压轴大题突破练(四) 函数与导数(2).docx

压轴大题突破练(四)函数与导数(2)1.已知函数 f(x)xsin x，xR.(1)试求函数f(x)的递减区间；(2)试求函数f(x)在区间，上的最值.解(1)求导数得：f(x)cos x，令f(x)<0，即cos x<0，得2k<x<2k，kZ，函数f(x)在区间(2k，2k)，kZ上为减函数.(2)由(1)知，函数f(x)在区间(，)，(，)上为增函数，在区间(，)上为减函数，函数f(x)在x处取极大值f()，在x处取极小值f()，f()，f()，函数f(x)在区间，上的最大值为f()，最小值为f().2.已知函数f(x)aln xx21.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)(a1)ln xax1在(1，)上恒成立，求a的取值范围.解(1)由题意得，f(x)2x(x0)，f(1)a2，又f(1)0，切线方程是y(a2)(x1)，即(a2)xya20.(2)由f(x)(a1)ln xax1得，axx2ln x，x1，ax恒成立.令g(x)x，则g(x)，令h(x)x2ln x1，则h(x)2x0，h(x)在(1，)上递增，而h(1)0，当x(1，)时，h(x)0，g(x)0，g(x)在(1，)上递增，g(x)g(1)1，当a1时，ag(x)恒成立，a的取值范围是(，1.3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2.(1)解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点.设a>0，则当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又f(1)e，f(2)a，取b满足b<0且b<ln，则f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在两个零点.设a<0，由f(x)0得x1或xln(2a).若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，)上单调递增.又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若a<，则ln(2a)>1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)<0；当x(ln(2a)，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明不妨设x1<x2.由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2<2等价于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)，所以当x>1时，g(x)<0，而g(1)0，故当x>1时，g(x)<0，从而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.4.已知函数f(x)ln xax2 (aR).(1)若f(x)在点(2，f(2)处的切线与直线x2y10垂直，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间1，e2上零点的个数.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xax2.f(x)ax，由于直线x2y10的斜率为，×1，a.(2)由(1)知f(x)ax.当a0时，f(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增.当a>0时，由f(x)>0，得x< ，由f(x)<0，得x>，f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减.综上所述：当a0时，函数f(x)的单调递增区间为 (0，)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，).(3)由(2)可知，当a<0时，f(x)在区间1，e2上单调递增，f(1)a>0， f(x)在区间1，e2上没有零点.当a0时，f(x)在区间1，e2上单调递增，f(1)a0，f(x)在区间1，e2上有一个零点.当a>0时，若1，即a1时，f(x)在区间1，e2上单调递减，f(1)a<0，f(x)在区间1，e2上没有零点.若1<<e2，即<a<1时，f(x)在1，上单调递增，在 ，e2上单调递减，f(1)a<0，f()ln a，f(e2)2ae4.若ln a<0，即a>时，f(x)在区间1，e2上没有零点；若ln a0，即a时，f(x)在区间1，e2上有一个零点；若ln a>0，即a<时，由f(e2)2ae4>0得a<，此时f(x)在区间1，e2上有一个零点.由f(e2)2ae40，得a ，此时f(x)在区间1，e2上有两个零点.若e2即0<a时，f(x)在区间1，e2上单调递增，f(1)a0，f(e2)2ae4>0，f(x)在区间1，e2上有一个零点.综上所述，当0a<或a时，f(x)在区间1，e2上有一个零点；当a<时，f(x)在区间1，e2上有两个零点；当a<0或a>时，f(x)在区间1，e2上没有零点.