四川省阆中中学2023—2024学年高三上学期一模理科数学含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司1阆中中学校高 2021 级 2023 年秋一模阆中中学校高 2021 级 2023 年秋一模数 学 试 题（理）数 学 试 题（理）（满分：150 分 考试时间：120 分钟）满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、单选题。(每小题 5 分，共计 60 分)一、单选题。(每小题 5 分，共计 60 分)1已知集合1,412Ax xBx yx，则AB（）A1,2B10,2C1 1,4 2D1,42已知1 iz ，则1zz（）A13i55B1355iC31i55D31i553在等比数列 na中，11a，34a，则7a（）A128B128C64D644若曲线lnxayx在1,a处的切线与直线:250lxy垂直，则实数a（）A1B32C32D25已知函数 f x的部分图像如图，则函数 f x的解析式可能为（）A eesinxxf xx B eesinxxf xxC eecosxxf xx D eecosxxf xx6已知向量,a b 满足3,2,22 13abab，则a与b的夹角为（）A2B23C34D567设变量,x y满足约束条件306010 xyxyy，则目标函数3zxy 的最小值为（）A-8B-15C-20D-218 已知函数()2sin()(0)3f xx的最小正周期为T，若223T，且3是 f x的一个极值点，则（）2A12B2C103D729 已知函数1()e1xf x，则对任意非零实数x，有（）A 0fxf xB 1 fxf xC 1fxf xD 1fxf x 10圆O是边长为2 3的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，BMxBAyBD （x，Ry），则2xy的最大值为（）A2 2B2C2D311油纸伞是中国传统工艺品，至今已有 1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（）A23B21C31D2212定义在R上的奇函数 f x满足 2=fxf x，且在0,1上单调递减，若方程 1f x 在0,1上有实数根,则方程 1f x 在区间1,11上所有实根之和是（）A30B14C12D6二、填空题。（每小题 5 分，共计 20 分）二、填空题。（每小题 5 分，共计 20 分）13在某市的一次高三测试中，学生数学成绩X服从正态分布275,N，已知(3075)0.35PX，若按成绩分层抽样抽取 100 份试卷进行分析，其中 120 分以上的试卷份数为 .144212xx的展开式中2x的系数为 （用数字作答）15点M是双曲线2214yx 渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则圆M的半径的最小值等于 .16如图，菱形ABCD的边长为 2，=60B.将ABC沿AC折到PAC的位置，连接PD得三棱锥PACD.若三棱锥PACD的体积为32，则3PD 或 3；若BD平面PAC，则2 3PD；学科网（北京）股份有限公司3若M，N分别为AC，PD的中点，则/MN平面PAB；当6PD 时，三棱锥PACD的外接球的体积为20 1527.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题。（共 70 分，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23三、解答题。（共 70 分，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答）17(12 分)某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电子元件中随机抽取 100 个电子元件进行质量检测，检测结果如下表：测试指标0,60)60,70)70,80)80,90)90,100数量/个8122011050已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这100个电子元件中，有 10 个是不合格品（1）请完成以下22列联表：甲设备乙设备合计合格品不合格品合计（2）根据以上22列联表，判断是否有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合与甲、乙两套设备的选择有关参考公式及数据：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，其中nabcd 20P Kk0.1000.0500.0100.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.82818（12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsincoscoscoscossinBCBABAC.（1）求sinA；（2）若点D在边BC上，2BDDC，2cb，2AD，求ABC的面积.19（12 分）如图，平面ABCD平面ABS，四边形ABCD为矩形，ABS为正三角形，42SABC，O为AB的中点 （1）证明：平面SOC 平面BDS；（2）求二面角OSCD的正弦值20（12 分）已知斜率为3的直线l与抛物线2:4C yx相交于,P Q两点（1）求线段PQ中点纵坐标的值；（2）已知点(3,0)T，直线,TP TQ分别与抛物线相交于,M N两点（异于,P Q）求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标21（12 分）已知函数 1elnlnxf xxaa.（1）当1ea 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（2）若 10fx ，求实数a的取值范围.22（10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,1 sin,xy（参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2 3cos，其中0,2.