湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高三11月联考数学试题含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司2024 届高三届高三 11 月质量检测试题数学月质量检测试题数学本试卷共本试卷共 4 页。全卷满分页。全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。注意事项：分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合234AxxxZ，1,2,5B ，则AB中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.72.已知i是虚数单位，则复数12i1i的虚部是（）A.12B.12C.32D.323.设 a，b 是空间两条不同直线，则“a 与 b 无公共点”是“a 与 b 是异面直线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数 lneexxxf x的图象大致为（）A.B.C.D.5.已知向量a，b满足22a ba ，且1,1a ，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.2,2B.2,2C.1,1D.1,16.如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底 A 到峰顶S的距离为4km，B 是山坡SA的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从 A 到 B 的环山观光公路，当公路长度最短湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高三11月联考数学试题学科网（北京）股份有限公司时，公路距山顶的最近距离为（）A.2kmB.3kmC.2 5kmD.4 5km57.已知函数 f x满足 11f，对任意实数 x，y 都有 f x fyf xyf xy成立，则 20231mf m（）A.2B.1C.2D.18.已知0，函数 sinf xx与 cosg xx的图象在,2上最多有两个公共点，则的取值范围为（）A.15 170,44 8B.59 170,44 8C.179 210,848D.179 50,84 2二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.若 a，bR，则下列命题正确的是（）A.若0ab 且ab，则11abB.若ab，则33abC.若0ab，则11bbaaD.若a ab b，则ab10.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系ekx by（e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数）.若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 14的保鲜时间是 48 小时，则下列说法正确的是（）参考数据：52.8172，62.7387A.5,6bB.若该食品储藏温度是 21，则它的保鲜时间是 16 小时学科网（北京）股份有限公司C.0k D.若该食品保鲜时间超过 96 小时，则它的储藏温度不高于 711.欧拉函数*nnN的函数值等于所有不超过正整数 n，且与 n 互质的正整数的个数（公约数只有 1的两个正整数称为互质整数），例如：32，42，则（）A.468B.当 n 为奇数时，1nnC.数列2n为等比数列D.数列 23nn的前 n 项和小于3212.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，P 是正方体表面上一动点，且1PAPA，记点 P 形成的轨迹为，则下列结论正确的是（）A.P，1Q，1PQAAB.P，2Q，1PQAAC.1的长度是 8D.2的长度是8393三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若23a，410S，则5a _.14.写出与圆22121xy和圆22121xy都相切的一条直线的方程_.15.已知关于 x 的不等式2log2xax恰有一个整数解，则实数 a 的取值范围是_.16.已知函数 12,0,212 1,1,2xxf xxx则方程 ff xx的解的个数是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知函数 sin 2f xx和 cos 21 0g xx在6x处有相同的导数.（1）求；（2）设1x是 f x的极大值点，2x是 g x的极小值点，求12f xx的值.18.（本小题满分 12 分）如图，在斜四棱柱1111ABCDABC D中，底面正方形ABCD的中心是 O，且1AO 平面ABCD.学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面11CB D 平面1111ABC D；（2）若该四棱柱的所有棱长均为 1，求二面角111ABCD的余弦值.19.（本小题满分 12 分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图 1 是该公司 2013 年至2022 年的年份代码 x 和年研发投入 y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码 110 分别对应年份20132022.