APBP APOPPOB OPAOP=()()tan:tantan:tantan:tanBOCAOCABAB=，同理可得:tan:tanACSSAC=，所以:tan:tan:tanABCSSSABC=，D 正确.故选：BCD 6（2022 春江苏淮安高一金湖中学校联考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC+=.若O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、ACB是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=，则（）AO为ABC的垂心 BAOBACB=Csin:sin:sin:OAOBOCBACABCACB =Dtantantan0BAC OAABC OBACB OC +=【答案】ABD【详解】A 项：OA OBOB OC=，即0OA OBOB OC=，()0OBOAOC=，0OB CA=，OBCA，同理可得OACB ，OCAB ，故O为ABC的垂心，A 正确；B：如图，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，延长CO交AB于点F，因为OACB ，所以90ADB=，90BAOABC，因为OBCA，所以90BEA=，90ABOBAC，则()()9090AOBABOBAOBACABC=BACABCACB+=，B 正确；C 项：在AOB中，由正弦定理易知sinsinOAOBABOBAO，因为90BAOABC，90ABOBAC，所以sin 90sin 90OAOBBACABC，即coscosOAOBBACABC，coscosOABACOBABC，同理可得coscosOBABCOCACB，故:co:cos:scosOAOBOCBACABCACB =，C 错误；D 项：AOBACB=，同理可得AOCABC=，BOCBAC=，则()11sinsin22ASOBOCBOCOBOCBAC=11sinsin22BACBAOBOCOA OBOCCOA=，同理可得1sin2BSOA OBOACOBCB=，1sin2CSOA OBOACOCBC=，因为0ABCSOASOBSOC+=，所以将AS、BS、CS代入，可得sinsinsin0OAOBOCOAOBBACACCBCBOA ，因为:co:cos:scosOAOBOCBACABCACB =，所以ssinsinin:tan:ta:ant nBACABCACBBACABCACBOAOBOC =，故tantantan0BAC OAABC OBACB OC +=成立，D 正确，故选：ABD.7（2021 春江苏苏州高一统考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为,ABCSSS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，,A B C是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=，则（）AO为ABC的垂心 BAOBC=C:sin:sin:n:siOAAOBOCCB=Dtantantan0+=A OAB OBC OC【答案】ABD【详解】对于 A，OA OBOB OC=，()0OBOAOCOB CA=，即OBCA，同理可证得：OABC，OCAB，O是ABC的垂心，A 正确；对于 B，延长,OA OB交,BC AC于,D E两点，由 A 可知：ADBC，BEAC，2CCAD+=，2AOECAD+=，AOEC=，又AOEAOB+=，AOBAOEC=，B 正确；对于 C，由 B 可得：coscosOA OBOA OBAOBOA OBC=，同理可得：cosOB OCOBOCA=，cosOA OCOA OCB=，coscoscosOA OBCOBOCAOA OCB=，:cos:cos:cosOAOBOCABC=，C 错误；对于 D，由 B 可得：11sinsin22CSOA OBAOBOA OBC=，同理可得：1sin2ASOB OCA=，1sin2BSOA OCB=，sinsinsin:ABCABCSSSOAOBOC=，由 C 可得：sinsinsin:tan:tan:tancoscoscosABCABCSSSABCABC=，又0ABCSOASOBSOC+=，tantantan0A OAB OBC OC+=，D 正确.故选：ABD.三、填空题三、填空题 8（2021四川凉山统考三模）如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优美等式PBCSPA+0PACPABSPBSPC+=成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：若P是ABC的重心，则有0PAPBPC+=；若0aPAbPBcPC+=成立，则P是ABC的内心；若2155APABAC=+，则:2:5ABPABCSS=；若P是ABC的外心，4A=，PAmPBnPC=+，则)2,1mn+.则正确的命题有_.【答案】【详解】对于：如图所示：因为DEF、分别为CAABBC、的中点，所以2CPPE=,121,233AECABCAPCAECABCSSSSS=，同理可得13APBABCSS=、13BPCABCSS=，所以=PBCS=PACPABSS，又因为0PBCPACPABSPASPBSPC+=所以0PAPBPC+=.正确.对于：记点P到ABBCCA、的距离分别为123hhh、，231111=,222PBCPACPABa hb hhScSS=，因为0PBCPACPABSPASPBSPC+=，则2311112220PAPBa hb hcPhC+=，即2310a hb hPAPBc h PC+=+，又因为0aPAbPBcPC+=，所以123=hhh，所以点P是ABC的内心.正确.对于：因为2155APABAC=+，所以2155PAABAC=,5315PBPAABABAC=+=,5245PCPAACABAC=+=+,所以2110555532455PBCPACPABSABACSABACSABAC+=,化简得：3212055555154+PBCPACPABPBCPACPABSSSABSSSAC+=+，又因为AB AC 、不共线.所以232+=0=2555=2114=0555PBCPACPABPBCPABPACPABPBCPACPABSSSSSSSSSS+，15ABPPABPBCPACPABABCSSSSSS=+=.错误.对于：因为P是ABC的外心，4A=，所以2BPC=,PAPBPC=，=cos0PB PCPBPCBPC=,因为PAmPBnPC=+，则222222PAm PBmnPB PCn PC=+，化简得：22+1mn=,由题意知mn、不同时为正.记cos,sinmn=22,则cossin2sin+4mn+=+=，因为3921si2sin+4n2144442+所以)2,1mn+.正确.故答案为：.四、解答题四、解答题 9（2021 春云南昆明高一昆明八中校考阶段练习）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为AS，BS，CS，则0ABCSOASOBSOC+=“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OA OBOB OCOC OA=.(1)证明：点O为ABC的垂心；(2)证明：tantantan0A OAB OBC OC+=.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：如图，因为OA OBOB OCOC OA=，所以()00OBOAOCOB CA=，同理0OA BC=，0OC AB=，所以O为ABC的垂心.（2）因为四边形DOEC的对角互补，所以AOBC=，cos()cosOA OBOA OBCOA OBC=同理，|cosOB OCOB OCA=，|cosOC OAOC OAB=，|cos|cos|cosOA OBCOB OCAOC OAB=|cos|cos|cos|OA OBCOB OCAOC OABOA OB OCOA OB OCOA OB OC=，:cos:cos:cosOAOBOCABC=又11sin()sin22ASOB OCAOB OCA=，11sin()sin22BSOA OCBOA OCB=，11sin()sin22CSOB OACOB OAC=，sinsinsin:ABCABCSSSOAOBOC=sinsinsin:tan:tan:tancoscoscosABCABCABC=由奔驰定理得tantantan0A OAB OBC OC+=.