（1）求曲线1C与曲线2C的交点的极坐标；（2）直线:R6l与曲线1C，2C分别交于M，N两点（异于极点O），P为2C上的动点，求PMN面积的最大值.23（10 分）已知 11f xxax.（1）当=1a时，求不等式 1f x 的解集；学科网（北京）股份有限公司5（2）若0,1x时不等式 f xx成立，求a的取值范围。学科网（北京）股份有限公司1理科数学参考答案理科数学参考答案1C2A3D4B5B6B7C8D9D10B【详解】以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，因为圆 O 是边长为2 3的等边三角形 ABC 的内切圆，所以3,1ADOD，即内切圆的圆心为()0,1O，半径为 1，可设cos,1 sinM，又3,0,3,0,0,3,0,0BCAD，cos3,1 sinBM，3,3,3,0BDBA ，cos3,1 sin33,3xBMyx，故得到cos333,sin31xyx，1 sin3cossin2333xy，cossin4242sin2333333xy，当2,Z32kk时等号成立，即2xy的最大值为 2.学科网（北京）股份有限公司2故选：B.11A【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点 B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点 A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为 C，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由,|2OFBC OFOB，得|2,45acBFFBC，|2,|2 2ABa BC，在ABC中，60BAC，则75ACBo，232162sin75sin(4530)22224，由正弦定理得，22 2sin75sin60a，解得622141332a，则113c ，所以该椭圆的离心率312331cea.故选：A12A【详解】由 2=fxf x知函数 f x的图象关于直线1x 对称，2=fxf x，f x是 R 上的奇函数，2fxf xf x，4f xf x，学科网（北京）股份有限公司3 f x的周期为 4，考虑 f x的一个周期，例如1,3，由 f x在0,1上是减函数知 f x在1,2上是增函数，f x在1,0上是减函数，f x在2,3上是增函数，对于奇函数 f x有 00f，22200fff，故当0,1x时，00f xf，当1,2x时，20f xf，当1,0 x 时，00f xf，当2,3x时，20f xf，方程 1f x 在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为 f x在0,1上是单调函数，则由于 2=fxf x，故方程 1f x 在1,2上有唯一实数，在1,0和2,3上 0f x，则方程 1f x 在1,0和2,3上没有实数根，从而方程 1f x 在一个周期内有且仅有两个实数根，当1 3,x，方程 1f x 的两实数根之和为22xx，当1,11x，方程 1f x 的所有 6 个实数根之和为244282828282830 xxxxxx .故选：A.1315148154 515学科网（北京）股份有限公司416【详解】对于，设ACBDO，若BD平面 PAC，PO平面 PAC，所以BDPO.因为菱形 ABCD 的边长为 2，=60B，所以ABC是等边三角形，所以BOAC,即POAC.因为ACBDO,AC BD 平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为OD 平面ABCD，所以POOD.又3POBODO，所以226PDPODO,故错误.对于，由可得当6PD 时，PO平面ACD,设I为三棱锥PACD的外接球球心，2I为等边ACD的重心，过I作1IIPO,垂足为1I，因为3PODO，所以2133III O,222 3333I D,所以三棱锥PACD的外接球半径为2232 315333RID,所以三棱锥PACD的外接球体积为33441520 1533327R，故正确.对于，设P在ACD的投影为Q，因为PAPC，所以Q在OD所在的直线上.学科网（北京）股份有限公司5又23234ACDS，所以1133332P ACDACDVSPQPQ，解得32PQ.因为二面角PACD可能为锐角或钝角，（i）当二面角PACD为钝角时，所以2293342OQOPPQ,33 3322QDQODO，所以222233 3322PDPQQD.（ii）当二面角PACD为锐角时，因为3OPOD,32PQ，所以在OPQ中，由余弦定理可得22229314cos222 3OQOPOQPQPOQOP OQOQ,即23304OQOQ，即2302OQ,解得32OQ.所以Q是OD的中点，所以32QDOQ,所以222233322PDPQQD.综上，3PD 或 3，故正确.对于，若 M，N 分别为 AC，PD 的中点，由中位线定理可得/MN PB,学科网（北京）股份有限公司6因为MN平面PAB,PB平面PAB,所以/MN平面PAB，故正确.故答案为:.17【详解】（1）如下表所示：甲设备乙设备合计合格品7090160不合格品301040合计100100200（2）因为22200(70 1090 30)12.510.828160 40 100 100K，所以有99.9%的把握认为该工厂生产的这种电子元件是否合格与甲、乙两套设备的选择有关18(1)32(2)9 32【详解】（1）由题意得22222sinsinsincoscossinsinBCCBAAB，所以222bcabc，故2221cos22bcaAbc 因为0A，3sin2A.（2）设CDx，则2BDx，学科网（北京）股份有限公司7在ADB中，有2222244cos28ADBDABxcADBADBDx.在ADC中，有222224cos24ADCDACxbADCAD CDx.又ADBADC，所以coscosADBADC，所以有2226212cxb.又2cb，所以222bx.在ABC中，由余弦定理可得2222cosabcbcA.又3ax，2cb，23A，所以有22222194472xbbbb.