重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高三上学期12月期中数学试卷含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年（上）期中学业质量联合调研抽测高三数学试题学年（上）期中学业质量联合调研抽测高三数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设集合|11Axx，1,1,2,3B 则UBA（）A.1,2,3B.1,2,3C.1,1,2D.1,1,2,32.设全集1,2,3,4,5U，13,5A,，1,3B，则（）A.UABB.UUABC.UUAB D.UUABU 3.已知等差数列 na中，2818aa，则5a（）A 7B.11C.9D.184.如图是一个棱长为 2 的正方体被过棱11AB、11AD的中点M、N，顶点A和过点N顶点D、1C的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（）A.5B.6C.7D.85.已知平面直角坐标系中的 3 点(2,2),(6,0),(0,0)ABC，则ABC中最大角的余弦值等于（）A.22B.22C.1010D.10106.已知，为锐角，且tan2，2sin2，则cos（）A.3 1010B.3 1010C.1010D.1010.重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高三上学期12月期中第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司7.已知函数 f x在定义域上的值不全为零，若函数1f x的图象关于1,0对称，函数3f x的图象关于直线1x 对称，则下列式子中错误的是（）A ()()fxf xB.(2)(6)f xf xC.(2)(2)0fxfx D.(3)(3)0fxfx8.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M是11AB的中点，点P是侧面11CDDC上的动点，且MP截面1ABC，则线段MP长度的取值范围是（）.A.2,6B.6,2 2C.6,2 3D.6,3二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 2 分分.9.已知复数(2i)(i 1)z 在复平面内对应的点为 P，则（）A.P 在第二象限B.P 在第四象限C.1 3iz D.z 的虚部为3i10.已知圆M：22430 xyx，则下列说法正确的是（）A.点4,0在圆内B.圆M的半径为 1C.圆M关于320 xy对称D.直线30 xy与圆M相切11.记等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S36，则 S4（）A.10B.8C.8D.1012.如图，已知三个两两互相垂直的半平面，交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面内，顶点A，D分别在半平面，内，2AD，3AB，AD与平面所成角为4，二面角ABCO的余弦值为13，则同时与半平面，和平面ABCD都相切的球的半径为（）.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A 22B.4 23C.2 2D.84 23三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.函数 3222f xxx的图象在=1x处的切线方程是_14.若等差数列na的前 10 项和为 30，前 20 项和为 100，则前 30 项和为_15.若方程1cos2ax在,3x 上有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为_16.已知数列 na满足11a，2112nnnaaa.给出下列四个结论：数列 na每一项na都满足*01Nnan；数列 na的前n项和2nS；数列 na每一项都满足21nan成立；数列 na每一项na都满足1*1N2nnan.其中，所有正确结论的序号是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 已知,Aa b c，则求：（1）集合 A 的子集的个数，并判断与集合 A 的关系（2）请写出集合 A 的所有非空真子集18.已知命题 p:x2+2x-150，命题 q:x-1m(m0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围19.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在AC的两侧，对角线AC与BD交于点E，2BCCD.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司 （1）若ABC中三个内角A、B、C分别对应的边长为a、b、c，ABC的面积222312Sabc，3BDBE ，求BCA和BCD；（2）若2ADAB，且4BAD，设CBD，求对角线AC的最大值和此时的值.20.如图，在三棱台111ABCABC-中，90BAC，1AA 平面ABC，2ABAC，111AC，13A A，且 D 为BC中点.求证：BC平面1A AD；21.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于 A，B 两点，求AOB（O 为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程22.