压轴大题突破练(三) 函数与导数(1).docx

压轴大题突破练(三)函数与导数(1)1.已知函数f(x)(x22ax2)ex.(1)函数f(x)在x0处的切线方程为2xyb0，求a，b的值；(2)当a0时，若曲线yf(x)上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围.解(1)f(x)(x22ax2)ex，f(0)2e02，2b0，得b2.f(x)(x22ax22x2a)exx2(22a)x22aex，f(0)22a2，得a2，a2，b2.(2)f(x)x2(22a)x22aex，令h(x)f(x)，依题意知存在k使h(x)k有三个不同的实数根，h(x)(x22ax22x2a2x2a2)exx2(42a)x44aex，令h(x)x2(42a)x44aex0，得x12，x22a2.由a0知x1x2，则f(x)在(，2)，(2a2，)上单调递增，在(2，2a2)上单调递减.当x时，f(x)0，当x时，f(x)，f(x)的极大值为f(2)e2(2a2)，f(x)的极小值为f(2a2)e2a2(22a)，此时e2a2(22a)ke2(2a2).2.(2016·四川)设函数f(x)ax2aln x，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>e1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数).解(1)f(x)2ax(x>0).当a0时，f(x)<0，f(x)在(0，)内单调递减.当a>0时，由f(x)0，有x.此时，当x时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x时，f(x)>0，f(x)单调递增.(2)令g(x)，s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x>1时，s(x)>0，所以s(x)在区间(1，)内单调递增.又由s(1)0，有s(x)>0，从而当x>1时，g(x)>0.当a0，x>1时，f(x)a(x21)ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a>0.当0<a<时，>1.由(1)有f<f(1)0，而g>0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，)内不恒成立.当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1).当x>1时，h(x)2axe1x>x>>0.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增.又因为h(1)0，所以当x>1时，h(x)f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a.3.已知函数f(x)x2ln x.(1)求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)设函数g(x)f(x)x2ax，a0，若x(0，e时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e为自然对数的底数).解(1)f(x)x2ln x，f(x)2x.f(1)1.又f(1)1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1x1，即xy0.(2)函数f(x)x2ln x的定义域为(0，)，由f(x)2x0，得0x.函数f(x)x2ln x的单调递减区间是(0，).(3)g(x)axln x，g(x)，令g(x)0，得x.当e，即0a时，g(x)0在(0，e上恒成立，则g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)；当0e，即a时，列表如下： x(0，)(，e)eg(x)0g(x)极小值1ln aae1由表知，g(x)ming()1ln a3，ae2，满足条件.综上，所求实数ae2，使得当x(0，e时g(x)有最小值3.4.已知函数f(x)aln x2(a>0).(1)若曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线与直线yx2垂直，求函数yf(x)的单调区间；(2)若对x(0，)都有f(x)>2(a1)成立，试求实数a的取值范围；(3)记g(x)f(x)xb(bR)，当a1时，函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围.解(1)直线yx2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(1)1，解得a1，f(x)ln x2，f(x)，由f(x)>0得x>2，由f(x)<0得0<x<2，f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0，2).(2)f(x)(a>0)，由f(x)>0得x>，由f(x)<0得0<x<，f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)，当x时，f(x)取极小值，也就是最小值f(x)minf().对x(0，)都有f(x)>2(a1)成立，f()>2(a1)，即aln 2>2(a1)，aln >a，ln >1，0<a<，实数a的取值范围为(0，).(3)当a1时，g(x)ln xx2b(x>0)，g(x)，由g(x)>0得x>1，由g(x)<0得0<x<1.g(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间为(0，1)，当x1时，g(x)取得极小值g(1).函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，解得1<be1.b的取值范围是(1，e1.