辽宁省名校联考2023-2024学年高三上学期12月联合考试数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司 辽宁名校联考辽宁名校联考 20232024 学年度上学期高三学年度上学期高三 12 月联合考试卷月联合考试卷 数学数学 考生注意：考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、立体几何。本卷命题范围：函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、立体几何。一一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1若复数 z 满足13i zi，则z（）A5 B5 C2 5 D20 2若角的终边上有一点2,Pm，且5sin5，则m（）A4 B1 C4 D1 3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，能使abab一定成立的是（）A2 ab B22ab C2ab Dab 4已知 l，m 是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，l，m，则lm B若m，则 m C若lm，l，m，则 D若，且 l 与所成的角和 m 与所成的角相等，则lm 5已知等比数列 na的前 n 项和为nS，若4814SS，则1648SSS（）A8 B9 C16 D17 6在三棱锥DABC中，点 E，F，G，H 分别在 AB，BC，CD，DA 上，且EFGH，则下列说法中正 学科网（北京）股份有限公司 确的是（）A直线 EH 与 FG 一定平行 B直线 EH 与 FG 一定相交 C直线 EH 与 FG 可能异面 D直线 EH 与 FG 一定共面 7若eln aa，elnbb，eln cc，则（）Aabc Bacb Cbca Dbac 8已知0a，且1a，函数3,2,(),2,xax xf xaa x若关于 x 的方程 1fx有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是（）A0,1 B151,2+C151,2+D1,5 二二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知函数231()sin2sin22f xxx，则下列说法正确的是（）A函数 fx的最小正周期为 B函数 fx的图象的一条对称轴方程为6x C函数 fx的图象可由sin2yx的图象向左平移12个单位长度得到 D函数 fx在区间0,3上单调递增 10已知等差数列 na的前 n 项和为nS，当且仅当12n时nS取得最大值，则满足0KS的最大的正整数 k可能为（）A22 B23 C24 D25 11已知 fx为定义在 R 上的偶函数且 fx不是常函数，11F xfx，11g xfx，若 g x是奇函数，则（）A yfx的图象关 1,1对称 B()4fxf x C F x是奇函数 D F x与 g x关于原点对称 12 在ABC中，三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，1sinsinsin8ABC，16 2abc，则（）AABC的面积为 2 BABC外接圆的半径为2 2 学科网（北京）股份有限公司 C4ab D21132sinsinsin+CAB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13圆心角为 2 的扇形的周长为 4，则此扇形的面积为_ 14已知向量a，b满足3 4,5 5=a，1=b，3+=ab，则,a b的夹角为_ 15如图，在棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，P 是底面 ABCD 内的一点（包含边界），且11B PD E，则线段 BP 的长度的取值范围是_ 第 15 题图 16如图，在直三棱柱111ABCABC中，13=AA，6=BC，3 2=ABAC，P 为线段11AB上的一点，且二面角ABCP的正切值为 3，则三棱锥11AAC P的外接球的体积为_ 第 16 题图 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文宝说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文宝说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）学科网（北京）股份有限公司 已知角,0,2a，tan2=，10sin()10=（1）求cos2的值；（2）求角 18（本小题满分 12 分）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，县6 2=a，()sinsinsinsin=+aAbBcBC（1）证明：ABC是钝角三角形；（2）AD 平分BAC，且交 BC 于点 D，若1=AD，求ABC的周长 19（本小题满分 12 分）已知函数()1+=xf xe，若函数()=yf x的图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 都在函数()g x的图象上 （1）求函数()g x的解析式；（2）若存在)0,1x，使()()+fxxgm成立，求实数 m 的取值范围 20（本小题满分 12 分）已知数列 na满足12=a，且*1*2,21,2,2,.