四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三（补习班）上学期11月月考数学（文）试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司绵阳南山中学实验学校高绵阳南山中学实验学校高 2024 届届 11 月月考月月考文科数学文科数学一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内，1 3i2i对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合24xMx，2300Nx xx，则MN（）A.5,B.2,C.2,6D.5,63.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.8f xx B.5tanf xxC.323f xxxD.f xxx4.公比1q 的等比数列 na满足456a a，275aa，则155aa（）A.32B.92C.94D.35.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 4 月 18 日27 日（共 10 天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.根据组合图判断，下列结论正确的是（）A.这 10 天学生在线学习人数增长比例在逐日增加B.前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差C.这 10 天学生在线学习人数在逐日增加D.前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差的的第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司6.已知平面向量a，b满足4a，2b，20aab，则向量a与b的夹角为（）A 6B.3C.23D.567.执行如图所示的程序框图，若输入5N=，则输出S（）A.34B.45C.56D.678.过双曲线2213yx 的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|（）A.4 33B.23C.6D.439.已知实数,0,2x y，任取一点,x y，则该点满足2211xy的概率是（）A.8B.348C.18D.410.已知 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为()fx，且不等式 fxf x恒成立，则下列比较大小错误的是（）A.e(1)(2)ffB.0e1ffC.e21ffD.2e11ff11.设 F1，F2是椭圆 C：2222xyab=1(ab0)左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，延长 PF2交椭圆 C 于点 Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为233b，则12|PQFF=（）.的第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.32B.2 33C.3D.4 3312.已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数()f x满 足(2)()fxf x，当(0,1x时，2l()og xf x 若 函 数()s)n(if xxF x 在区间 1,m上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.1，1.5)B.1.5，2)C.2，2.5)D.2.5，3)二填空题二填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.养殖户在某池塘随机捕捞了 100 条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了 100 条鲤鱼，发现有 4 条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有_条14.直线210 xmy 与直线310mxy 平行，则m的值为_15.如图，某景区欲在两山顶A、C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高3 kmAB，3 3 kmCD，在水平面上E处测得山顶A 的仰角为30，山顶C的仰角为45，150BED，则两山顶A、C之间的距离为_16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：221xy，圆1O：22(4)4xy，动点P在直线l：2 20 xyb上（0b），过P分别作圆O，1O的切线，切点分别为A，B，若满足2PBPA的点P有且只有一个，则实数b的值为_.三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17.经调查某市三个地区存在严重环境污染，严重影响本地区人员的生活相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善为了解市民对城市环的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取 40 名市民进行询问打分，将最终得分按60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90分段，并得到如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中 a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率18.已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若5c，22 cosacBb（1）求角 C；（2）若点 D 在 AB 边上，且满足:3:2AD BD，当ABC的面积最大时，求 CD 的长19.设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST 20.已知椭圆 C：22221(0)xyabab过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为12，（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.21.已知实数0a，函数 2lnlnef xxaaxx，e是自然对数的底数.（1）当ea 时，求函数 f x的单调区间；（2）求证：f x存在极值点0 x，并求0 x的最小值.选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分若多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l经过点3,1M，倾斜角为30，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos.