2015年中考数学试卷分类汇编：圆(8)解析.docx

2015中考数学真题分类汇编：圆（8）一解答题（共30小题）1（2015哈尔滨）AB，CD是O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BFAD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G（1）如图1，当点E在O外时，连接BC，求证：BE平分GBC；（2）如图2，当点E在O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求线段AH的长2（2015恩施州）如图，AB是O的直径，AB=6，过点O作OHAB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CDOA，CEOH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且GCD=CED（1）求证：GC是O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CFDE于点F，若CED=30°，求CF的长3（2015福建）已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长4（2015湘潭）如图，已知AB是O的直径，过点A作O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作P，交O于点C，连接PC、OP、BC（1）知识探究（如图1）：判断直线PC与O的位置关系，请证明你的结论；判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论（2）知识运用（如图2）：当PAOA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tanABC的值5（2015鄂州）如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F（1）求证：AE为O的切线（2）当BC=8，AC=12时，求O的半径（3）在（2）的条件下，求线段BG的长6（2015河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（0°60°）发现：（1）当=0°，即初始位置时，点P直线AB上（填“在”或“不在”）求当是多少时，OQ经过点B（2）在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值7（2015成都）如图，在RtABC中，ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HGHB的值8（2015桂林）如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN9（2015吉林）如图，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形=R=lR通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高类比扇形，我们探索扇环（如图，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？10（2015广西）已知O是以AB为直径的ABC的外接圆，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F（1）求证：BD平分ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是O的切线；（3）如果AB=10，cosABC=，求AD11（2015上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CDAB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cosAOC=，设OP=x，CPF的面积为y（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE是直角三角形时，求线段OP的长12（2015宿迁）已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若=，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长13（2015北京）在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CP+CP=2r，则称P为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C的反称点P的示意图特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0（1）当O的半径为1时分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线y=x+2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围14（2015深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CGCE15（2015东莞）O是ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB（1）如图1，若D是线段OP的中点，求BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PHAB16（2015达州）在ABC的外接圆O中，ABC的外角平分线CD交O于点D，F为上点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：BCDAFD；（3）若ACM=120°，O的半径为5，DC=6，求DE的长17（2015温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作RtABQ，使BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作ABQ的外接圆O点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线ml，过点O作ODm于点D，交AB右侧的圆弧于点E在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF设AQ=3x（1）用关于x的代数式表示BQ，DF（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？作直线BG交O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）18（2015南宁）如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且AC=CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F（1）求证：CD是O的切线（2）若，求E的度数（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长19（2015无锡）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m5，2）（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由（2）当AOC与OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值20（2015苏州）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（ab4），半径为2cm的O在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着ABCD的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动，已知点P与O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点P从ABCD，全程共移动了cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点，若点P与O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（3）如图，已知a=20，b=10，是否存在如下情形：当O到达O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与O1恰好相切？