(完整版)高中数学数列专题大题训练.pdf

高中数学数列专题大题组卷一选择题（共9 小题）1 等差数列 an的前 m 项和为 30， 前 2m 项和为 100， 则它的前 3m 项和为 （）A130 B170 C 210 D2602已知各项均为正数的等比数列 an ，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7 C 6 D3数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1=3Sn（n1） ，则 a6=（）A344B344+1 C44D44+14已知数列 an 满足 3an+1+an=0，a2=，则 an 的前 10项和等于（）A6（1310） BC3（1310）D3（1+310）5等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则 a1=（）ABC D6已知等差数列 an 满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C 95 D237设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则 m=（）A3 B4 C 5 D68等差数列 an 的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列，则 an 的前 n 项和 Sn=（）An（n+1）Bn（n1）C D9设an 是等差数列，下列结论中正确的是（）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a1a2，则 a2D若 a10，则（ a2a1） （a2a3）0二解答题（共14小题）10设数列 an（n=1，2，3， ）的前 n 项和 Sn满足 Sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3成等差数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （）求数列 an 的通项公式；（）记数列的前 n 项和为 Tn，求使得 | Tn1|成立的 n 的最小值11设等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列 an ， bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列 cn的前 n 项和 Tn12已知数列 an 满足 a1=1，an+1=3an+1（）证明 an+ 是等比数列，并求 an 的通项公式；（）证明：+ +13已知等差数列 an的公差不为零， a1=25，且 a1，a11，a13成等比数列（）求an 的通项公式；（）求 a1+a4+a7+ +a3n214等差数列 an 中，a7=4，a19=2a9，（）求an 的通项公式；（）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Sn15已知等比数列 an中，a1=，公比 q=（）Sn为an的前 n 项和，证明： Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+ +log3an，求数列 bn 的通项公式16已知数列 an 满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和 an 的通项公式；（2）设 bn=，nN*，求数列 bn的前 n 项和17 已知数列 an 是首项为正数的等差数列， 数列 的前 n 项和为（1）求数列 an 的通项公式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）设 bn=（an+1）?2，求数列 bn的前 n 项和 Tn18 已 知 数 列 an 和 bn 满 足a1=2 ， b1=1 ， an+1=2an（ n N*），b1+b2+b3+ + bn=bn+11（nN*）（）求 an与 bn；（）记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn19已知数列 an 是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 Sn为数列 an 的前 n 项和， bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn20设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求an 的通项公式；（）若数列 bn ，满足 anbn=log3an，求bn的前 n 项和 Tn21设数列 an的前 n 项和为 Sn已知 a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设 bn=Sn3n，求数列 bn 的通项公式；（）若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围22已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列（）求数列 an 的通项公式；（）令 bn=（1）n1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn23数列 an 满足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1） ，nN*（）证明：数列 是等差数列；（）设 bn=3n?，求数列 bn 的前 n 项和 Sn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 高中数学数列专题大题组卷参考答案与试题解析一选择题（共9 小题）1 （1996?全国）等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（）A130 B170 C 210 D260【分析】利用等差数列的前n 项和公式，结合已知条件列出关于a1，d 的方程组，用 m 表示出 a1、d，进而求出 s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】 解：解法 1：设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由题意得方程组，解得 d=，a1=，s3m=3ma1+d=3m+=210故选 C解法 2：设 an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即 30，70，s3m100 成等差数列，30+s3m100=702，解得 s3m=210故选 C【点评】解法 1 为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2 使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n 项和为 sn，则 sn，s2nsn，s3ns2n， 成等差数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 2 （2010?大纲版 ）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则 a4a5a6=（）AB7 C 6 D【分析】 由数列 an 是等比数列，则有a1a2a3=5? a23=5；a7a8a9=10? a83=10【解答】 解：a1a2a3=5? a23=5；a7a8a9=10? a83=10，a52=a2a8，故选 A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、 根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想3（2011?