已知函数 exf x，cosg xx（1）讨论函数 g xF xf x的单调性；（2）设函数 G xf xg xax（Ra），若 G x在,2上为增函数，求实数 a 的取值范围第 1 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年（上）期中学业质量联合调研抽测学年（上）期中学业质量联合调研抽测高三数学试题高三数学试题一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合|11Axx，1,1,2,3B 则UBA（）A.1,2,3B.1,2,3C.1,1,2D.1,1,2,3【答案】A【解析】【分析】先求得UA，然后求得UAB.【详解】,11,1,2,3UUAAB .故选：A2.设全集1,2,3,4,5U，13,5A,，1,3B，则（）A.UABB.UUABC.UUAB D.UUABU【答案】C【解析】【分析】由条件根据集合的运算的定义，判断各选项即可.【详解】因为13,5A,，1,3B，1,2,3,4,5U，所以=1,3,5AB，ABU，A 错，2,4UA=，1,2,3,4UAB，UABU，B 错，2,4,5UB，1,2,3,4,5UAB ，C 对，2,4,5UUUAB，D 错，故选：C.3.已知等差数列 na中，2818aa，则5a（）A.7B.11C.9D.18【答案】C第 2 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】由等差数列性质直接计算求解即可.【详解】设等差数列的性质可知：285218aaa，所以59a.故选：C.4.如图是一个棱长为 2 的正方体被过棱11AB、11AD的中点M、N，顶点A 和过点N顶点D、1C的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】将正方体还原，利用割补法计算可得.详解】解：如图将正方体还原可得如下图形：则11111 1 2323A A MNV ，1 11121 2 2323D ND CV ，1 1 11328ABCD A B C DV，所以该几何体的体积128733V.故选：C5.已知平面直角坐标系中的 3 点(2,2),(6,0),(0,0)ABC，则ABC中最大角的余弦值等于（）A.22B.22C.1010D.1010的【第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】C【解析】【分析】根据夹角公式算出ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果.【详解】(4,2),(2,2)ABAC ，根据夹角公式，410coscos,104 10AB ACAAB ACAB AC ；(4,2),(6,0)BABC ，根据夹角公式，242 5coscos,56 2 5BA BCBBA BCBA BC ；(6,0),(2,2)CBCA ，根据夹角公式，122coscos,26 2 2CB CACCB CACB CA .由,(0,)A B C，cos0A，cos0,cos0BC，于是A 是钝角，,B C是锐角，最大角是A，余弦值为1010.故选：C6.已知，为锐角，且tan2，2sin2，则cos（）A.3 1010B.3 1010C.1010D.1010【答案】D【解析】【分析】由条件，结合同角关系求sin,cos，再由特殊角三角函数值求，再利用两角差的余弦公式求cos.【详解】因为tan2，所以 sin2cos，又22sincos1，为锐角，所以2 5sin5，5cos5，且4因为，为锐角，4，所以4，又2sin()2，所以34，第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故33310coscoscoscossinsin44410故选：D.7.已知函数 f x在定义域上的值不全为零，若函数1f x的图象关于1,0对称，函数3f x的图象关于直线1x 对称，则下列式子中错误的是（）A.()()fxf xB.(2)(6)f xf xC.(2)(2)0fxfx D.(3)(3)0fxfx【答案】D【解析】【分析】由题设条件可得函数()f x的图象关于(2,0)对称，且关于直线4x 对称，从而得到 f x为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.【详解】函数(1)f x的图象关于1,0对称，函数()f x的图象关于(2,0)对称，令(1)F xf x，2F xFx，即(3)1fxfx，4fxf x 令(3)G xf x，其图象关于直线对称，2GxGx，即53f xfx，44fxfx 由得，4f xf x，8f xf x 844fxfxfx，由得 4444fxfxf x,fxf x；A 对；由，得282f xf x，即26f xf x，B 对；由得，220fxf x，又 fxf x，(2)(2)220fxfxfxfx ，C 对；若330fxfx，则 6fxf x，12fxf x，由得124fxf x，又 4f xf x，f xf x，即 0f x，与题意矛盾，D 错.第 5 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.8.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M是11AB的中点，点P是侧面11CDDC上的动点，且MP截面1ABC，则线段MP长度的取值范围是（）.A.2,6B.6,2 2C.6,2 3D.6,3【答案】B【解析】【分析】取 CD 的中点为 N,1CC的中点为 R,11BC的中点为 H,证明平面 MNRH/平面1ABC,MP平面MNRH,线段 MP 扫过的图形为MNR,通过证明222MNNRMR,说明MRN为直角,得线段MP长度的取值范围为,MR MN即可得解.