双曲线及其标准方程课件（第1课时） 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx
3.2.1双曲线及其标准方程第 3 章圆锥曲线的方程 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。我我们们知知道道，平平面面内内与与两两个个定定点点F F1 1,F F2 2的的距距离离的的和和等等于于常常数数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹是椭圆的点的轨迹是椭圆.一一个个自自然然的的问问题题是是:平平面面内内与与两两个个定定点点的的距距离离的的差差等等于于常常数的点的轨迹是什么数的点的轨迹是什么?下面我们探究一下这个问题下面我们探究一下这个问题.问题问题1.1.在在|F|F1 1F F2 2|AB|AB|的条件下，让点的条件下，让点P P在线段在线段ABAB外运动，这时外运动，这时动点动点M M满足什么几何条件满足什么几何条件?两圆的交点两圆的交点M M的轨迹是什么形状的轨迹是什么形状?当点当点M M靠近定点靠近定点F F1 1时时|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=|AB|=|AB|总之，点M与两个定点F1,F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|AB|AB|的条件下，点的条件下，点P P在线段在线段ABAB外运动时，外运动时，当点当点M M靠近定点靠近定点F F2 2时时|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|AB|=|AB|平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于等于非零非零常数常数(小于小于|F F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距焦距.通常情况下，我通常情况下，我们们把把|F1F2|记为记为2c(c0),常数常数记为记为2a(a0)，则则双曲双曲线线定定义还义还可以描述可以描述为为若若|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=2|=2aa2c,即|MF1|-|MF2|F1F2|，则轨迹是什么？若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此此时轨时轨迹迹为为以以F1或或F2为为端点的两条射端点的两条射线线此时轨迹不存在此此时轨时轨迹迹为线为线段段F1F2的垂直平分的垂直平分线线 追问追问2.2.定义中为什么强调常数要小于定义中为什么强调常数要小于|F F1 1F F2 2|且不等于且不等于0 0(即即0202a a20)0)，那那么么，焦焦点点F F1 1,F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)。由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢?F1F2MyOx|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=2|=2a a,02,02a a|22a a,即即c c a a,所以所以c c2 2-a a2 20.0.类比椭圆标准方类比椭圆标准方程的建立过程，令程的建立过程，令b b2 2=c c2 2-a a2 2，我我们们称称方方程程为为双双曲曲线线的的标标准准方方程程，它它表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上，焦焦点点分分别别是是F F1 1 (-(-c c，0)0)，F F2 2(c c,0),0)的双曲线，这里的双曲线，这里c c2 2=a a2 2+b b2 2.问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么?双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c),a,b的意义同上，这时双曲线的方程是这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.xyOM(x,y)F1F2焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2 例例1.已知双曲线的焦点已知双曲线的焦点 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点，双曲线上一点P到焦点到焦点的距离差的绝对值等于的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程，求双曲线的标准方程.xF1F2yOP(x,y)练习练习2.（课本（课本121页页1）求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在轴焦点在轴x上，上，a=4，b=3；练习练习2.（课本（课本121页页1）求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程.(2)焦点在轴焦点在轴x上，经过点上，经过点(2)焦点在焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为轴上，故可设双曲线的标准方程为(2)解解2:设双曲线的方程为设双曲线的方程为练习练习2.（课本（课本121页页1）求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程.(3)焦点为焦点为(0,-6),(0,6),且经过点且经过点(2,-5).(3)解解1:焦点在焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为轴上，故可设双曲线的标准方程为(3)解解2:证明证明:练习3.（课本121页 ）焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2课堂小结