请说明理由21（2015宁波）如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点以OM为直径的P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K（1）若点M的坐标为（3，4），求A，B两点的坐标；求ME的长（2）若=3，求OBA的度数（3）设tanOBA=x（0x1），=y，直接写出y关于x的函数解析式22（2015日照）阅读资料：如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2x1|2+|y2y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA2=|x0|2+|y0|2，当O的半径为r时，O的方程可写为：x2+y2=r2问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么P的方程可以写为综合应用：如图3，P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是P上一点，连接OA，使tanPOA=，作PDOA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB证明AB是P的切点；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的O的方程；若不存在，说明理由23（2015金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图（1）蜘蛛在顶点A处苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AGC和往墙面BBCC爬行的最近路线AHC，试通过计算判断哪条路线更近（2）在图3中，半径为10dm的M与DC相切，圆心M到边CC的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与M相切，试求PQ长度的范围24（2015长沙）如图，在直角坐标系中，M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且COD=CBO（1）求M的半径；（2）求证：BD平分ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为M的切线，求此时点E的坐标25（2015湖北）如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求ABC的面积26（2015宜昌）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点（1）求FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，求证：FD=FI；设AC=2m，BD=2n，求O的面积与菱形ABCD的面积之比27（2015永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值28（2015乐山）已知RtABC中，AB是O的弦，斜边AC交O于点D，且AD=DC，延长CB交O于点E（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F若CF=CD时，求sinCAB的值；若CF=aCD（a0）时，试猜想sinCAB的值（用含a的代数式表示，直接写出结果）29（2015株洲）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使CQD的面积为？（直接写出答案）（3）当CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQQD时（如图2），求AP的长30（2015连云港）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，P的半径为1（1）判断原点O与P的位置关系，并说明理由；（2）当P过点B时，求P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当P与x轴相切时，求出切点的坐标2015中考数学真题分类汇编：圆（8）参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015哈尔滨）AB，CD是O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BFAD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G（1）如图1，当点E在O外时，连接BC，求证：BE平分GBC；（2）如图2，当点E在O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求线段AH的长考点：圆的综合题分析：（1）利用圆内接四边形的性质得出D=EBC，进而利用互余的关系得出GBE=EBC，进而求出即可；（2）首先得出D=ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出BCEBGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tanABH=，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案解答：（1）证明：如图1，四边形ABCD内接于O，D+ABC=180°，ABC+EBC=180°，D=EBC，GFAD，AEDG，A+ABF=90°，A+D=90°，ABE=D，ABF=GBE，GBE=EBC，即BE平分GBC；（2）证明：如图2，连接CB，ABCD，BFAD，D+BAD=90°，ABG+BAD=90°，D=ABG，D=ABC，ABC=ABG，ABCD，CEB=GEB=90°，在BCE和BGE中，BCEBGE（ASA），CE=EG，AECG，AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交O于M，连接AM，CM是O的直径，MAC=90°，M=D，tanD=，tanM=，=，AG=4，AC=AG，AC=4，AM=3，MC=5，CO=，过点H作HNAB，垂足为点N，tanD=，AEDE，tanBAD=，=，设NH=3a，则AN=4a，AH=5a，HB平分ABF，NHAB，HFBF，HF=NH=3a，AF=8a，cosBAF=，AB=10a，NB=6a，tanABH=，过点O作OPAB垂足为点P，PB=AB=5a，tanABH=，OP=a，OB=OC=，OP2+PB2=OB2，25a2+a2=，解得：a=，AH=5a=点评：此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tanABH=是解题关键2（2015恩施州）如图，AB是O的直径，AB=6，过点O作OHAB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CDOA，CEOH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且GCD=CED（1）求证：GC是O的切线；（2）求DE的长；（3）过点C作CFDE于点F，若CED=30°，求CF的长考点：圆的综合题分析：（1）先证明四边形ODCE是矩形，得出DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出CED+MDC=90°，MDC=MCD，证出GCD+MCD=90°，即可得出结论；（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果；（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果解答：（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：OHAB，CDOA，CEOH，DOE=OEC=ODC=90°，四边形ODCE是矩形，DCE=90°，DE=OC，MC=MD，CED+MDC=90°，MDC=MCD，GCD=CED，GCD+MCD=90°，即GCOC，GC是O的切线；（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；（3）解：DCE=90°，CED=30°，CE=DEcosCED=3×=，CF=CE=点评：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论3（2015福建）已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长考点：圆的综合题分析：（1）如图，连接OQ利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度（2）如图，连接BC利用三角形中位线的判定与性质得到BCOQ根据圆周角定理推知BCAC，所以，OQAC（3）利用割线定理来求PQ的长度即可解答：解：（1）如图，连接OQ线段PQ所在的直线与O相切，点Q在O上，OQOP又BP=OB=OQ=2，PQ=2，即PQ=2；（2）OQAC理由如下：如图，连接BCBP=OB，点B是OP的中点，又PC=CQ，点C是PQ的中点，BC是PQO的中位线，BCOQ又AB是直径，ACB=90°，即BCAC，OQAC（3）如图，PCPQ=PBPA，即PQ2=2×6，解得PQ=2点评：本题考查了圆的综合题掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算4（2015湘潭）如图，已知AB是O的直径，过点A作O的切线MA，P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作P，交O于点C，连接PC、OP、BC（1）知识探究（如图1）：判断直线PC与O的位置关系，请证明你的结论；判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论（2）知识运用（如图2）：当PAOA时，直线PC交AB的延长线于点D，若BD=2AB，求tanABC的值考点：圆的综合题分析：（1）PC与O相切易证明PAOPCO，则PAO=PCO，由PA是O的切线，可知PAO=PCO=