图 1 图 2根据散点图，分别用模型ybxa，ycdx作为年研发投入 y（单位：亿元）关于年份代码 x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图 2 所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：yt1021iixx1021iitt101iiiyyxx101iiiyytt752.2582.54.512028.35表中iitx，101110iitt.（1）根据残差图，判断模型和模型哪一个更适宜作为年研发投入 y（单位：亿元）关于年份代码 x 的经验回归方程模型?并说明理由；（2）（i）根据（1）中所选模型，求出 y 关于 x 的经验回归方程；（ii）设该科技公司的年利润L（单位：亿元）和年研发投入 y（单位：亿元）满足111.225Lyx（xN且1,20 x），问该科技公司哪一年的年利润最大?附：对于一组数据11,x y，22,xy，,nnxy，其经验回归直线yabx的斜率和截距的最小二乘学科网（北京）股份有限公司估计分别为121niiiniixxyybxx，abyx.20.（本小题满分 12 分）在数列 na中，已知0na，11a，221110nnnnnaaana.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足1111nnnbaa，求12399bbbb的值；（3）若数列 nc满足11nnnca，求证：12112nccc.21.（本小题满分 12 分）在ABC中，CD为AB边上的高，已知ACBCABCD.（1）若2ABCD，求tan2C的值；（2）若ABkCD，0k，求tanC的最小值及tanC取最小值时 k 的值.22.（本小题满分 12 分）已知函数 1 lnf xkxxkx.（1）若函数 f x在0,上单调递增，求实数k的取值范围；（2）讨论函数 f x的零点个数.2024 届高三届高三 11 月质量检测月质量检测数学数学参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为2341403,2,1,0Axxxxxx ZZ，1,2,5B ，所以3,2,1,0,2,5AB ，有 6 个元素，故选 C.2.【答案】A【解析】12i1i12i3i31i1i1i1i222，所以复数12i1i的虚部为12，故选 A.学科网（北京）股份有限公司3.【答案】B【解析】当 a 与 b 无公共点时，a 与 b 可能平行或异面，反之，当 a 与 b 是异面直线时，a 与 b 无公共点，故选 B.4.【答案】B【解析】因为函数 f x的定义域为0 x x，又 f xfx，函数 f x为偶函数.故选 B.5.【答案】A【解析】由1,1a ，得2a.又22a ba ，所以4a b，所以向量b在向量a上的投影向量为2,2a baaa ，故选 A.6.【答案】D【解析】以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.则从点 A 到点 B 的最短路径为线段A B，2A A，242A SA.过 S 作SPA B，则公路距山顶的最近距离为SP，因为22422 5A B，所以84 552 5SA SASPAA，故选 D.7.【答案】D【解析】因为 f xyf xyf x fy且 11f，令1y，得 11f xf xf x，则 21f xf xf x，所以210f xf x，即 30f xf x，所以 3f xf x，所以 63f xf xf x，故函数 f x是周期为 6 的周期函数.令1x，0y，得 1110ffff，则 02f；令1x，1y，得 2011ffff，则 21f.由 3f xf x，得 302ff ，411ff ，521ff，632ff，所以 1234560ffffff，又20236 3371，故由函数的周期性知，学科网（北京）股份有限公司 2023112320222023202311mf mfffffff，故选 D.8.【答案】C【解析】设 sincos2sin4h xf xg xxxx.因为 h x在,2上最多有两个零点，故3 222，所以03.由,2x得,2444x.（1）由0,4224得104；（2）由0,4234得1544；（3）由2,4244得51748；（4）由23,4254得92148；（5）由34,4264得此时不等式组无实数解.综上可得179 210,848，故选 C.9.【答案】BD【解析】对选项 A，取1a ，1b，满足0ab 且ab，则11ab，错误；对选项 B，因为函数3yx单调递增，当ab时，33ab，正确；对选项 C，0ab，要使11bbaa，即abaabb，即ab，错误；对选项 D，因为函数22,0,0 xxyx xxx单调递增，当a ab b，则ab，正确.故选 BD.10.【答案】ACD【解析】在函数ekx by中，当0 x 时，e192b，由52.8172，62.7387知，5,6b，故 A 正确；学科网（北京）股份有限公司当14x 时，14e48k b，所以14481e1924k，则71e2k，当21x 时，332171eee192242k bkb，故 B 不正确；由71e2k，得11ln072k，故 C 正确；由96y，得7196ee1922xkxb，所以7x，故 D 正确.