四川） 数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a1=1， an+1=3Sn（n1） ， 则 a6= （）A344B344+1 C44D44+1【分析】 根据已知的 an+1=3Sn，当 n 大于等于 2 时得到 an=3Sn1，两者相减，根据 SnSn1=an，得到数列的第n+1 项等于第 n 项的 4 倍（n 大于等于 2） ，所以得到此数列除去第1 项， 从第 2 项开始，为首项是第 2 项， 公比为 4 的等比数列，由 a1=1， an+1=3Sn， 令 n=1，即可求出第 2 项的值，写出 2 项以后各项的通项公式，把 n=6代入通项公式即可求出第6 项的值【解答】 解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn1（n2） ，两式相减得： an+1an=3（SnSn1）=3an，则 an+1=4an（n2） ，又 a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为 4 的等比数列，所以 an=a2qn2=34n2（n2）则 a6=344故选 A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 4 （2013?大纲版）已知数列 an 满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310） BC3（1310）D3（1+310）【分析】由已知可知， 数列 an 是以为公比的等比数列， 结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】 解： 3an+1+an=0数列 an 是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选 C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5 （2013?新课标 ）等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABC D【分析】 设等比数列 an 的公比为 q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q，S3=a2+10a1，a5=9，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ，解得故选 C【点评】 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键6 （2008?全国卷 ）已知等差数列 an 满足 a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前 10 项的和 S10=（）A138 B135 C 95 D23【分析】 本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差） ，进而代入前 n 项和公式，即可求解【解答】 解：（ a3+a5）（ a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故选 C【点评】在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式， 写出该数列的通项公式， 如果未知这个数列的类型， 则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式7（2013?新课标 ） 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 Sm1=2， Sm=0， Sm+1=3，则 m=（）A3 B4 C 5 D6【分析】 由 an与 Sn的关系可求得 am+1与 am，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通项公式及am=2可得 m 值【解答】 解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差 d=am+1am=1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - Sm=0，得 a1=2，所以 am=2+（m1）?1=2，解得 m=5，故选 C【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项 an与 Sn的关系，考查学生的计算能力8 （2014?新课标 ）等差数列 an 的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列， 则 an的前 n 项和 Sn=（）An（n+1）Bn（n1）C D【分析】 由题意可得 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4可得 a1，代入求和公式可得【解答】 解：由题意可得 a42=a2?a8，即 a42=（a44） （a4+8） ，解得 a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1） ，故选： A【点评】 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题9 （2015?北京）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则 a1+a20C若 0a1a2，则 a2D若 a10，则（ a2a1） （a2a3）0【分析】 对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即B不正确； an 是等差数列， 0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即 C正确；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 若 a10，则（ a2a1） （a2a3）=d20，即 D 不正确故选： C【点评】 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础二解答题（共14小题）10 （2015?四川）设数列 an （n=1，2，3， ）的前 n 项和 Sn满足 Sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列 an 的通项公式；（）记数列的前 n 项和为 Tn，求使得 | Tn1|成立的 n 的最小值【分析】 （）由已知数列递推式得到an=2an1（n2） ，再由已知 a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列 an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则其通项公式可求；（）由（ ）求出数列 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得 Tn，结合求解指数不等式得n 的最小值【解答】 解： （）由已知 Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1（n2） ，即 an=2an1（n2） ，从而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，又a1，a2+1，a3成等差数列，a1+4a1=2（2a1+1） ，解得： a1=2数列 an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列故；（）由（ ）得：，由，得，即 2n100029=51210001024=210，n10精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 于是，使 | Tn1|成立的 n 的最小值为 10【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11 （2015?湖北）设等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知 b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列 an ， bn的通项公式（2）当 d1 时，记 cn=，求数列 cn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）利用前 10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当 d1 时，由（ 1）知 cn=，写出 Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】 解： （1）设 a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an= （2n+79） ，bn=9?