【详解】取 CD 的中点为 N,1CC的中点为 R,11BC的中点为 H,作图如下:由图可知,11/,MBNC MBNC,所以四边形1MNCB为平行四边形,所以1/MNBC,因为1111/,/MHAC ACAC,所以/MHAC,第 6 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为1,MNMHM ACBCC,故平面 MNRH/平面1ABC,因MP截面1ABC,所以MP平面MNRH,线段 MP 扫过的图形为MNR,由2AB 知,2 2,2MNNR,在1Rt MC R中,22211MRC RC M,即222156MR,所以6MR，所以222MNNRMR,即MRN为直角,故线段MP长度的取值范围为,MR MN,即6,2 2,故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 2 分分.9.已知复数(2i)(i 1)z 在复平面内对应的点为 P，则（）A.P 在第二象限B.P 在第四象限C.1 3iz D.z 的虚部为3i【答案】AC【解析】【分析】根据复数的运算，求得1 3iz ，结合复数的几何意义和共轭复数的概念，以及复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数(2i)(i 1)1 3iz ，所以其对应的点(1,3)位于第二象限，所以 A 正确，B 错误；由复数1 3iz 的虚部为3，所以 D 错误；又由共轭复数的概念，可得1 3iz ，所以 C 正确.故选：AC为第 7 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司10.已知圆M：22430 xyx，则下列说法正确的是（）A.点4,0在圆内B.圆M的半径为 1C.圆M关于320 xy对称D.直线30 xy与圆M相切【答案】BCD【解析】【分析】对于 A 项，求点4,0到圆心的距离与半径比；对于 B 项，圆化为标准方程即可求出圆心和半径.对于 C 项，验证圆心是否在直线上；对于 D 项，验证圆心到直线的距离与半径比.【详解】已知圆M：22430 xyx，则其标准方程为2221xy，1r，B选项正确；圆心2,0M，将点4,0到圆心2,0M的距离22142002dr，所以，点4,0在圆外，A 选项错误；将圆心2,0M代入直线320 xy，得23 020 成立，所以直线过圆心，则圆M关于直线320 xy对称，C 选项正确；因为圆心2,0M到直线30 xy的距离3211 3dr，所以直线30 xy与圆M相切，D选项正确.故选：BCD11.记等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S36，则 S4（）A.10B.8C.8D.10【答案】AC【解析】【分析】设等比数列的公比为q，解方程22226qq求出q的值即得解.【详解】设等比数列的公比为q，由于132,6aS，232226Sqq，则220qq，2q 或1q，所以3343162(2)10SSa q 或4148Sa，故选：AC.12.如图，已知三个两两互相垂直的半平面，交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面内，第 8 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司顶点A，D分别在半平面，内，2AD，3AB，AD与平面所成角为4，二面角ABCO的余弦值为13，则同时与半平面，和平面ABCD都相切的球的半径为（）A.22B.4 23C.2 2D.84 23【答案】AC【解析】【分析】如图，补形为一个长方体，然后以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，由线面角和二面角的定义可求得,A B，D的坐标，求得平面 ABCD 的法向量，设平面 ABCD 与,x y z轴的交点分别为：123(,0,0),(0,0),(0,0,)P xPyPz，将原问题进一步等价于求三棱锥 O-P1 P2 P3的内切球半径，运用等体积法可求得答案【详解】解：如图所示，将矩形 ABCD 所在的平面，补形为一个长方体，然后以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，由2AD，AD与平面所成角为4，得112A AAD，作AP底面于点 P，则AD 平面APB，从而BCBP，所以PBA即为二面角ABCO的平面角，即PBA的余弦值为13，则113PBAB，故第 9 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司222 2APBABP，2222B PB B，32(2,0,2 2),(2,0)22AB，(0,2,2 2)D，所以22,2 222AB，(2,2,0)AD ，设平面 ABCD 的法向量(,)mx y z，则2222(,2 2)(,)2 202222(2,2,0)(,)220AB mx y zyzAD mx y zxy ，令2x，得2,1yz，从而(2,2,1)m，设平面 ABCD 与,x y z轴的交点分别为：123(,0,0),(0,0),(0,0,)P xPyPz，则1(2,0,2 2)(2,2,1)0PA mx，所以2 2x，2(2,2 2)(2,2,1)0P A my，所以2 2y，3(2,0,2 2)(2,2,1)0P A mz，所以4 2,z 原问题进一步等价于求三棱锥 O-P1 P2 P3的内切球半径，由于2222121323(2 2)(2 2)4,(2 2)(4 2)2 10PPPPP P，故123PP P是等腰三角形，其面积为2214(2 10)2122，三棱锥的表面积为1(2 22 22 24 22 24 2)12322S，其体积为123116 263VOPOPOP，设外接球半径为 R，利用等体积法有13VSR，即116 2232,332RR，同理，当球在三棱锥外面与四个面都相切时，球的半径为2 2，故选：AC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.