高中考试数学特训练习含答案——二次函数与一元二次方程、不等式.docx
课时规范练 4 二次函数与一元二次方程、不等式基础巩固组1.(2020 北京人大附中二模,1)已知集合 M=x|-4<x<2,N=x|x2-x-6<0,则 MN=( )A.x|-4<x<3C.x|-2<x<2B.x|-4<x<-2D.x|2<x<32.二次函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x-1)>0 的解集为( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(-1,2D.(-,0)(3,+)3.(2020 广东盐田二模,6)关于 x 的方程 ax2+(1-a)x-1=0,下列结论正确的是( )A.当 a=0 时,方程无实数根B.当 a=-1 时,方程只有一个实数根C.当 a=1 时,方程有两个不相等的实数根D.当 a0 时,方程有两个相等的实数根4.(2020 福建三明模拟,理 7)已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点中至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值范围是( )A.0,1B.(0,1)C.(-,1)D.(-,15.(多选)(2020 山东淄博十中期末,3)若 x2-x-2<0 是-2<x<a 的充分不必要条件,则实数 a 的值可以是( )A.1B.2C.3D.46.(多选)(2020 海南高三模拟,6)关于 x 的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有( )A.存在实数 k,使得方程无实数根B.存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实数根C.存在实数 k,使得方程恰有 3 个不同的实数根D.存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实数根7.(多选)已知函数 f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是( )A.函数 f(x)的最小值为-4B.函数 f(x)在(0,+)上单调递增C.函数 f(|x|)为偶函数 D.若方程 f(|x-1|)=a 在 R 上有 4 个不等实根 x ,x ,x ,x ,则 x +x +x +x =412341234328.(2020 河北唐山模拟,理 14)已知二次函数 y=f(x)的顶点坐标为 - ,49 ,且方程 f(x)=0 的两个实根之差等于 7,则此二次函数的解析式是 .9.若二次函数 f(x)=ax2-x+b(a0)的最小值为 0,则 a+4b 的取值范围是 .综合提升组10.若函数 f(x)=x2+a|x|+2,xR 在区间3,+)和-2,-1上均单调递增,则实数 a 的取值范围是( )A. -11,-3B.-6,-4D.-4,-33C.-3,-2 211.已知在(-,1上单调递减的函数 f(x)=x2-2tx+1,且对任意的 x ,x 0,t+1,总有|f(x )-f(x )|2,则实数1212t 的取值范围是 .12.设函数 f(x)=x2-ax+b.(1)若不等式 f(x)<0 的解集是x|2<x<3,求不等式 bx2-ax+1>0 的解集;(2)当 b=3-a 时,对任意的 x(-1,0都有 f(x)0 成立,求实数 a 的取值范围.创新应用组13.阅读下列材料,32 + 2求函数 y=的最大值.2 + + 0.25143434解 将原函数转化成关于 x 的方程,得(y-3)x2+(y-2)x+ y=0,当 y=3 时,方程化为 x+ =0,解得 x=- ;当14y3 时,方程为一元二次方程,因为 x 为实数,所以 =(y-2)2-4(y-3)× y=-y+40,所以 y4,且 y3.综上可得,y 的取值范围是(-,4,所以 y 的最大值为 4.根据材料给你的启示,求函数 y=32 + + 22 + 2 + 1的最小值.14.已知两函数 f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中 k 为实数. (1)对任意 x-3,3,都有 f(x)g(x)成立,求 k 的取值范围;(2)存在 x-3,3,使 f(x)g(x)成立,求 k 的取值范围;(3)对任意 x ,x -3,3,都有 f(x )g(x ),求 k 的取值范围.1212参考答案课时规范练 4二次函数与一元二次方程、不等式12.C由题意 M=x|-4<x<2,N=x|-2<x<3,则 MN=x|-2<x<2.故选 C.B根据 f(x)的图像可得 f(x)>0 的解集为x|-1<x<2,而 f(x-1)的图像是由 f(x)的图像向右平移一个单位长度得到的,故 f(x-1)>0 的解集为(0,3).故选 B.C当 a=0 时,方程为 x-1=0,即 x=1,故选项 A 错误;当 a=-1 时,方程变为-x2+2x-1=0,因为 =4-4=0,3所以方程有两个相等的实数根,故选项 B 错误;当 a=1 时,方程变为 x2-1=0,得 x=±1,故选项 C 正确;当a0 时,=(1-a)2+4a=(1+a)20,所以方程有两个实数根,故选项 D 错误,所以选 C.134.D当 m=0,令 f(x)=0 得,-3x+1=0,得 x= ,符合题意;当 m>0 时,由 f(0)=1 可知,若满足题意,则需( - )2- 4 0, 3- 3得 0<m1;当 m<0 时,由 f(0)=1 可知,函数 f(x)的图像恒与 x 轴的正半轴有一个交点.-0,>2综上可知,m 的取值范围是(-,1.