故选 ACD.11.【答案】ACD【解析】对于 A，因为 42，62，84，所以 468，故 A 正确；对于 B，由于 968，故 B 错误；对于 C，因为小于2n的所有正奇数与2n均互质，且小于2n的所有正奇数有12n个，所以122nn，因此数列2n为等比数列，故 C 正确；对于 D，同理 132 3nn，所以 11122122 3233nnnnn，令11223nna，则122113322213nnnSaaa，故 D 正确，故选 ACD.12.【答案】ACD【解析】1是正方体1111ABCDABC D的棱1AA的中垂面与四个侧面的交线，它是一个边长为 2 的正方形，它的周长是 8，且P，1Q，1PQAA，所以 A，C 正确；2在正方体两侧面11AAB B、11AAD D和上底面1111ABC D都是一段圆弧，它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面11AAB B和11AAD D沿1AA展开为平面图，建立平面直角坐标系如图，设动点,P x y，因为12PAPA，学科网（北京）股份有限公司所以222224xyxy，化简得2221639xy，故动点 P 在两侧面内轨迹是以20,3O为圆心，以43为半径的圆弧，因为1213cos423AOM，所以13AOM，所以23MON，所以在两侧面内P点轨迹长度为248339.在上底面1111ABC D内，动点 P 轨迹为以1A为圆心的一段圆弧，如上图，由12PAPA，可知11sin2PAA，故16PAA，又12AA，所以112 3tan63PAAA，即圆弧所在圆的半径为2 33，所以圆弧的长为2 33233，所以动点 P 形成的轨迹的长度为8393，且2不存在这样的点 P，Q，使1PQAA，所以 D 正确，B 错误.故选 ACD.13.【答案】0【解析】设数列 na的公差为 d，由已知有13ad，14610ad，所以14a，1d ，所以50a.14.【答案】0 x 或430yx或250 xy（答案不唯一）【解析】由题设知，圆22121xy的圆心为1,2M，半径为11r，圆22121xy的圆心为1,2N ，半径为21r，所以2212221 12 52MNrr，即两圆外离，故共有 4 条公切线.又 M，N 关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与MN平行的两条公切线.设过原点的公切线为xty，则222113401tttt，可得0t 或43，所以公切线为0 x 或学科网（北京）股份有限公司430yx；设与MN平行的公切线为2yxb，且 M，N 与公切线距离都为 1，则141b，即5b ，所以公切线为250 xy.15.【答案】12,2【解析】设函数 2logf xx，2g xax，则 g x过定点0,2，在同一个坐标系中作出两个函数的图象.由题意得 11,22,fgfg得122a ，故所求实数 a 的取值范围是12,2.16.【答案】4【解析】依题意可得，14,0,4112 12,42132 21,2434 1,1.4xxxxff xxxxx，当104x时，由 ff xx得0 x；当1142x时，由 ff xx得25x；当1324x时，由 ff xx得23x；当314x时，由 ff xx得45x.综上可得，方程 ff xx有 4 个实数根.17.【解析】（1）由题设知 2cos 2fxx，2sin 2gxx.因为66fg，所以cossin33，即tan13.又0，4333，故334，得512.5 分（2）由题意得11522122xk，2252212xk，1k Z，2k Z.于是12124xxkk，所以12526sin 2sinsin21212464f xxk ，kZ，学科网（北京）股份有限公司故12f xx的值是264.10 分18.【解析】（1）连接11AC交11B D于1O，连接1CO.在平行四边形11A ACC中，由于O，1O分别是AC、11AC的中点，所以11AOOC.因为1AO 平面ABCD，平面1111ABC D 平面ABCD，所以1OC 平面1111ABC D.又因为1OC 平面11CB D，所以平面11CB D 平面1111ABC D.（2）法一：由于1AO 平面ABCD，所以1AOOB，1AOOC.又OBOC，故可以直线OB，OC，1OA分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图.由于斜四棱柱的棱长均为 1，所以120,0,2A，1220,22O，20,02C，1222,222B.所以1220,22AC，1122,022AB.8 分设,nx y z是平面11CAB的一个法向量，由1110,0,n ACn AB 得220,22220.22yzxy 令1x 得1,1,1n .又由（1）知，111AOOC，1111AOO B，所以11AO 平面11CB D.学科网（北京）股份有限公司即1120,02AO是平面11CB D的一个法向量.10 分设二面角111ABCD的平面角为，由图可知，0,2.所以1111232cos3232n AOnAO.故所求二面角111ABCD的余弦值为33.12 分法二：由（1）知，111AOOC，又1111AOBO，所以11AO 平面11CB D.过点1O作11O EBC于点E，连接1AE，则11AEBC.所以11AEO是二面角111ACBD的平面角.9 分因为该四棱柱的棱长为 1，所以1122AO.在11RtCO B中，122CO，1122O B，所以112O E.