函数 3222f xxx的图象在=1x处的切线方程是_【答案】2yx （或20 xy）【解析】【分析】由导数的几何意义求解，第 10 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 234fxxx，则 11f，11f ，故所求切线方程为11yx ，即2yx （或20 xy）故答案为：2yx 14.若等差数列na的前 10 项和为 30，前 20 项和为 100，则前 30 项和为_【答案】210【解析】【分析】利用等差数列的前n项和性质即可求解.【详解】设等差数列na的前n项和为nS，则10S，1200SS，3020SS成等差数列，即3030,70,100S成等差数列，所以302 7030100S，30210S，故答案为：210【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和性质，需熟记性质，属于基础题.15.若方程1cos2ax在,3x 上有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为_【答案】1,0【解析】【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得11122a，进而得到答案.【详解】作出cosyx，,3x 与12ay的大致图象，如图所示由图象，可知11122a，即10a，故实数 a 的取值范围为1,0第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故答案为：1,0.16.已知数列 na满足11a，2112nnnaaa.给出下列四个结论：数列 na每一项na都满足*01Nnan；数列 na的前n项和2nS；数列 na每一项都满足21nan成立；数列 na每一项na都满足1*1N2nnan.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对进行判断，算出4S即可判断.【详解】由11a，2112nnnaaa，得211122a ，3113288a，4319398264128a，413392791228128128S ，错误；2112nnnnaaaa，又因为11a，所以21012nnnaaa，所以*01Nnan，正确；由2112nnnaaa可得111,1122nnnaaa，即11,2nnaa，又2112nnnaaa，两边同时除以1nna a，可得：第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司11112nnnnaaaa，11112nnnnaaaa，2121112aaaa，累加可得11112121nnnnnaaaaaaa，又因11,2nnaa，所以11212nnna，即有11212nann，当1n 时，1211 1a，所以121nann，正确；由2112nnnaaa，得111122nnnaaa，则当2n 时，112nnaa，则111122112nnnnnnaaaaaaaa，当1n 时，01112a，所以1*1N2nnan，故正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,Aa b c，则求：（1）集合 A 的子集的个数，并判断与集合 A 的关系（2）请写出集合 A 的所有非空真子集【答案】（1）8，A （2）a，b，c，,a b，,a c，,b c【解析】【分析】（1）根据子集的概念，利用列举法可得集合 A 的所有子集，从而可得子集个数以及 与集合 A 的关系；第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）根据非空真子集的概念，利用列举法可得答案.【详解】（1）,Aa b c的子集有，a，b，c，,a b，,a c，,b c，,a b c共 8 个，其中A.（2）集合 A 的所有非空真子集有 a，b，c，,a b，,a c，,b c.【点睛】本题考查了子集和真子集的概念，属于基础题.18.已知命题 p:x2+2x-150，命题 q:x-1m(m0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围【答案】6，【解析】【分析】利用不等式的解法求解出命题 p，q 中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母 m 的不等式，从而求解出 m 的取值范围【详解】解：x2+2x150 的解集为5，3，故命题 p 成立有 x5，3，由x-1m(m0)，得 x1m，m+1，若p 是q 的必要不充分条件，即 p 是 q 的充分不必要条件，因此有5，3 为1m，m+1真子集，即1513mm ，（两个等号不能同时取到）解得：m619.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在AC的两侧，对角线AC与BD交于点E，2BCCD.（1）若ABC中三个内角A、B、C分别对应的边长为a、b、c，ABC的面积222312Sabc，3BDBE ，求BCA和BCD；第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）若2ADAB，且4BAD，设CBD，求对角线AC的最大值和此时的值.