；（2）当 d1 时，由（ 1）知 an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3? +5?+7?+9?+ +（2n1）?，Tn=1?+3?+5?+7?+ +（2n3）?+（2n1）?，Tn=2+ +（2n1）?=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 意解题方法的积累，属于中档题12 （2014?新课标 ）已知数列 an 满足 a1=1，an+1=3an+1（）证明 an+ 是等比数列，并求 an 的通项公式；（）证明：+ +【分析】 （）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为 0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出 an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】 证明（ ）=3，0，数列 an+是以首项为，公比为 3 的等比数列；an+=，即；（）由（ ）知，当 n2 时， 3n13n3n1，=，当 n=1 时，成立，当 n2 时，+ +1+ +=对 nN+时，+ +【点评】 本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考， 放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小， 使原数列变成一个等比数列， 或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题13 （2013?新课标 ）已知等差数列 an 的公差不为零， a1=25，且 a1，a11，a13成等比数列（）求an 的通项公式；（）求 a1+a4+a7+ +a3n2【分析】（I）设等差数列 an 的公差为d0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为 d（2a1+25d）=0，解出 d 即可得到通项公式an；（II）由（I）可得 a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列利用等差数列的前n 项和公式即可得出a1+a4+a7+ +a3n2【解答】 解： （I）设等差数列 an的公差为 d0，由题意 a1，a11，a13成等比数列，化为 d（2a1+25d）=0，d0，225+25d=0，解得 d=2an=25+（n1）（ 2）=2n+27（II）由（I）可得 a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列Sn=a1+a4+a7+ +a3n2=3n2+28n【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式是解题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 14 （2013?大纲版）等差数列 an 中，a7=4，a19=2a9，（）求an 的通项公式；（）设 bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Sn【分析】 （I）由 a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由=，利用裂项求和即可求解【解答】 解： （I）设等差数列 an的公差为 da7=4，a19=2a9，解得， a1=1，d=（II）=sn=【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易15 （2011?新课标）已知等比数列 an中，a1=，公比 q=（）Sn为an的前 n 项和，证明： Sn=（）设 bn=log3a1+log3a2+ +log3an，求数列 bn 的通项公式【分析】 （I）根据数列 an是等比数列， a1=，公比 q=，求出通项公式 an和前n 项和 Sn，然后经过运算即可证明（II）根据数列 an 的通项公式和对数函数运算性质求出数列bn的通项公式【解答】 证明： （I）数列 an 为等比数列， a1=，q=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - an=，Sn=又=SnSn=（II）an=bn=log3a1+log3a2+ +log3an=log33+（2log33）+ +（nlog33）=（1+2+ +n）=数列 bn 的通项公式为： bn=【点评】 本题主要考查等比数列的通项公式、 前 n 项和以及对数函数的运算性质16 （2015?天津）已知数列 an 满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和 an 的通项公式；（2）设 bn=，nN*，求数列 bn的前 n 项和【分析】 （1）通过 an+2=qan、a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（ 1）知 bn=，nN*，写出数列 bn 的前 n 项和 Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】 解： （1）an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，a3=q，a5=q2，a4=2q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 23q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍） ，an=；（2）由（ 1）知 bn=，nN*，记数列 bn 的前 n 项和为 Tn，则 Tn=1+2?+3?+4?+ +（n1）?+n?，2Tn=2+2+3?+4?+5?+ +（n1）?+n?，两式相减，得 Tn=3+ +n?=3+n?=3+1n?=4【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想， 利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题17 （2015?山东）已知数列 an是首项为正数的等差数列，数列 的前n 项和为（1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn=（an+1）?2，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）通过对 cn=分离分母，并项相加并利用数列的前 n 项和为即得首项和公差，进而可得结论；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （2）通过 bn=n?4n，写出 Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论【解答】 解： （1）设等差数列 an 的首项为 a1、公差为 d，则 a10，an=a1+（n1）d，an+1=a1+nd，令 cn=，则 cn= ，c1+c2+ +cn1+cn=+ +=，又数列 的前 n 项和为，a1=1或1（舍） ，d=2，an=1+2（n1）=2n1；（2）由（ 1）知 bn=（an+1）?2=（2n1+1）?22n1=n?4n，Tn=b1+b2+ +bn=1?41+2?42+ +n?4n，4Tn=1?42+2?43+ +（n1）?4n+n?4n+1，两式相减，得 3Tn=41+42+ +4nn?4n+1=?4n+1，Tn=【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 18 （2015?