（1）求直线l的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）设直线l与曲线 C 相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 N，求MNMA MB的值.23.已知函数 21Rf xxxm x，不等式 7f x 的解集为2,43（1）求m的值；（2）若三个实数a，b，c，满足abcm证明：222224acabcabcm第 1 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司绵阳南山中学实验学校高绵阳南山中学实验学校高 2024 届届 11 月月考月月考文科数学文科数学一选择题：本大题共一选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.1.在复平面内，1 3i2i对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法及复数的几何意义求解即可.【详解】21 3i2i2i6i3i55i，所以复数对应的点为5,5在第一象限.故选：A2.已知集合24xMx，2300Nx xx，则MN（）A.5,B.2,C.2,6D.5,6【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出集合,M N，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式24x，得2x，即(2,)M，解不等式2300 xx，得56x，即 5,6N ，所以(2,6MN.故选：C3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.8f xx B.5tanf xxC.323f xxxD.f xxx【答案】C【解析】第 2 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于 A 选项，函数 8f xx 为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A 选项不满足条件；对于 B 选项，函数 5tanf xx为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B 选项不满足条件；对于 C 选项，函数 323f xxx的定义域为R，且 332323fxxxxxf x ，所以，函数 323f xxx为奇函数，因为函数32yx、3yx均为R上的增函数，故函数 323f xxx在R上为增函数，C 选项满足条件；对于 D 选项，函数 f xxx的定义域为0,，该函数为非奇非偶函数，D 选项不满足条件.故选：C.4.公比1q 的等比数列 na满足456a a，275aa，则155aa（）A.32B.92C.94D.3【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及性质求得正确答案.【详解】依题意，1q，由已知27274556aaa aa a，得2723aa，所以57232aqa，1015594aqa故选：C5.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 4 月 18 日27 日（共 10 天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.第 3 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司 根据组合图判断，下列结论正确的是（）A.这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日增加B.前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差C.这 10 天学生在线学习人数在逐日增加D.前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差【答案】C【解析】【分析】根据统计图逐一判断可得选项【详解】对于 A，由折线图很明显，23-24 的增长比例在下降，故 A 错误；对于 B，由柱状图可得前 5 天学习人数的变化幅度明显比后 5 天的小，故方差也小，故 B 错误；对于 C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故 C 正确；对于 D，前 5 天增长比例的极差小于后 5 天增长比例的极差，故 D 错误，故选：C6.已知平面向量a，b满足4a，2b，20aab，则向量a与b的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由数量积运算求得a b，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角【详解】220aabaa b，所以24204a b ，41cos,4 22a ba ba b ，而,0,a b，所以2,3a b 故选：C7.执行如图所示的程序框图，若输入5N=，则输出S（）第 4 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司A.34B.45C.56D.67【答案】B【解析】【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可求出程序运行后输出的S的值.【详解】解：当1k 时，满足进行循环的条件，1101 22S，当2k 时，满足进行循环的条件，11222 33S，当3k 时，满足进行循环的条件，21333 44S，当4k 时，满足进行循环的条件，31444 55S，当5k 时，不满足进行循环的条件，故输出的45S.故选：B.8.过双曲线2213yx 的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|（）A.4 33B.23C.6D.43【答案】D【解析】【详解】试题分析：由双曲线2213yx，可得渐近线方程为3yx，且右焦点为(2,0)F，令2x，第 5 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司解得2 3y ，所以|AB 4 3，故选 D.考点：双曲线的几何性质.9.已知实数,0,2x y，任取一点,x y，则该点满足2211xy的概率是（）A.8B.348C.18D.4【答案】C【解析】【分析】根据几何概型确定好,0,2x y所示区域面积及2211xy在区域内的面积，即可得结论.【详解】,0,2x y所示区域面积为2 24，则圆2211xy在区域内的部分为半圆，半圆外部分的面积为42故概率为42148.故选：C.10.