(3)--矢量分析电磁场与电磁波.ppt

矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析1.矢性函数矢性函数2.矢性函数的导数和微分矢性函数的导数和微分3.矢性函数的积分矢性函数的积分4.小结与习题小结与习题1 矢性函数矢性函数一、概念一、概念在在二二维维空空间间或或三三维维空空间间内内的的任任一一点点 ，它它是是一一个个既既存存在在大大小小(或或称称为为模模)又又有有方方向向特特性性的的量量，故故称称为为矢矢量量，用用 表表示示。若若用用几几何何图图形形表表示示，如如图图所所示示。矢矢量量一一旦旦被被赋赋予予物物理理单单位位，便便成成为为具具有有物物理理意意义义的的矢矢量量，如如电电场场强强度度 、磁磁场场强强度度 、速度、速度 等等。等等。若若某某一一矢矢量量的的模模和和方方向向都都保保持持不不变变，此此矢矢量量称称为为常常矢矢，如如某某物物体体所所受受到到的的重重力力。而而在在实实际际问问题题中中遇遇到到的的更更多多的的是是模模和和方方向向或或两两者者之之一一会会发发生生变变化化的的矢矢量量，这这种种矢矢量量我我们们称称为为变变矢矢，如如沿沿着着某一曲线物体运动的速度某一曲线物体运动的速度 等。等。设设 是是一一数数性性变变量量，为为变变矢矢，对对于于某某一一区区间间G Ga,a,b b内内的的每每一一个个数数值值 ,都都有有一一个个确确定定的的矢矢量量与与之之对对应应，则则称称 为为数数性性变变量量 的的矢性函数矢性函数。记为。记为 而而G G为为 的的定定义义域域。矢矢性性函函数数 在在直直角角坐坐标标系系中中的的三三个个坐坐标标分分量量都都是是变变量量 的的函函数数，分分别别为为 、，则矢性函数则矢性函数 也可用其坐标表示为也可用其坐标表示为 其中其中 、为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴正向单位矢量轴正向单位矢量模为：模为：的单位矢量为：的单位矢量为：二、矢端曲线二、矢端曲线终点终点 的矢径的矢径 的参数方程为的参数方程为:例例1 1 已知圆柱螺旋线的参数方程为已知圆柱螺旋线的参数方程为：求其矢量方程。求其矢量方程。解：解：例例2 2 已知摆线的参数方程为已知摆线的参数方程为：求其矢量方程。求其矢量方程。解：解：sita=0:0.1:10*pi;a=3;b=5;x=a.*cos(sita);y=a.*sin(sita);z=b.*sita;plot3(x,y,z,r-,LineWidth,2);sita=0:0.1:10*pi;a=3;x=a.*(sita-sin(sita);y=a.*(1-cos(sita);z=0.*sita;plot3(x,y,z)三、代数运算三、代数运算1.1.矢量的和差运算矢量的和差运算则则 设设2.2.矢量的标量积和矢量积矢量的标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义矢量的相乘有两种定义:标量积标量积(点乘点乘)和矢量积和矢量积(叉乘叉乘)。标量积标量积 是一个是一个标量标量,其大小等于两个矢量模值相乘其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角再乘以它们夹角ABAB(取小角取小角,即即ABAB)的余弦的余弦:它符合交换律它符合交换律:并有并有 因而得因而得 矢量积矢量积 是一个是一个矢量矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘其大小等于两个矢量的模值相乘,再再乘以它们夹角乘以它们夹角ABAB()()的正弦的正弦,其方向与其方向与 ,成右手螺旋成右手螺旋关系关系,为为 ,所在平面的右手法向所在平面的右手法向 :它不符合交换律。它不符合交换律。由定义知由定义知,并有并有 故故 各各分分量量的的下下标标次次序序具具有有规规律律性性。例例如如 分分量量第第一一项项是是yzyz,其第二项下标则次序对调其第二项下标则次序对调:zyzy,依次类推。并有依次类推。并有3.3.矢量的三重积矢量的三重积 矢量三重积为矢量三重积为 公式右边为公式右边为“BAC-CABBAC-CAB”,故称为故称为“Back-CabBack-Cab”法则法则,以便记忆。