+=+=NNnnna nkkaank k（1）若212=+nnba，证明：数列 nb是等比数列；（2）求数列 na的前 n 项和nS 21（本小题满分 12 分）如图 1，在ABC中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，2 5=ABAC，4=BC，将ADE沿 DE 折起到1ADE的位置，使得平面1ADE平面 BCED，如图 2，点 F 是线段1AB上的一点（不包含端点）学科网（北京）股份有限公司（1）求证：1AOBD；（2）若直线 EC 和平面 DEF 所成角的正弦值为45，求三棱锥1ADEF的体积 22（本小题满分 12 分）已知函数()elog=af xaxax，0a且1a（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有且仅有两个零点，求 a 的取值范围 辽宁名校联考高三辽宁名校联考高三 12 月联合考试数学月联合考试数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1A 因(1 i)3i+=z，所以3i(3i)(1 i)1 2i1 i(1 i)(1 i)=+z，所以221(2)5=+=z故选 A 2B 由已知，得225sin5(2)=+mm，解得1=m故选 B 3C 若使=abab成立，则a与b方向相同故选 C 4C 若，l，m，则 l 与 m 可能平行，可能相交，可能异面，故 A 错误；若m，则 m 可能在内，故 B 错误；若lm，l，m；则，故 C 正确；若，且 l 与所成的角和 m 与所成的角相等，则 l 与 m 异面或相交，故 D 错误故选 C 5A 设4()0=Sx x，则84=Sx，因为 na为等比数列，所以4841281612,SSSSS SS仍成等比数列 因为84443=SSxxSx，所以12816129,27,=SSxSSx所以121613,40,=SxSx 故16484084=+SxSSxx故选 A 6D 由于EFGH，所以 E，F，G，H 四点确定一个平面 EFGH，因此直线 EH 与 FG 一定共面，故 D正确，C 错误；学科网（北京）股份有限公司 只有当EFGH且=EFGH时，此时四边形 EFGH 为平行四边形，此时EHGF，故 A 不正确；7B 在同一直角坐标系中作出xye=，xye=，lnyx=，lnyx=的图象，由图象可知acb故选 B 8B 当01a时，2213(2)11024faaa=，即(2)1f，321a时，321a，()fx的大致图象如图：因为关于 x 的方程()1f x=有两个不相等的实数根，所以()fx的图象与直线1y=有两个交点，由图可知 2(2)1faa=，解得1512a+，公差0d，130a，12424121324()12()2aaSaa+=+，125251325()2502aaSa+=，故25n 时，0nS 时，240S，则满足0kS 的最大的正整数 k 为 24；当12130aa+，240S，则满足0kS 的最大的正整数 23，故满足0kS 的最大的正整数 k 可能为 23 与 24故选 BC 11ABC 由题意，得()()0g xgx+=，即(1)1(1)10f xfx+=，整理，得(1)(1)2f xfx+=，所以()yfx=的图象关于()1,1对称，故 A 正确；又()fx为偶函数，则()(2)()(2)2f xf xf xfx+=+=，所以(2)(4)2f xf x+=，()(4)f xf x=，所以()(4)f xf x=+，故 B 正确；()()(1)1(1)10F xFxfxfx+=+=，故 C 正确；因为()()Fxg x=，所以()F x与()g x关于 y 轴对称，不关于原点对称，故 D 错误故选 ABC 12ABD 设ABC外接圆的半径为 R，由正弦定理得 3(2)128 2sinsinsinabcRABC=，得2 2R=，B 正确；ABC的面积111 16 2sin222224 2cSabCabR=，A 正确；由选项 A 的解析可知1sin22SabC=，44sinabC=，C 错误；因为sin0A，sin0B，所以2(sinsin)4sinsinABAB+，所以22(sinsin)4(sinsin)sinsinABABAB+学科网（北京）股份有限公司 由1sinsinsin8ABC=，得432sinsinCAB=，22(sinsin)32sin(sinsin)ABCAB+，即21132sinsinsinCAB+，D 正确故选 ABD 13 1 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则24lr+=，又2lr=，所以1r=，2l=，扇形的面积112Sl r=14因为3ab+=，所以22221 123ababa ba b+=+=+=，解得12a b=，所以1cos,2a ba bab=，又,0,a b，所以向量,a b的夹角为3 1512 5,65以 D 为原点以DA，DC，1DD所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1(4,4,4)B，(2,4,0)E，1(0,0,4)D，设(,0)P x y(04,04)xy 则1(4,4,4)PBxy=，(2,4,4)ED=，又11B PD E，所以110PB ED=，即2(4)4(4)4 40 xy+=，则240 xy+=当0 x=时，2y=，设()0,2,0F，所以点 P 在底面 ABCD 内的轨迹为一条线段 AF，所以22221|(4)(4)45832B Pxyyy=+=+，02y，所以1max6B P=，1min12 55B P=，以线段 BP 的长度的取值范围是12 5,65 学科网（北京）股份有限公司 1635 356如图，作1PMAA，交 AB 于 M，则13PMAA=，过 M 