浙江）已知数列 an 和bn 满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*） ，b1+b2+b3+ + bn=bn+11（nN*）（）求 an与 bn；（）记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】 （）直接由 a1=2，an+1=2an，可得数列 an 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列 an的通项公式；再由 b1=1，b1+b2+b3+ +bn=bn+11，取 n=1求得 b2=2，当 n2 时，得另一递推式，作差得到，整理得数列 为常数列，由此可得 bn的通项公式；（）求出，然后利用错位相减法求数列anbn的前 n 项和为 Tn【解答】 解： （）由 a1=2，an+1=2an，得由题意知，当 n=1 时，b1=b21，故 b2=2，当 n2 时，b1+ b2+ b3+ +=bn1，和原递推式作差得，整理得：，；（）由（ ）知，因此，两式作差得：，（nN*） 【点评】 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题19 （2015?安徽）已知数列 an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （1）求数列 an 的通项公式；（2）设 Sn为数列 an 的前 n 项和， bn=，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【分析】 （1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列 an 的通项公式；（2）求出 bn=，利用裂项法即可求数列 bn 的前 n 项和 Tn【解答】 解： （1）数列 an 是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得 a1=1，a4=8或 a1=8，a4=1（舍） ，解得 q=2，即数列 an 的通项公式 an=2n1；（2）Sn=2n1，bn=，数列 bn 的前 n 项和 Tn=+ +=1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键20 （2015?山东）设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn=3n+3（）求an 的通项公式；（）若数列 bn ，满足 anbn=log3an，求bn的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用 2Sn=3n+3，可求得 a1=3；当 n1 时，2Sn1=3n1+3，两式相减 2an=2Sn2Sn1，可求得 an=3n1，从而可得 an 的通项公式；（）依题意， anbn=log3an，可得 b1=，当 n1 时，bn=31n?log33n1=（n1）31n， 于是可求得 T1=b1= ； 当 n1 时，Tn=b1+b2+ +bn=+ （131+232+ +精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （n1）31n） ，利用错位相减法可求得 bn 的前 n 项和 Tn【解答】 解： （）因为 2Sn=3n+3，所以 2a1=31+3=6，故 a1=3，当 n1 时，2Sn1=3n1+3，此时， 2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即 an=3n1，所以 an=（）因为 anbn=log3an，所以 b1= ，当 n1 时，bn=31n?log33n1=（n1）31n，所以 T1=b1=；当 n1 时，Tn=b1+b2+ +bn= +（131+232+ +（n1）31n） ，所以 3Tn=1+（130+231+332+ +（n1）32n） ，两式相减得： 2Tn= +（30+31+32+ +32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以 Tn=，经检验， n=1时也适合，综上可得 Tn=【点评】 本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“ 错位相减法 ” 求和，考查分析、运算能力，属于中档题21 （2008?全国卷 ）设数列 an 的前 n 项和为 Sn已知 a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设 bn=Sn3n，求数列 bn 的通项公式；（）若 an+1an，nN*，求 a 的取值范围【分析】 （）依题意得 Sn+1=2Sn+3n，由此可知 Sn+13n+1=2（Sn3n） 所以 bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（ ） 由 题 设条 件 知Sn=3n+（ a 3） 2n1， n N*， 于 是 ， an=Sn Sn1=，由此可以求得 a 的取值范围是 9，+） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 【解答】 解： （）依题意， Sn+1Sn=an+1=Sn+3n，即 Sn+1=2Sn+3n，由此得 Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n） （4 分）因此，所求通项公式为bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（ 6 分）（）由知 Sn=3n+（a3）2n1，nN*，于是，当 n2 时，an=SnSn1=3n+（a3）2n13n1（a3）2n2=23n1+（a3）2n2，an+1an=43n1+（a3）2n2=，当 n2 时，? a9又 a2=a1+3a1综上，所求的 a 的取值范围是 9，+） （12 分）【点评】本题考查数列的综合运用， 解题时要仔细审题， 注意挖掘题设中的隐含条件22 （2014?山东）已知等差数列 an 的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列（）求数列 an 的通项公式；（）令 bn=（1）n1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn【分析】 （）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；（）由（ ）可得 bn=对 n 分类讨论 “ 裂项求和 ”即可得出【解答】 解： （）等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得 a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 1=Tn=+ +当n 为 偶 数 时 ， Tn=+ +=1=当n为奇数时，Tn=+ +=1+=Tn=【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“ 裂项求和 ” 、分类讨论思想方法，属于难题23 （2014?安徽）数列 an 满足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1） ，nN*（）证明：数列 是等差数列；（）设 bn=3n?，求数列 bn 的前 n 项和 Sn【分析】 （）将 nan+1=（n+1）an+n （n+1）的两边同除以 n （n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（ ）求出 bn=3n?=n?3n，利用错位相减求出数列 bn 的前 n 项和Sn【解答】 证明（ ）nan+1=（n+1）an+n（n+1） ，数列 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列；（）由（ ）知，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ，bn=3n?=n?3n，?3n1+n?3n?3n+n?3n+1得3nn?3n+1=【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -