【课件】双曲线及其标准方程第1课时+课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx
3.2.1双曲线及其标准方程第 3 章圆锥曲线的方程 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。我我们们知知道道，平平面面内内与与两两个个定定点点F F1 1,F F2 2的的距距离离的的和和等等于于常常数数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹是椭圆的点的轨迹是椭圆.一一个个自自然然的的问问题题是是:平平面面内内与与两两个个定定点点的的距距离离的的差差等等于于常常数的点的轨迹是什么数的点的轨迹是什么?下面我们探究一下这个问题下面我们探究一下这个问题.问题问题1.1.在在|F|F1 1F F2 2|AB|AB|的条件下，让点的条件下，让点P P在线段在线段ABAB外运动，这时外运动，这时动点动点M M满足什么几何条件满足什么几何条件?两圆的交点两圆的交点M M的轨迹是什么形状的轨迹是什么形状?当点当点M M靠近定点靠近定点F F1 1时时|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=|AB|=|AB|总之，点M与两个定点F1,F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|AB|AB|的条件下，点的条件下，点P P在线段在线段ABAB外运动时，外运动时，当点当点M M靠近定点靠近定点F F2 2时时|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=|AB|=|AB|平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于等于非零非零常数常数(小于小于|F F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距焦距.通常情况下，我通常情况下，我们们把把|F1F2|记为记为2c(c0),常数常数记为记为2a(a0)，则则双曲双曲线线定定义还义还可以描述可以描述为为若若|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=2|=2aa2c,即|MF1|-|MF2|F1F2|，则轨迹是什么？若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此此时轨时轨迹迹为为以以F1或或F2为为端点的两条射端点的两条射线线此时轨迹不存在此此时轨时轨迹迹为线为线段段F1F2的垂直平分的垂直平分线线 追问追问2.2.定义中为什么强调常数要小于定义中为什么强调常数要小于|F F1 1F F2 2|且不等于且不等于0 0(即即0202a a20)0)，那那么么，焦焦点点F F1 1,F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(-c,0),(c,0)(-c,0),(c,0)。由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:问题2.类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系呢？如何得出双曲线的方程呢?F1F2MyOx|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=2|=2a a,02,02a a|22a a,即即c c a a,所以所以c c2 2-a a2 20.0.类比椭圆标准方类比椭圆标准方程的建立过程，令程的建立过程，令b b2 2=c c2 2-a a2 2，我我们们称称方方程程为为双双曲曲线线的的标标准准方方程程，它它表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上，焦焦点点分分别别是是F F1 1 (-(-c c，0)0)，F F2 2(c c,0),0)的双曲线，这里的双曲线，这里c c2 2=a a2 2+b b2 2.问题3.类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么?双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c),a,b的意义同上，这时双曲线的方程是这个方程表示焦点在y轴上的双曲线的标准方程.xyOM(x,y)F1F2焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的双曲线y2项系数为正.标准方程标准方程相相同同点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不同同点点图图形形焦点坐标焦点坐标定定义义a、b、c 的关系的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2复习导入椭圆椭圆双曲线双曲线定定义义方方程程焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上焦焦点点a,b,c的关系的关系F1(c,0),F2(c,0)a0,b0,c2=a2+b2a,b,c中中c最大最大ab0,a2=b2+c2a,b,c中中a最大最大|MF1|MF2|=2a(ac)F1(0,c),F2(0,c)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)02 双曲线焦点三角形双曲线焦点三角形PART ONE焦点三角形焦点三角形焦点三角形焦点三角形解析:不妨设|AF2|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.C焦点三角形03 求轨迹方程求轨迹方程PART ONE轨迹方程轨迹方程轨迹方程 易错防范易错防范 1 1求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是距离的差的绝对值是常数常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支2 2在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性当确性当|PFPF1 1|PFPF2 2|2 2a|0)0)，即，即|PFPF1 1|PFPF2 2|22a(02(02a|F F1 1F F2 2|)|)时，时，P P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支轨迹方程例3.一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示PEF,已知tanPEF=,tanPFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.轨迹方程解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.轨迹方程轨迹方程【思路分析】建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程轨迹方程04 求最值求最值PART ONE求最值求最值求最值求最值温故知新说 明：双曲线定义M点的轨迹是什么？M点的轨迹是焦点F1所对应的一支；（1）（2）焦点F2所对应的一支思考思考2:为什么定义中的为什么定义中的距离之差要加绝对值距离之差要加绝对值？不加会得到什么？不加会得到什么？探究探究一一焦点三角形问题拓展拓展探究探究常用技巧结论牢记结论牢记同学们试一同学们试一下吧，发挥下吧，发挥焦点三角形焦点三角形的魅力吧！的魅力吧！例例2、由双曲线、由双曲线上的一点上的一点P与左、右两焦点与左、右两焦点构成构成，求，求的内切圆与边的内切圆与边的切点坐标。的切点坐标。深度学习深度学习|NF1|NF2|PF1|PF2|2a又又|NF1|NF2|2c|ON|NF1|OF1|acca3故切点故切点N的坐标为（的坐标为（3，0）根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点左支上时，切点N的坐标为（的坐标为（3，0）【解解】由双曲线方程知由双曲线方程知a3，b2，如下图，由双曲线的定义得如下图，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得根据从圆外一点引圆的两条切线长相等可得由得另解：另解：|NF1|NF2|PF1|PF2|2a由定义，由定义，N在以在以F1，F2为焦点的双曲线C上，又在直线F1F2上，从而确定N的位置你发现了什么结论？能证明吗？你发现了什么结论？能证明吗？深度学习深度学习结论:若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点解解:在在ABC中中,|BC|=10|=10，故顶点故顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=4则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为备选例题备选例题备选例题解析解析:F F1 1(-5,0),N(5,0)(-5,0),N(5,0)分别是双曲线的左右焦点分别是双曲线的左右焦点,PF,PF1 1与圆与圆F F1 1有两个交点有两个交点,距离距离P P较远较远的那个点满足的那个点满足|PM|-|PN|PM|-|PN|最大最大,此时此时|PM|-|PN|=|PF|PM|-|PN|=|PF1 1|-|PN|+2.|-|PN|+2.=2a+2=23+2=8,=2a+2=23+2=8,故选故选D.D.3.本节所用到的数学思想有：数形结合思想 分类讨论思想小结反思、升华素养小结反思、升华素养