在11RtAO E中，1111122tan212AOAEOO E，则113cos3AEO.故所求二面角111ABCD的余弦值为33.12 分学科网（北京）股份有限公司19.【解析】（1）根据图 2 可知，模型的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型的残差波动性很小，基本分布在 0 的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型更适宜.3 分（2）（i）设tx，所以ycdt，所以101102128.356.34.5iiiiiyyttdtt，60.825 cydt，所以y关于x的经验回归方程为60.8256.3yx.8 分（ii）由题设可得111.225111.2256.360.8256.350.4Lyxxxxx，当50.442 6.3x，即16x 时，年利润 L 有最大值，故该公司 2028 年的年利润最大.12 分20.【解析】（1）由221110nnnnnaaana可得 1110nnnnaanana，因为0na，所以11nnnana，从而nna是以 1 为首项，1 为公比的等比数列，所以1nna，1nan.4 分（2）因为111nbnnnn，所以 123992132100999bbbb.8 分（3）因为11111112234212kk111111123421221kkk111111112345221kk.所以1221221112kkcccccc.学科网（北京）股份有限公司即12112nccc.12 分21.【解析】设 a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，CDh，则abch.（1）在ABC中，由余弦定理得2222222222cos112222abcabchcabchchCabababab.由11sin22abCch，得sinchabC，所以21cos21sin22ChchhCchc.因为2ABCD，所以2ch，于是1cos51sin24ChCc，而22sincossin422tan21cos52cos2CCCCCC.6 分（2）法一：由（1）知，112tan2hCc.如图，在ABC中，过 B 作AB的垂线EB，且使2EBh，则CECBa，则224abch，即2224chch，所以203hc.于是1413tan2C，即3tan142C.10 分令函数221xyx，0,1x，则21yxx在0,1上单调递增，所以2232tan22424tan731tan124CCC，此时32k.故所求tanC的最小值为247，此时 k 的值为32.12 分学科网（北京）股份有限公司法二：由111sin222SabCchc abc，得sinsinsinsinsinABCAB，即sinsinsinsinsinABABAB，化简得1cos1cos1sinsinABAB，即tantan122AB，因为tan02A，tan02B，所以2tantan1220tantan2224ABAB，于是13tan1tantan2224tan22CABAB.10 分以下同解法一12 分22.【解析】（1）由题意可知 1ln0fxk xx对0,x恒成立.当1x 时，显然成立；当0,1x时，1lnkx x；当1,x时，1lnkx x.令 lng xx x，则 ln1gxx，所以 g x在10,e上单调递减，在1,1e上单调递增，在1,上单调递增，故当0,1x时，ek；当1,x时，0k.综上，实数k的取值范围是0,e.5 分（2）法一：由（1）可知，当0k 时，lnf xx有一个零点；当0ek时，f x在0,上单调递增，当 x 趋于 0 时，f x趋于负无穷大，且 e1f，故 f x只有一个零点.7 分当ek 时，1lnfxk xx.令 1lnh xk xx，则 2211kkxh xxxx，fx在10,k上单调递减，在1,k上单调递增.11ln10fkkk.当 x 趋于 0 时，因为lnx x趋于 0，所以 ln1kx xfxx趋于正无穷大.又 110f ，所以存在12101xxk，使得120fxfx.所以 f x在10,x上单调递增，在12,x x上单调递减，在2,x 上单调递增，且当1x 时，0f x，e1f，所以当ek 时，f x在1,e只有一个零点.9 分学科网（北京）股份有限公司当0k 时，1lnfxk xx在0,上单调递减，110f ，且 x 趋于正无穷大时，0fx.所以存在01x，使得00fx，所以 f x在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减，又当 x 趋于 0时，f x趋于负无穷大，e1f.所以当12k 时，55e54 e0fk，当102k时，554ln50fkk.故当0k 时，无论 k 为何值，取55max,exk，总能有 0f x.所以当0k 时，f x有两个零点.11 分综上所述，当0k 时，f x有两个零点；当0k 时，f x有一个零点.12 分法二：e1f，故当0,ee,x时，lnlnxkx xx.令 lnlnxh xx xx，则 222213lnln1ln240lnlnxxxh xx xxx xx，所以 lnlnxh xx xx在0,e上单调递减，在e,上也单调递减，且当 x 大于 0 且趋于 0 时，h x趋于正无穷大，当 x 小于 e 且趋于 e 时，h x趋于负无穷大，当 x 大于 e 且趋于 e 时，h x趋于正无穷大，当x 趋于正无穷大时，h x趋于 0，其大致图象如图.由图可知，当0k 时，f x有两个零点；当0k 时，f x有一个零点.12 分