已知 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为()fx，且不等式 fxf x恒成立，则下列比较大小错误的是（）A.e(1)(2)ffB.0e1ffC.e21ffD.2e11ff【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得 0exfxf x，所以构造函数 xf xg x e，求导后可得 0gx，从而可得 g（x）在 R 上单调递增，然后分析判断【详解】由已知 fxf x，可得 0exfxf x，设 xf xg x e，则 exfxf xgx，0gx，因此 g（x）在 R 上单调递增，所以 12,10,21gggggg，11gg，第 6 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司即 21021112102111,eeeeeeeeffffffff所以 2e12,e10,e21,e11ffffffff，所以 ABD 正确，C 错误，故选：C11.设 F1，F2是椭圆 C：2222xyab=1(ab0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在椭圆 C 上，延长 PF2交椭圆 C 于点 Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为233b，则12|PQFF=（）A 32B.2 33C.3D.4 33【答案】B【解析】【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得123FPF，进一步得F1PQ 为等边三角形，且PQx轴，从而可得解.【详解】由椭圆的定义，12|2PFPFa，由余弦定理有：2222212121212121224|4cos22PFPFPF PFcPFPFcFPFPF PFPF PF22212121212442|42|2|2|acPFPFbPFPFPFPFPFPF，化简整理得：212122|(cos1)bPFPFFPF，又1 2PF FS12121|sin2PFPFFPF，由以上两式可得：.第 7 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司1 221212221212212122sincossin22tancos122cos2PF FFPFFPFbbFPFFPFSbFPFFPF由1 2212tan2PF FFPFSb，得22123tan32FPFbb，123FPF，又1PFPQ，所以F1PQ 为等边三角形，由椭圆对称性可知PQx轴，所以1222 333PQFF.故选：B.12.已 知 定 义 在R上 的 奇 函 数()f x满 足(2)()fxf x，当(0,1x时，2l()og xf x 若 函 数()s)n(if xxF x 在区间 1,m上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围是（）A.1，1.5)B.1.5，2)C.2，2.5)D.2.5，3)【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法分别作函数()yf x与sinyx的图象，再观察其交点即可得解.【详解】由()()0fxf x-+=，(2)()fxf x，联立可得：(2)()fxfx，即函数()f x图象关于点(1,0)对称，由(2)()fxf x可得()f x为周期函数，且周期为 2，sinyx的周期为 2，关于点(,0),Zkk对称，由图象知：()yf x与sinyx在 1,1)上有4个交点，其交点横坐标分别为11x ，212x ，30 x，412x，所以若函数()()sinF xf xx在区间 1,m上有 5 个零点，则312m，故选：A第 8 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司 二填空题二填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.养殖户在某池塘随机捕捞了 100 条鲤鱼，做好标记后放回池塘，几天后又随机捕捞了 100 条鲤鱼，发现有 4 条鲤鱼被标记，据此估计该池塘里鲤鱼大约有_条【答案】2500【解析】【分析】样本中捕捞了 100 条鲤鱼，发现有 4 条鲤鱼被标记，即可求得有标记鲤鱼所占样本比例，用这个比例去估计整个池塘中被标记的鲤鱼占所有鲤鱼的比例，即可求解【详解】设该池塘里鲤鱼有x条，则由题意有1004100 x，解得2500 x，因此池塘里鲤鱼大约有 2500 条，故答案为：250014.直线210 xmy 与直线310mxy 平行，则m的值为_【答案】3【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为直线210 xmy 与直线310mxy 平行，所以1 321 11m mm ，解得：3m ，故答案为：3.15.如图，某景区欲在两山顶A、C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高3 kmAB，3 3 kmCD，在水平面上E处测得山顶A 的仰角为30，山顶C的仰角为45，150BED，则两山顶A、C之间的距离为_第 9 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司【答案】5 3km【解析】【分析】求出 BE、DE长，利用余弦定理求出BD的长，然后过A 在平面ABDC内作AFCD，垂足为点F，分析可知，四边形ABDF为矩形，求出AF、CF的长，利用勾股定理可求得AC的长，即为所求.【详解】在RtABE中，3AB，30AEB，ABBE，则33tan3033ABBE，在RtCDE中，3 3CD，45CED，CDDE，则CDE为等腰直角三角形，所以，3 3D EC D，在BDE中，150BED，由余弦定理可得2232cos1509272 3 3 33 72BDBEDEBE DE ，过A 在平面ABDC内作AFCD，垂足为点F，如下图所示：因为ABBD，CDBD，AFCD，则四边形ABDF为矩形，所以，3 7AFBD，3 332 3CFCDDF，所以，2263 125 3 kmACAFCF.故答案为：5 3km.16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：221xy，圆1O：22(4)4xy，动点P在直线l：2 20 xyb上（0b），过P分别作圆O，1O的切线，切点分别为A，B，若满足2PBPA的点的第 10 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司P有且只有一个，则实数b的值为_.【答案】283.【解析】【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到12POPO，求得点P的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解【详解】由题意得：(0,0)O，1(4,0)O，设(,)P x y，如下图所示PA、PB 分别是圆 O，O1的切线，PBO1=PAO=90，又PB=2PA，BO1=2AO，PBO1PAO，12POPO，2214POPO，2222(4)4()xyxy，整理得22464()39xy，点 P（x，y）的轨迹是以4(,0)3为圆心、半径等于83的圆，动点 P 在直线l：2 20 xyb上（0b），满足 PB=2PA 的点 P 有且只有一个，该直线 l 与圆22464()39xy相切，圆心4(,0)3到直线 l 的距离 d 满足dr，即2248331(2 2)b，解得203b 或283，又因为0b，所以283b 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题三解答题：共三解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.17.