备战2021年九年级中考数学考点训练-函数专题：一次函数综合(四)及答案.docx

备战2021年九年级中考数学考点训练函数专题：一次函数综合（四）1如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平面四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（9，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点C的坐标为 直线l的解析式为 （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）随着PQ两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？2如图，一次函数yk2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数yk1x的图象相交于点A（4，3），且OAOB（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）点P在x轴上，且POA是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标3如图，在平面直角坐标系中，直线ykx+b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，BAC90°（1）求直线ykx+b的解析式；（2）求出ABC的面积；（3）若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连结PA，PB当ABC与ABP面积相等时，求m的值4如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线交y轴正半轴于点B（0，4），过点C（0，3）作直线AB的垂线，交x轴于点D（1）求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，求ABD的面积；（3）点P是x轴上一点，是否存在这样的点P，使PCD为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）D是AB边上一点（不与点A、B重合），将BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处（1）求直线AC所表示的函数的表达式；（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求OEA的面积6如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4）；D为AB边上的动点（）如图1，将ABC对折，使得点B的对应点B落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标：（）如图2，将ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的解析式；（）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得APC与ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图，直线l1：y3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，1.5），并与直线l2交于点D（1）求直线l2的函数解析式；（2）求ABD的面积；（3）在平面内是否存在点E，使以A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由8已知，如图直线l1与直线l2分别与x轴交于点A、B，已知OB2OA，l1，l2交于第一象限的点C（1，3），且ABC是等边三角形（1）求直线l1与直线l2的解析式；（2）点D是线段AB上的一动点，过点D作DEAC交BC于E，连结DC，当CDE的面积最大时，求点D的坐标；（3）取在（2）中CDE的面积最大时的点D，在直线l1与直线l2上取点M、N，以点D、M、N为顶点构成的DMN能否构成等腰直角三角形，若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由9如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线yx过点A，过点A作ADy轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点，连接AB，过点A作ACAB交x轴于点C（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：ABAC；（2）如图2，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明理由；当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，直接写出OA、OB、OC之间的数量关系；（3）直线BC分别与直线AD、直线yx交于点E、F若BE5，CF12，画出符合条件的图形，并直接写出AB的长10八年级数学兴趣小组的同学在一起研究数学问题：已知直线y2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰RtABC，请你参与解决以下问题：（1）如图1，请求出点C的坐标；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若ADAC，设ABC的面积为S1，ADE的面积为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；（3）如图3，设直线AC交x轴于M，P（2.5，k）是线段BC上一点，在线段BM是否存在一点N，使直线PN平分BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）由题意知：点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（9，4），且OABC，故C点坐标为C（3，4），设直线l的解析式为ykx，将C点坐标代入ykx并解得k，直线l的解析式为yx；故答案为：（3，4），yx；（2）根据题意，得OPt，AQ2t分三种情况讨论：当0t时，如图1，M点的坐标是（t，t）过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，则AEQODC，即，AE，EQ，Q点的坐标是（6+t，），PE6+t6+t，SMPPE××（6+）+4t；当t3时，如图2，过点Q作QFx轴于F，BQ2t5，OF9（2t5）142t，Q点的坐标是（142t，4），PF162tt163t，SMPPFt（143t）2t2+t；当点Q与点M相遇时，162tt，解得t当3t时，如图3，MQ162tt163t，MP4SMPMQ4（163t）6t+32，S；（3）当M点在线段CB上运动时，点Q一定在线段CB上，点Q在点M右侧，QMxQxM162tt163t，NMNPMPt4，则有163tt4 