直线与圆位置关系3课件.ppt
切线长定理切线长定理阳信县勃李中学阳信县勃李中学 O。ABP思考：思考：过圆外一点过圆外一点P作圆的切线，可以做几作圆的切线，可以做几条？它们有什么关系？条？它们有什么关系？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的间的线段线段的长，叫做这点到圆的的长，叫做这点到圆的切线长。切线长。如图，如图，P P是是O O外一点，外一点，PAPA，PBPB是是O O的两条的两条切线，我们把线切线，我们把线段段PAPA，PBPB叫做叫做点点P P到到O O的切的切线长。线长。OPABOPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线间的线段的长。段的长。A 根据你的直观判断，根据你的直观判断，猜想图中猜想图中PAPA是否等于是否等于PBPB？1 1与与 2 2又有什么关系又有什么关系？证明：证明：PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，OAAPOAAP，OBBPOBBP，又，又OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP，RtAOPRtBOPRtAOPRtBOP（HLHL）PA=PBPA=PB，1=21=2试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的们的切线长相等切线长相等，这一点和圆心的连，这一点和圆心的连线线平分平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。A 切线长定理：切线长定理：符号语言：符号语言：如图如图PA、PB分别切分别切 O于于A、B PA=PB，1=2为证明为证明线段相等、角相等线段相等、角相等提提 供了新的方法供了新的方法APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你你又能得出什么新的结又能得出什么新的结论论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分AB定理深化定理深化N。PBAO（3 3）连结圆心和圆外点）连结圆心和圆外点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有反思：在解决有关圆的切线长问关圆的切线长问题时，往往需要题时，往往需要我们构建基本图我们构建基本图形。形。例例.PA.PA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC 已知已知O O的半径为的半径为3 3厘米，点厘米，点P P和圆心和圆心O O的距离为的距离为6 6厘米，经过点厘米，经过点P P和和O O的两条切的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长线，求这两条切线的夹角及切线长练习练习OFPE12 李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。用料，且使圆的面积最大。用料，且使圆的面积最大。用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。下。下。下。ABC1、定义：、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角和三角形各边都相切的圆叫做三角形的形的内切圆内切圆，内切圆的圆心是三角形三角平，内切圆的圆心是三角形三角平分线的交点，叫做三角形的分线的交点，叫做三角形的内心内心，这个三角，这个三角形叫做圆的形叫做圆的外切三角形外切三角形。2、性质、性质:内心到三角形三边的距离相等。内心到三角形三边的距离相等。内心与顶点连线平分内角内心与顶点连线平分内角！OAB C作三角形内切圆的方法：作三角形内切圆的方法：ABC1、作、作B、C的平分线的平分线BM和和CN，交点为，交点为I。I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。3以以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I.I就是所求的圆。就是所求的圆。DMN1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。o外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C比较深化比较深化例例1 1：已知：在：已知：在ABCABC中，中，BC=9cmBC=9cm，AC=14cmAC=14cm，AB=13cmAB=13cm，它的内切圆分别和，它的内切圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的长。的长。CBAEDFOr解：因为解：因为ABCABC的内切的内切圆分别和圆分别和BCBC、ACAC、ABAB切切于点于点D D、E E、F F，由切，由切线线长定理长定理知知AE=AF,CE=CD,BD=BFAE=AF,CE=CD,BD=BFAF+BD+CE=(AB+AC+BC)AF+BD+CE=(AB+AC+BC)BD+CE=BD+CE=AF=18-9=9AF=18-9=9BD+CD=BD+CD=BC=9BC=9=18BD=AB-AF=13-9=4BD=AB-AF=13-9=4CE=BC-BD=9-4=5CE=BC-BD=9-4=5解：设解：设AF=XAF=X（cmcm），则），则AE=XAE=XCD=CE=ACCD=CE=ACAF=13AF=13X XBD=BF=ABBD=BF=ABAF=9AF=9X X由由BD+CD=BCBD+CD=BC可得可得（1313X X）+（9 9X X）=14=14解得解得X=4X=4因此因此AF=4AF=4（cmcm），），BD=5BD=5（cmcm），），CE=9CE=9（cmcm）。）。解：解：点点O是是ABC的内心，的内心，BOC=180(1 3)=180(25 35)例例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心，若若ABC=50，ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO=120)1(32)4(同理同理 3=4=ACB=70=35 1=2=ABC=50=25想一想：想一想：如果如果O O是是外心，外心，其他条其他条件不变，件不变，BOC的度数是多少的度数是多少呢？呢？120你做对了吗？你做对了吗？如图，如图，ABCABC中中,C,C=90=90,它的内切圆它的内切圆O O分分别与边别与边ABAB、BCBC、CACA，相切于点相切于点D D、E E、F F，且且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAF练习练习1.1.切线长定理切线长定理 从圆从圆外一点引圆的两条切外一点引圆的两条切线，它们的切线长相线，它们的切线长相等，圆心和这一点的等，圆心和这一点的连线平分两条切线的连线平分两条切线的夹角。夹角。小小 结结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。小结：小结：（1）切线长定理。）切线长定理。（2）三角形的内切圆）三角形的内切圆探究：试说明圆的探究：试说明圆的外切四边形的两组外切四边形的两组对边的和相等对边的和相等BDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,r,ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。