90°，即可证明结论；OPBC由（1）可知POA=POC，根据圆周角定理可知B=POA，根据同位角相等可证明OPBC（2）根据OPBC，可知，由BD=2AB，可知AD=6OA，OD=5OB，所以PD=5PC，设设PA=PC=R，OA=r，根据勾股定理列方程求出R与r的数量关系，即可在RtPAO中求出tanABC=tanPOA解答：（1）PC与O相切证明：如图1，连接OC，在PAO和PCO中，PAOPCO，PAO=PCO，PA是O的切线，AB是O的直径，PAO=PCO=90°，PC与O相切OPBC证明：PAOPCO，POA=POC，B=POA，OPBC（2）解：如图2，BD=2AB，BD=4OB，AD=6OA，OPBC，PD=5PC，设PA=PC=R，OA=r，AD=6r，PD=5R，PA2+AD2=PD2，R2+（6r）2=（5R）2解得：R=r，tanABC=tanPOA=，tanABC=点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题5（2015鄂州）如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F（1）求证：AE为O的切线（2）当BC=8，AC=12时，求O的半径（3）在（2）的条件下，求线段BG的长考点：圆的综合题分析：（1）连接OM利用角平分线的性质和平行线的性质得到AEOM后即可证得AE是O的切线；（2）设O的半径为R，根据OMBE，得到OMABEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得O的半径为3；（3）过点O作OHBG于点H，则BG=2BH，根据OME=MEH=EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2解答：（1）证明：连接OMAC=AB，AE平分BAC，AEBC，CE=BE=BC=4，OB=OM，OBM=OMB，BM平分ABC，OBM=CBM，OMB=CBM，OMBC又AEBC，AEOM，AE是O的切线；（2）设O的半径为R，OMBE，OMABEA，=即=，解得R=3，O的半径为3；（3）过点O作OHBG于点H，则BG=2BH，OME=MEH=EHO=90°，四边形OMEH是矩形，HE=OM=3，BH=1，BG=2BH=2点评：本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大6（2015河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（0°60°）发现：（1）当=0°，即初始位置时，点P在直线AB上（填“在”或“不在”）求当是多少时，OQ经过点B（2）在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值考点：圆的综合题分析：（1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，得到DOQ=ABO=45°，求得=60°45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+APOP，当OP过点A，即=60°时，等号成立，于是有APOPOA=21=1，当=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，得到POH=30°，求得=60°30°=30°，由于ADBC，得到RPO=POH=30°，求出RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由OAN=MBN=90°，ANO=BNM，得到AONBMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，求出x的取值范围是0x1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，于是得到KSO=KTB=90°，作KGOO于G，在RtOSK中，求出OS=2，在RtOSO中，SO=OStan60°=2，KO=2在RtKGO中，O=30°，求得KG=KO=，在RtOGK中，求得结果；当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin的值当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到=60°于是结论可求解答：解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，DOQ=ABO=45°，=60°45°=15°；（2）如图2，连接AP，OA+APOP，当OP过点A，即=60°时，等号成立，APOPOA=21=1，当=60°时，P、A之间的距离最小，PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，POH=30°，=60°30°=30°，ADBC，RPO=POH=30°，RKQ=2×30°=60°，S扇形KRQ=，在RtRKE中，RE=RKsin60°=，SPRK=RE=，S阴影=+；拓展：如图5，OAN=MBN=90°，ANO=BNM，AONBMN，即，BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，x的取值范围是0x1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，则KSO=KTB=90°，作KGOO于G，在RtOSK中，OS=2，在RtOSO中，SO=OStan60°=2，KO=2，在RtKGO中，O=30°，KG=KO=，在RtOGK中，sin=，当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin=；当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60°，sin=sin60，综上所述sin的值为：或或点评：本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键7（2015成都）如图，在RtABC中，ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，O是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH（1）求证：ABCEBF；（2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HGHB的值考点：圆的综合题分析：（1）由垂直的定义可得EBF=ADF=90°，于是得到C=BFE，从而证得ABCEBF；（2）BD与O相切，如图1，连接OB证得DBO=90°，即可得到BD与O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过BHFFHG，列比例式即可得到结论解答：（1）证明：ABC=90°，EBF=90°，DFAC，ADF=90°，C+A=A+AFD=90°，C=BFE，在ABC与EBF中，ABCEBF；（2）BD与O相切，如图1，连接OB证明如下：OB=OF，OBF=OFB，ABC=90°，AD=CD，BD=CD，C=DBC，C=BFE，DBC=OBF，CBO+OBF=90°，DBC+CBO=90°，DBO=90°，BD与O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，CBF=90°，BC=BF，CF=BF，DF垂直平分AC，AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，BF=，ABCEBF，BE=AB=1，EF=，BH平分CBF，EH=FH，EHF是等腰直角三角形，HF=EF=，EFH=HBF=45°，BHF=BHF，BHFFHG，HGHB=HF2=2+点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键8（2015桂林）如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点（1）如图1，求O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN考点：圆的综合题分析：（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出O的半径即可；（2）利用垂径定理得出OEBC，OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可解答：解：（1）如图1，连接OD，OC，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点，ODP=OCP=90°，四边形ABCD是O的内接正方形，DOC=90°，OD=OC，四边形DOCP是正方形，AB=4，ODC=OCD=45°，DO=CO=DCsin45°=×4=2；（2）如图1，连接EO，OP，点E是BC的中点，OEBC，OCE=45°，则E0P=90°，EO=EC=2，OP=CO=4，PE=2；（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，AB=BC，BF=BM，AF=MC，BFM=BMF=45°，AMN=90°，AMF+NMC=45°，FAM+AMF=45°，FAM=NMC，由（1）得：PD=PC，DPC=90°，DCP=45°，MCN=135°，AFM=180°BFM=135°，在AFM和CMN中，AFMCMN（ASA），AM=MN