经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活相关部门立即要求务必加强环第 11 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取 40 名市民进行询问打分，将最终得分按60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90分段，并得到如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中 a 的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率【答案】（1）0.040a，中位数为77.5（分）（2）815【解析】【分析】（1）根据小矩形的面积之和为1即可求出a，再根据频率分布直方图求出中位数即可；（2）分别求出60,65和65,70的市民人数，再根据古典概型即可得解.【小问 1 详解】由题意可得5 0.0100.0200.0600.0500.0201a，解得0.040a，由0.01 50.02 50.04 50.35,0.350.06 50.65 ，可得此次问卷调查分数的中位数在75,80上，设为x，则0.350.06750.5x，解得77.5x，所以此次问卷调查分数的中位数为77.5（分）；【小问 2 详解】60,65的市民有0.010 5 402 人，记为 a，b，65,70的市民有0.020 5 404 人，记为 1，2，3，4，则从中抽取两人的基本事件有：,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34,ab a aaab bb b共 15 种，其中两人来第 12 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司自不同的组的基本事件有 8 种，则所求概率为815.18.已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若5c，22 cosacBb（1）求角 C；（2）若点 D 在 AB 边上，且满足:3:2AD BD，当ABC的面积最大时，求 CD 的长【答案】（1）3C （2）19CD【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1cos2C，即可求出角 C；（2）由余弦定理结合均值不等式可得25ab，可求出当ABC的面积最大值时3AD，再由余弦定理即可求出 CD 的长.【小问 1 详解】依题意，22 cosacBb，由正弦定理可得2sin2sincossinACBB，2sin2sincossinBCCBB，所以2sincos2cossin2sincossinBCBCCBB，则2sincossinBCB，因为0,sin0BB，化简得1cos2C 0,C，3C【小问 2 详解】由余弦定理得2221cos22abcCab，22222ababcabc，25ab，当且仅当ab时，等号成立此时1325 3sin244ABCSabCab若ABC的面积取到最大，则5ab，ABC为等边三角形，3AD，由余弦定理得2222cos193CDACADAC AD，19CD 第 13 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司19.设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n 项和证明：2nnST【答案】（1）11()3nna，3nnnb；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a得到29610qq，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,nnS T，再作差比较即可.【详解】（1）因为 na是首项为 1 的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa，所以211169a qaa q，即29610qq，解得13q，所以11()3nna，所以33nnnnanb（2）方法一：作差后利用错位相减法求和方法一：作差后利用错位相减法求和211213333nnnnnT，01211111122 3333nnS，23012112311111233332 3333nnnnSnT012111012222333111233 nnnn设01211111012122223333 nnn，则123111101211222233333 nnn 由-得112111331211111332213233332313 nnnnnnn.第 14 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以211312432323 nnnnnn因此10232323 nnnnnSnnnT故2nnST 方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS，211213333nnnnnT，231112133333nnnnnT，得23121111333333nnnnT 1111(1)1133(1)1323313nnnnnn，所以31(1)432 3nnnnT，所以2nnST 3131(1)(1)0432 3432 3nnnnnn，所以2nnST.方法三：构造裂项法方法三：构造裂项法 由（）知13nnbn，令1()3nncn，且1nnnbcc，即1111()(1)333nnnnnn，通过等式左右两边系数比对易得33,24，所以331243nncn 则12113314423nnnnnTbbbcc，下同方法二方法四：导函数法方法四：导函数法设231()1nnxxf xxxxxx，第 15 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司由于1221 11111(1)1(1)1nnnnnxxxxxxxxnxnxxxx，则12121(1)()123(1)nnnnxnxfxxxnxx又1111333nnnbnn，所以2112311111233333nnnTbbbbn 12111(1)11133333113nnnnf13113311(1)4334423nnnnnn，下同方法二【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,nnS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3nncn，使1nnnbcc，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.20.已知椭圆 C：22221(0)xyabab过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为12，（1）求 C 的方程；（2）点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612xy；（2）18.