作MNBC交 BC 于点 N，连接 PN 易得PM 平面 ABC，则PNM是二面角 A-BC-P 的平面角，所以tan3PMPNMMN=，所以1MN=，又3 2ABAC=，6BC=，所以2MB=，所以2 2AM=，12 2AP=可把三棱锥11AAC P补成棱长为3 2，2 2，3 的长方体，则三棱锥11AAC P的外接球的半径为()()2223 22 233522+=，所以三棱锥11AAC P的外接球的体积为343535 35326=17解：（1）由tan2=，得sin2cos=，代入22cossin1+=，得25cos1=，又0,2；所以5cos5=，2 5sin5=则2253cos22cos12155=（2）由0,2，0,2，得,02，,2 2 又10sin()10=，所以3 10cos()10=学科网（北京）股份有限公司 则sinsin()sincos()cossin()=2 53 1051025105102=又0,2，所以4=18（1）证明：在ABC中，sinsin(sinsin)aAbBcBC=+，由正弦定理，得222abbcc=+，即222bcabc+=，由余弦定理，得2221cos22bcaAbc+=，因为0A，所以23A=，所以ABC是钝角三角形（2）解：因为13sin24ABCSbcAbc=，且()1131sin1sin23234ABCABDACDSSScbbc=+=+=+，所以bcbc=+，由余弦定理，得222272()272()2()721cos222()2bcbcbcbcbcAbcbcbc+=+，解得9bc+=（负值舍去），所以ABC的周长为6 29+19解：（1）设(,)Q x y为()g x图象上任意一点，则(,)Pxy是点 Q 关于原点的对称点，因为(,)Pxy在()fx的图象上，所以1xye+=，即1xye+=，故()1xg xe+=，（2）()()f xg xm+，即11xxeem+设()11xxF xee+=，易知()F x在(0,1上是增函数，所以()()211F xFe=，可得2 1me 故实数 m 的取值范围是()2,1e 学科网（北京）股份有限公司 201 证明。因为12a=，212nnba=+，所以1124ba=+=，2(1)11221212121222242222nnnnnnnnabaabaaa+=+，所以数列 nb是以 4 为首项，2 为公比的等比数列（2）解：由（1）知112124 22nnnnba+=+=，所以21 3122212222nnna+=，所以当21nk=，*kN时，32222nna+=当2nk=，*kN时，1213124()()nnnnSaaaaaaaaa=+=+=131131131()(222)3()nnnaaaaaaaaa+=+1 31 3232322223(222222)3(222)3nnn+=+=+2224(1 2)333 23121 2nnnn+=当21nk=，*kN时，13 372222211123 23(1)122(22)2311nnnnnnnnSSaSann+=+=综上，7*2*22311,21,3 2312,2,.nnnnnkkSnnk k+=NN 21（1）证明：在ABC中，D，E 分别为 ABAC 的中点，所以DEBC，ADAE=，所以11ADAE=，又 O 为 DE 的中点，所以1AODE 因为平面1ADE 平面 BCED，平面1ADE平面BCEDDE=，1AO平面1ADE，学科网（北京）股份有限公司 所以1AO 平面 BCED，又BD 平面 BCED，所以1AOBD（2）解：取 BC 的中点 G，连接 OG，所以OEOG 以 O 为坐标原点，OG，OE，1OA所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,2)A，(0,1,0)D，(0,1,0)E，(2,2,0)B，(2,2,0)C，所以()12,2,2BA=设1(2,2,2)(2,2,2)(01)BFBA=，所以(2,1,0)(2,2,2)(22,21,2)DFDBBF=+=+=，又(0,2,0)DE=，设平面 DEF 的一个法向量为(),nx y z=，所以20,(22)(21)20,n DEyn DFxyz=+=令x=，解得0y=，1z=，所以平面 DEF 的一个法向量为(),0,1n=，又()2,1,0EC=，设直线 EC 和平面 DEF 所成角的大小为，所以()22222224sincos,55221211n ECn ECn EC=+，解得23=或2=（舍），所以123BFBA=所以11111111142 2 2333329ADEFFA DEB AEADBDEVVVV=，即三棱锥1ADEF的体积为49 22解：（1）ln()lnlneaxaefxaxaxa=，当01a在()0,+上恒成立，()fx在()0,+上单调递增，当1a 时，令()0fx=，则lnexaa=，学科网（北京）股份有限公司 所以当0,lnexaa时，()0fx，()fx单调递增 综上所述，当01a时，()fx在0,lneaa上单调递减，()fx在,lneaa+上单调递增（2）由（1）知，当01a时，()fx在lnexaa=处取得极小值，且0 x，()f x +，x +，()f x +，所以ln1ln1ln(ln)ln0lnlnlnlneeeeaafaeaaaaaaaaaa=，设lntaa=，即ln 0ett，()g t单调递增；当(),te+时，()0g t，()g t单调递减 所以当te=时，()g t取得极大值，()0g e=，所以(0,e)(e,)t+，即0lnaae，设()lnh aaa=，则()ln1h aa=+，当1a 时，()0h a，所以()h a在()1,+上单调递增，又()h ee=，所以1ae，综上所述，a 的取值范围是()()1,ee+