故选 D.56.BCD由 x2-x-2<0 得-1<x<2,由 x2-x-2<0 是-2<x<a 的充分不必要条件,则 a2.故选 BCD.AB设 t=x2-2x,方程化为关于 t 的二次方程 t2+2t+k=0(*).当 k>1 时,方程(*)无实数根,故原方程无实数根.当 k=1 时,可得 t=-1,则 x2-2x=-1,原方程有两个相等的实数根 x=1.当 k<1 时,方程(*)有两个实数根 t ,t (t <t ),由 t +t =-2 可知,t <-1,t >-1.因为 t=x2-2x=(x-1)2-1-1,所以 x2-2x=t 无实数根,x2-2x=t1212121212有两个不相等的实数根.综上可知 A,B 选项正确,C,D 选项错误.故选 AB. 更多高中备考资料，到公众号【广东小师姐升学日记】获取7.ACDf(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值为-4,所以选项 A 正确;f(x)的对称轴为 x=1,单调递增区间为(1,+),所以选项 B 不正确;令 g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),所以 g(x)为偶函数,所以选项C 正确;令 h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,f(|x-1|)=a 零点转化为 y=h(x)与 y=a 的交点,做出 h(x)图像如下图所示:图像关于 x=1 对称,当 y=h(x)与 y=a 有四个交点时,两两分别关于 x=1 对称,所以 x +x +x +x =4,1234所以选项 D 正确.故选 ACD.32328.f(x)=-4x2-12x+40设 f(x)=a x+ 2+49(a0),方程 a x+ 2+49=0 的两个实根分别为 x ,x ,则129449x +x =-3,x x = + ,则|x -x |= ( + )2- 4 =2 49=7,得 a=-4,所以 f(x)=-4x2-12x+40.1212121212-9.2,+)由函数 f(x)的最小值为 0,得 a>0,且 =1-4ab=0,即 4ab=1,且 b>0.故 a+4b2 4=2,当且14仅当 a=1,b= 时等号成立.所以 a+4b 的取值范围是2,+).10.B由于函数 y=f(x)为 R 上的偶函数,因此只需考虑函数 y=f(x)在(0,+)上的单调性即可.由于函数y=f(x)在区间3,+)和-2,-1上均单调递增,所以函数 y=f(x)在区间1,2上单调递减,在区间3,+)上单2调递增,所以 2- 3,解得-6a-4,因此,实数 a 的取值范围是-6,-4,故选 B.11.1, 2由于 f(x)=x2-2tx+1 的图像的对称轴为 x=t,又 y=f(x)在区间(-,1上单调递减,所以 t1.则在区间0,t+1上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的 x ,x 0,t+1,都有|f(x )-f(x )|2,只需 1-(-t2+1)2,解得- 2 t 2.1212又 t1,故 t 的取值范围为1, 2.2.解 (1)因为不等式 x2-ax+b<0 的解集是x|2<x<3,所以 x=2,x=3 是方程 x2-ax+b=0 的解.122+ 3 = , = 5,× 3 = , = 6,所以即故不等式 bx2-ax+1>0 为 6x2-5x+1>0.|1312解不等式 6x2-5x+1>0,得其解集为 x < ,或 >.(2)当 b=3-a 时,f(x)0 在区间(-1,0上恒成立转化为 x2-ax+3-a0 在区间(-1,0上恒成立,即2 + 3 + 12 + 3 + 1a(x+1)x2+3 在区间(-1,0上恒成立,等价于 a ,则 amin.2 + 3 + 1(- 1)2 + 34设 t=x+1,t(0,1,设 u=,则 u=t+ -2,由对勾函数的单调性知当 t(0,1时,u 关于 t 单调递减,4所以 t+ -2 min=1+4-2=3,即实数 a 的取值范围为(-,3. 更多高中备考资料，到公众号【广东小师姐升学日记】获取13.解 函数 y=32 + + 22 + 2 + 1,将原函数转化成关于 x 的方程,得(y-3)x2+(2y-1)x+y-2=0.当 y=3 时,方程化为 5x+1=0,1得 x=- ;5当 y3 时,方程为一元二次方程,因为 x 为实数,所以 =(2y-1)2-4(y-3)(y-2)=16y-230,2136所以 y ,且 y3.21362316综上所述,y 的取值范围是,+ ,即 y 的最小值为.14.解 (1)设 h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为 x-3,3时,h(x)0 恒成立,故 h(x)max0.由二次函数的性质可知 h(x)max=h(3)=86-k,有 86-k0,得 k86,即 k 的取值范围是86,+).(2)由题意,存在 x-3,3,使 f(x)g(x)成立,即 h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k0 在 x-3,3时有解,故h(x)min0.由二次函数的性质可知 h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k0,得 k-10,即 k 的取值范围是-10,+).(3)对任意 x ,x -3,3,都有 f(x )g(x )成立,所以 f(x)maxg(x)min,x-3,3.由二次函数的性质可得1212f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.故有 120-k2,得 k118,即 k 的取值范围是118,+).