以便记忆。标量三重积为标量三重积为矢量的三连乘也有两种。矢量的三连乘也有两种。三、矢性函数的极限和连续性三、矢性函数的极限和连续性1.1.极限极限 设矢性函数设矢性函数 在点在点 的某个领域内有定义的某个领域内有定义（在（在 处可以没有定义），处可以没有定义），为一常矢。若对于任为一常矢。若对于任意给定的正数意给定的正数 ，都存在一个正数，都存在一个正数 ，使当，使当 满足满足 时，就有时，就有 成立，则称成立，则称 为矢性函数为矢性函数 当当 时的极时的极限，记作限，记作 矢性函数极限运算法则：矢性函数极限运算法则：注：注：时时 的极限均存在的极限均存在 如果如果结论结论：求矢性函数的极限转化为求三个数性函数的极限。：求矢性函数的极限转化为求三个数性函数的极限。2.2.连续性连续性则称则称 在在 处连续处连续2 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数与微分若若一、矢性函数的导数一、矢性函数的导数且函数在三个坐标的分量在且函数在三个坐标的分量在t t可导，则可导，则例例1 1 已知圆柱螺旋线的矢量方程为已知圆柱螺旋线的矢量方程为求导矢求导矢解解例例2 2 设设试证明：试证明：证证 因为因为所以所以注注:二、导矢的几何意义二、导矢的几何意义当当或或都是指向都是指向 增大的一方增大的一方当当结论结论:导矢在几何上为一矢端曲线的导矢在几何上为一矢端曲线的切切向矢量向矢量,指向对应指向对应 值增大的一方值增大的一方.切向单位矢量：切向单位矢量：割线矢量割线矢量例例3 3 求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线的切向单位矢量的切向单位矢量解解 由由得得三、矢性函数的微分三、矢性函数的微分设矢性函数设矢性函数则定义则定义称为矢性函数称为矢性函数 在在 处的处的微分。微分。结论：结论：是点是点 处与处与 的矢端曲线的矢端曲线 的的相切矢量，相切矢量，方向如图所示。方向如图所示。在直角坐标系里有：在直角坐标系里有：例例4 4 设设求求 和和解解四、矢性函数的导数公式四、矢性函数的导数公式设设 ，及数性函数及数性函数 在在 的某个范围的某个范围内可导，则下列公式在该范围内成立：内可导，则下列公式在该范围内成立：例例5 5 设设求在求在 处的处的解解在在 处利用三重积的公式有处利用三重积的公式有习题1（2）t=0:0.1:10*pi;x=3.*cos(t);y=4.*sin(t);z=3.*cos(t);plot3(x,y,z,r-,LineWidth,2);3 矢性函数的积分矢性函数的积分如果如果 在某个区间上有在某个区间上有一、矢性函数的不定积分一、矢性函数的不定积分则则 的的不定积分不定积分为为:矢性函数不定积分的基本性质矢性函数不定积分的基本性质:其中其中 为非零常数为非零常数,为非零常矢为非零常矢.若若结论结论:矢性函数的不定积分转化为数性函数的不定积分矢性函数的不定积分转化为数性函数的不定积分.则则例例6 6 计算计算解解:用换元积分法用换元积分法,令令 则则例例7 7 设设 计算计算解解:用分部积分法用分部积分法,有有其中其中由于由于 为常矢为常矢,故故所以所以二、矢性函数的定积分二、矢性函数的定积分如果如果 是连续矢性函数是连续矢性函数 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数,则则若若则则结论结论:矢性函数的定积分转化为数性函数的定积分矢性函数的定积分转化为数性函数的定积分.例例8 8 已知已知解解:求求本章重点本章重点是位于是位于 的的矢矢端端曲曲线线上上的的一一个个切切向向矢矢量量，其其起起点点在曲线上对应在曲线上对应t值的点处，且恒指向值的点处，且恒指向t值增大的一方。值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长如果将自变量取为矢端曲线的弧长s，即矢性函数成为，即矢性函数成为，则，则 不仅是一个恒指向不仅是一个恒指向s增大增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。几何和力学上都很重要。