联立2222297bxxb，解得 73xb，所以26cb，所以1139 3sin3 62222ABCSbcA .19(1)证明见解析(2)2 55【详解】（1）证明：设 BD 与 OC 相交于点M，因为ABS为正三角形，所以2SASBABBC，又O为 AB 的中点，则SOAB因为平面ABCD平面 ABS，SO 平面 ABS，平面ABCD平面ABSAB，SOAB，所以SO 平面 ABCD，又BD平面ABCD，则SOBD因为四边形 ABCD 为矩形，2ABBC，在Rt BOC中，2tan2BOBCOBC，在Rt BAD中，2tan2ADDBAAB，所以tantanBCODBA，所以BCODBA，学科网（北京）股份有限公司8又90CBACBDDBA，则90CBDBCO，即90BMC，所以BDOC，又BDSO，SOOCO，,OC SO 平面SOC，所以BD平面 SOC，又BD平面 BDS，所以平面SOC 平面 BDS（2）解：因为四边形 ABCD 为矩形，所以ADAB，又平面ABCD平面 SAB，平面ABCD平面SAB=AB，AD 平面 ABCD，所以AD 平面 SAB以O为坐标原点，过点O作平行于 AD 的直线为z轴，以 OB 和 OS 所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 设2AB，则(0,3,0)S，(1,0,2)C，(1,0,2)D，(1,0,0)A，(1,0,0)B，(2,0,0)DC，(1,3,2)SD ，(2,0,2)BD ，设平面 SCD 的一个法向量为111,mx y z，则00m DCm SD，即1112032xyz，令12y，则(0,2,3)m 由（1）可知，BD平面 SOC，所以BD 是平面 SOC 的一个法向量因为6|5cos,556m BDm BDm BD ，所以二面角OSCD的正弦值为2 5520(1)2 33学科网（北京）股份有限公司9(2)证明见解析，定点的坐标为(0,3)【详解】（1）设1122,P x yQ xy，其中12xx，由21122244yxyx，得22121244yyxx，化简得1212124yyxxyy，1243yy，即122 323yy，线段PQ中点纵坐标的值为2 33；（2）证明：设222231241234,4444yyyyPyQyMyNy，13223113444PMyykyyyy，直线PM的方程为2111344yyyxyy，化简可得131340yyyxy y，(3,0)T在直线PM上，解得134 3y y ，同理，可得244 3y y ，341234344434 34 33PQy ykyyyyyy，34343y yyy，又直线MN的方程为343440yyyxy y，即34(3)40yyyx，直线MN恒过定点(0,3)21(1)3e120 xy；(2)20,e.【详解】（1）当1ea 时，2eln1xf xx,则 21exfxx，学科网（北京）股份有限公司10所以 31e1f，即在点 1,1f处的切线斜率为3e1k.而 31e1f，所以切点坐标为31,e1，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 33e1e11yx，即3e120 xy.（2）因为 1eln10ln1xxf xaa，所以eelnexaxa，即elneexaax，即lneelnelneeeaxxaaaxxxx.令 e0 xg xxx，则 lneag xgx.1 e0 xgxx，所以 g x在0,上单调递增，所以lneaxx恒成立，即ln1 lnxax，即lnln1axx恒成立.令 ln10h xxxx，则 111xh xxx，令 0h x，解得1x，令 0h x，解得01x,所以 h x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 12h xh.因为lnln1axx恒成立，所以ln2a，解得20ea.所以实数 a 的取值范围是20,e.22(1)(0 0)，和3,3(2)3 32【详解】（1）1C的参数方程为cos1 sinxy，（为参数），消去可得，学科网（北京）股份有限公司1122(1)1yx，所以曲线1C的直角坐标方程为2220 xyy.将cosx，siny代入得，曲线1C的极坐标方程为2sin，2C的极坐标方程为2 3cos，联立可得tan3，0,2，又因为两个曲线都经过极点，所以曲线1C和曲线2C的交点极坐标为(0 0)，和3,3.（2）当6时，2sin16M，2 3cos36N，|2|MNMN.显然当点 P 到直线 MN 的距离最大时，PMN 的面积最大，直线 MN 的方程为33yx，圆心2C到直线 MN 的距离为32，所以点 P 到直线 MN 的最大距离3 33232d，所以113 33 3|22222PMNSMNd.23（1）12x x；（2）0,2【详解】（1）方法一：【通性通法】零点分段法方法一：【通性通法】零点分段法当=1a时，11f xxx，即 2,1=2,1 1x 或1 1xx或121x，解得：12x 故不等式 1f x 的解集为12x x方法二：【最优解】数形结合法方法二：【最优解】数形结合法如图，当=1a时，不等式()1f x 即为|1|1|1xx学科网（北京）股份有限公司12由绝对值的几何意义可知，|1|1|xx表示 x 轴上的点到1对应的点的距离减去到 1对应点的距离结合数轴可知，当1=2x时，|1|1|1xx，当12x 时，|1|1|1xx故不等式()1f x 的解集为1,2（2）方法一：【通性通法】分类讨论方法一：【通性通法】分类讨论当0,1x时，11xaxx 成立等价于当0,1x时，11ax成立若0a，则当0,1x时，111axax；若0a，由11ax得，111ax ，解得：20 xa，所以21a，故02a综上，a的取值范围为0,2方法二：平方法方法二：平方法当(0,1)x时，不等式|1|1|xaxx成立，等价于(0,1)x时，11ax成立，即2211ax成立，整理得(2)0ax ax 当=0a时，不等式不成立；当0a 时，(2)0ax ax，不等式解集为空集；当0a 时，原不等式等价于220a x xa，解得20 xa由021aa，解得02a故 a 的取值范围为(0,2方法三：【最优解】分离参数法方法三：【最优解】分离参数法当(0,1)x时，不等式|1|1|xaxx成立，等价于(0,1)x时，|1|1ax 成立，即111ax ，解得：20ax，而22x，所以02a故 a 的取值范围为(0,2
