高中考试数学特训练习含答案——函数模型及其应用.docx
课时规范练 13 数学建模函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗 1 L 汽油,乙车最多可行驶 5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 小时,消耗 10 L 汽油D.某城市机动车最高限速 80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100 台C.150 台B.120 台D.180 台3.某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房.当每套房月租金定为 3 000 元时,这 70 套公寓能全租出去;当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )A.3 000 元C.3 500 元B.3 300 元D.4 000 元4.一个人以 6 米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿,汽车开始12变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间 t 内的路程为 s= t2 米,那么,此人( )A.可在 7 秒内追上汽车B.可在 9 秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为 14 米D.不能追上汽车,但期间最近距离为 7 米5.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正数).公司决定从原有员工中分流 x(0<x<100,xN*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )A.15B.16C.17D.18 6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质13含量减少 ,至少应过滤 次才能达到市场要求.(已知 lg 20.301 0,lg 30.477 1)7.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt cm3,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:g)与时间 t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数解析式 y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于 0.25 g 时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4 m 和 a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用 16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数 u=f(a)(单位:m2)的图像大致是( ) 10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2018 年全年投入科研经费 1 300 万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长 12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过 200 万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)( )0A.2020 年C.2022 年B.2021 年D.2023 年11.如图,直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC,以 2 cm/s 的速度沿直线 l 向右运动,则该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y(单位:cm2)与时间 t(单位:s)的函数关系(设 0t3)为 ,y 的最大值为 .12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:f(x)=p·qx;f(x)=px2+qx+1;f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中 p,q 均为常数,且 q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若 f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数 f(x)的解析式(注:函数定义域是0,5,其中 x=0 表示 8 月 1 日,x=1 表示 9 月 1 日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级 Y(单位:分贝)由公式 Y=10lg给出,其中 I 为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为 10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝,求能听到的最低声强为多少? (3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y50 分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为 5×10-7W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L,故乙车消耗 1 L 汽油的行驶路程可大于 5 km,所以选项 A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项 B 错误;甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L,故行驶 1 小时的路程为 80km,消耗 8 L 汽油,所以选项 C 错误;当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项 D 正确.2.C 设利润为 f(x)万元,则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,xN*).令 f(x)0,得x150,故生产者不亏本时的最低产量是 150 台.故选 C.3.B 由题意,设利润为 y 元,租金定为(3 000+50x)元(0x70,xN),则 y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-58 + + 70- x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)502=204 800,当且仅当 58+x=70-x,即 x=6 时,2等号成立,故每月租金定为 3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选 B.1212124.D 已知 s= t2,车与人的间距 d=(s+25)-6t= t2-6t+25= (t-6)2+7.当 t=6 时,d 取得最小值 7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为 7 米,故选 D.B 由题意,分流前每年创造的产值为 100t 万元,分流 x 人后,每年创造的产值为(100-x)1+(1.2x)%t,< < 100,50N*,( . )% 100,则(1 - )00 1 + 1 2解得 0<x 0.53 因为 xN*,所以 x 的最大值为 16,故选 B.132312067.8 设至少过滤 n 次才能达到市场要求,则 2% 1- n0.1%,即n ,23所以 nlg -1-lg 2,解得 n7.39,所以 n=8.11.16 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae-8b= a,所以 e-8b= ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即2211y=ae-bt= a,e-bt= =(e-8b)3=e-24b,则 t=24,所以再经过 24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之88一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设 y=, 0 112.当 t=1 时,由 y=4,得 k=4,由1-a=4,得 a=3.则 y=1() -, > 12,4( 0 11) -3, > 1.2, > 104 1, 0.25116(2)由 y0.25,得或解得 t5.1() -3 0.25,2167916因此服药一次后治疗有效的时间为 5-1=(h).9.B 设 AD 的长为 x m,则 CD 的长为(16-x) m,则矩形 ABCD 的面积为 x(16-x) m2.因为要将点 P 围在矩形 ABCD 内,所以 ax12.当 0<a8 时,当且仅当 x=8 时,u=64;当 8<a<12 时,u=a(16-a).画出函数图像可得其形状与 B 选项接近,故选 B.10.C 若 2019 年是第 1 年,则第 n 年全年投入的科研经费为 1 300×1.12n 万元,由 1 300×1.12n>2 000,可得 lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以 n×0.05>0.19,得 n>3.8,所以第 4 年,即 2022 年全年投入的科研经费开始超过 2 000 万元,故选 C.22,0 < 1,1211.y= 2 1 2 2 如题图,当 0t<1 时,重叠部分面积 y= × 2t×2t=2t2;122-(- )2,2 4 2 < 312当 1t2 时,重叠部分为直角三角形 ABC,重叠部分面积 y= × 2×2=2(cm2);1212当 2<t3 时,重叠部分为梯形,重叠部分面积 y=SABC- (2t-4)2=2- (2t-4)2=-2t2+8t-6.22,0 < 1,综上,y= 2,1 2,-2 - , + 8 6 2 < 32,故可得 y 的最大值为 2.2.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数 f(x)=x(x-q)2+p.1 (2)对于 f(x)=x(x-q)2+p,由 f(0)=4,f(2)=6,可得 p=4,(2-q)2=1,又 q>1,所以 q=3,所以 f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5).(3)因为 f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5),所以 f'(x)=3x2-12x+9,令 f'(x)<0,得 1<x<3.所以函数 f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在 9 月,10 月两个月内价格下跌.10-610-1213.解 (1)当声强为 10-6 W/m2 时,由公式 Y=10lg,得 Y=10lg=0.=10lg 106=60(分贝).10-12(2)当 Y=0 时,由公式 Y=10lg,得 10lg10-1210-12所以1=1,即 I=10-12 W/m2,则最低声强为 10-12 W/m2.0-125× 10-0-127(3)当声强为 5×10-7 W/m2 时,声强级为 Y=10lg=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),1因为 50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.