【答案】（1）6BCA，23BCD （2）当8时，对角线AC长的最大值为2 22【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出tanACB的值，结合ACB的取值范围可求得ACB的值，设BCD，则6，利用正弦定理可求得的值；（2）利用余弦定理求得BD，结合余弦定理分析可知，ABD为等腰直角三角形，再利用余弦定理结合三角函数看可求出AC长的最大值及其对应的的值.【小问 1 详解】解：因为ABC的面积222312Sabc，即13sincos26abACBabACB，整理可得3sincos03ACBACB，所以，3tan3ACB，又因为0ACB，则6ACB，设BCD，则6，在BCE中，由正弦定理得sinsin6CEBECBE，在CDE中，由正弦定理得sinsin6CEDECDE，因为BCCD，则CBECDE，所以，sinsin66BEDE，因为3BDBE ，则2DEBE，所以，sin162DEBE，因为6，则5066，所以，62，解得23，即23BCD.【小问 2 详解】解：因为2BCCD，则BDCCBD，其中02，则2BCD，的第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得2222cos 288cos2BDBCCDBC CD2288 2cos116cos，则4cosBD，在ABD中，2ADAB，4BAD，由余弦定理可得22222222cos32 242BDABADAB ADABABAB，所以，BDAB，故4ADBBAD，故ABD为等腰直角三角形，则2ABD，所以，22222cos16cos42 4cos2 sin2ACABBCAB BC 8 1 cos248sin28 2sin 2124，易知02，则52444，故当242时，即当8时，AC取最大值，且最大值为8 2122 22.20.如图，在三棱台111ABCABC-中，90BAC，1AA 平面ABC，2ABAC，111AC，13A A，且 D 为BC中点.求证：BC平面1A AD；【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论.【详解】由题意，以点A坐标原点，AB，AC,1AA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，为第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司 则1,00 0 00 032 0 01,1,0 2 0,AABCD，则10,2 2 00311 0,BCAAAD ，故112 02 0300,BC AABCAA ，2 12 10 00,BC ADBCAD ，即1,BCAA BCAD，又11,AAADA AA AD平面1A AD，故BC平面1A AD.21.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于 A，B 两点，求AOB（O 为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程【答案】123yx.【解析】【分析】由题意设直线AB的方程为1(3)yk x，然后求出直线与坐标轴的交点，从而可表示出AOB的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线方程.【详 解】由 题 意 知 直 线AB的 斜 率 存 在 且 不 为 零，设 直 线AB的 方 程 为1(3)yk x，即1 3ykxk，在直线AB的方程中，令0 x，可得1 3 yk；令0y，可得31kxk.所以点31,0,(0,1 3)kABkk，第 17 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司由已知条件可得3101 30kkk，得0k，所以AOB的面积为13111(1 3)6922kSkkkk1162(9)62kk，当且仅当19(0)kkk，即13k 时，等号成立，所以直线AB的方程为123yx.22.已知函数 exf x，cosg xx（1）讨论函数 g xF xf x的单调性；（2）设函数 G xf xg xax（Ra），若 G x在,2上为增函数，求实数 a 的取值范围【答案】（1）增区间32,2,Z44kkk，减区间372,2,Z44kkk （2）2,e【解析】【分析】（1）利用导数求得 F x的单调区间.（2）由 0Gx 在,2恒成立，分离常数a，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【小问 1 详解】cosexg xxF xf x，F x的定义域为R.sincos2sinee4xxxxFxx，设Zk，第 18 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司32 2,2 2 444kxkkxk，372 2 2,2 2 444kxkkxk，所以 F x在区间 32,2,0,44kkFxF x递增；在区间 372,2,0,44kkFxF x递减.【小问 2 详解】ecosxG xf xg xaxxax，2x ，esin0 xGxxa在,2上恒成立，esinxax在,2上恒成立，令 esin2xh xx x，当22x时，cos0,ecos0 xxh xx；当2x 时，e1cos1xx ，ecos0 xh xx，所以 h x在,2上递增，22ecose22h xh，所以2ea，即a的取值范围是2,e.【点睛】由函数 f x在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用 0fx（或 0fx）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.