【解析】【分析】(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；第 16 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点 N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点 N 到直线 AM 的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知直线 AM 的方程为：13(2)2yx，即24 xy.当 y=0 时，解得4x ，所以 a=4，椭圆2222:10 xyCabab过点 M(2，3)，可得249116b，解得 b2=12.所以 C 的方程：2211612xy.(2)设与直线 AM 平行的直线方程为：2xym，如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2xym与椭圆方程2211612xy，可得：2232448myy，化简可得：2216123480ymym，所以221444 16 3480mm ，即 m2=64，解得 m=8，与 AM 距离比较远的直线方程：28xy，直线 AM 方程为：24 xy，点 N 到直线 AM距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：8412 5514d，由两点之间距离公式可得22|(24)33 5AM.的第 17 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以AMN 的面积的最大值：112 53 51825.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知实数0a，函数 2lnlnef xxaaxx，e是自然对数的底数.（1）当ea 时，求函数 f x的单调区间；（2）求证：f x存在极值点0 x，并求0 x的最小值.【答案】（1）单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)（2）e【解析】【分析】（1）()f x求导，根据()fx的正负判定函数的增减即可；（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.【小问 1 详解】当ea 时，2()eln(e)f xxxx，则2e2(1 2e)e(21)(e)()12(e),(0)xxxxfxxxxxx 令()0fx，得ex；令()0fx，得ex；所以，函数()yg x的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e)【小问 2 详解】22(ln2e)()ln2(e)axaxafxaxxx令2()2(ln2e)0t xxaxa，因为2(ln2e)80aa，所以方程22(ln2e)0 xaxa，有两个不相等的实根1212,x xxx，第 18 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司又因为1202ax x ，所以120 xx，令02xx，列表如下:x 00,x0 x0,x fx-0+f x减极小值增所以()f x存在极值点0 x.所以存在0 x使得2002(ln2e)0 xaxa成立，所以存在0 x使得200022elnxxxaxa，所以存在0 x使得2000ln22eaxaxxx对任意的0a 有解，因此需要讨论等式左边的关于a的函数，记0()lnu ttxt，所以0()1xu tt，当00tx 时，()0,()u tu t单调递减；当0tx时，()0,()u tu t单调递增所以当0tx时，0()lnu ttxt 的最小值为0000lnu xxxx所以需要200000022elnlnxxaxaxxx，即需要200002(2e 1)ln0 xxxx，即需要002(2e 1)ln0 xx，即需要002ln(2e 1)0 xx 因为()2ln(2e 1)v ttt在(0,)上单调递增，且0(e)0v xv，所以需要0ex，故0 x的最小值是e【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分若多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l经过点3,1M，倾斜角为30，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos.第 19 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司（1）求直线l的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线 C 相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 N，求MNMA MB的值.【答案】（1）l的参数方程为332112xtyt（t为参数），C的直角坐标方程为2224xy （2）314【解析】【分析】（1）根据直线过点3,1M及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数 t 的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.【小问 1 详解】l的参数方程为3cos301sin30 xtyt ，即332112xtyt（t为参数），因为曲线C的极坐标方程为4cos，即24 cos，所以224xyx化简得2224xy，所以C的直角坐标方程为2224xy；【小问 2 详解】将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得223111422tt，整理，得23120tt，此时23180，设,A B两点对应的参数分别为1t，2t，则1231tt，1 22t t ，所以1t，2t异号，1212,2MAMBttttMN，第 20 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以121231312242ttt tMNMA MB.23.已知函数 21Rf xxxm x，不等式 7f x 的解集为2,43（1）求m的值；（2）若三个实数a，b，c，满足abcm证明：222224acabcabcm【答案】（1）3m （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得 47273ff，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可知3abc，则22222acabcabc222333bca，利用柯西不等式即可证明.【小问 1 详解】不等式 7f x 的解集为2,43，47273ff，即2 4 1472221733mm ，3m，经检验得3m 符合题意.小问 2 详解】3abcm，22222acabcabc222333bca222333bca，由柯西不等式可知：222222233311133336bcabca，22233312bca，即22222124acabcabcm，当且仅当1a ，5b，1c 时等号成立.【