解得t；点Q在点M左侧，QMxMxQ3t16，NMNPMPt4，则有3t16t4 解得t，但是，点Q的运动时间为（5+8）÷26.5秒，故将舍去当t时，QMN为等腰三角形2解：（1）正比例函数yk1x的图象经过点A（4，3），4k13，k1，正比例函数解析式为yx如图1中，过A作ACx轴于C，在RtAOC中，OC4，AC3，AO5，OBOA5，B（0，5），解得，一次函数解析式为y2x5；（2）如图1中，过A作ADy轴于D，A（4，3），AD4，SAOBOBAD×5×410；（3）如图2中，当OPOA时，P1（5，0），P2（5，0），当AOAP时，P3（8，0），满足条件的点P的坐标（5，0）或（5，0）或（8，0）3解：（1）设直线AB所在的表达式为：ykx+b，则，解得，故直线l的表达式为：yx+2；（2）在RtABC中，由勾股定理得：AB2OA2+OB232+2213，ABC为等腰直角三角形，SABCAB2；（3）连接BP，PO，PA，若点P在第一象限时，如图1：SABO3，SAPOm，SBOP1，SABPSBOP+SAPOSABO，即1+m3，解得m；若点P在第四象限时，如图2：SABO3，SAPOm，SBOP1，SABPSAOB+SAPOSBOP，即3m1，解得m3，故当ABC与ABP面积相等时，m的值为或34解：（1）B（0，4），A（2，0），设直线AB的解析式为ykx+b，则，解得，直线AB的解析式为y2x+4；（2）将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C，设直线CD的解析式为：yx+b，C（0，3），b3，直线CD的解析式为：yx+3，令y0，可得：x6，D（6，0），ABD的面积16；（3）设点P（x，0），由P、C、D的坐标得：PC2x2+9，CD262+3245，PD2（x6）2，当PCCD时，即x2+945，解得x6或6（舍去）；当PCPD时，同理可得：x0；当CDPD时，同理可得：x6±3；综上，点P的坐标为（6，0）或（0，0）或（6+3，0）或（63，0）5解：（1）点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8），设AC的表达式为ykx+b，把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，直线AC所表示的函数的表达式是；（2）点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8），OA6，OC8RtAOC中，AC，四边形OABC是矩形，B90°，BC6，AB8，沿CD折叠，CED90°，BDDE，CE6，AE4，AED90°，设BDDEa，则AD8a，RtAED中，由勾股定理得：AE2+DE2AD2，42+a2（8a）2，解得a3，点D的坐标为（6，5）；（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，ENOC，EMOA，OCOA，ENONOMOME90°，四边形OMEN是矩形，EMON当ECEO时，ECEO，NEOC，ONOC4EM，OEA的面积×OA×EM×6×412；当OEOC时，ENOC，ENCENO90°，设ONb，则CN8b，在RtNEC中，NE2EC2CN2，在RtENO中，NE2EO2ON2，即62（8b）282b2，解得：b，则EMON，OEA的面积×OA×EM×6×；故OEA的面积为12或6解：（）设D（3，b），根据折叠的性质可得BDBD4b，由勾股定理，得AC5，由三角形的面积，得SACDADBCACBD，即×3b×5×（4b）解得b，即D（3，）；（）由折叠可知：CDAD，设ADx，则CDx，BD4x，由题意得，（4x）2+32x2，解得x，此时AD，D（3，），设直线CD为ykx+4，把D坐标代入上式解得k，直线CD的解析式为yx+4；（）当点P与点O重合时，APCCBA，此时P（0，0）；当点P在第一象限时，如图1，由APCCBA得：APBC3，CPAB90°，CDBADP，CBDAPD（AAS），CDAD，BDPD，设：BDPDx，则CDDA4x，而BC3，在RtBCD中，由勾股定理得：（4x）2x2+9，解得：x，则AD4x，由SADPAD×PQDP×AP得：×PQ×3，解得：PQ，而AQ，故点P的坐标为（，）；当点P在第二象限时，如图2，同理可求得：故点P（，）；综合得，满足条件的点P有三个，为（0，0）或（，）或（，）7解：（1）设直线l2的表达式为ykx+b，则，解得，故直线l2的表达式为y1.5x6；（2）对于y3x+3，令y0，则3x+30，解得x1，故点A（1，0），则AB3，联立l1、l2的表达式得，解得，故点D（2，3），ABD的面积×AB×|yD|×3×3；（3）存在，理由：当AB是边时，则DEAB3，而点D（2，3），故点E（5，3）或（1，3）；当AB是对角线时，由中点公式得：（1+4）（2+xE）且（0+0）（3+yE），解得，故点E（3，3），综上，点E的坐标为（5，3）或（1，3）或（3，3）8解：（1）ABC是等边三角形，故直线AC的倾斜角为60°，故设直线l1的表达式为yx+b，将点C的坐标代入得：3+b，解得b2，故直线l1的表达式为yx+2，令y0，即yx+20，解得x2，故点A（2，0），同理可得直线l2的表达式为yx+4，点B（4，0）；答：直线l1的表达式为yx+2，直线l2的表达式为yx+4；（2）设点D（m，0），DEAC，则直线DE表达式中的k值为，故设直线DE的表达式为yx+m，联立并解得，故点E的坐标为（，）；则CDE的面积SBDCSBDEBD×（yCyE）×（4m）×（3）（m22m8），0，故CDE的面积有最大值，此时m1，即点D（1，0）；（3）设点M、N的坐标分别为（m，m+2）、（n，n+4）；当NMD为直角时，MNMD，过点M作y轴的平行线交x轴于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，HMN+HNM90°，HMN+GMD90°，GMDHNM，MGDNHM90°，MGDNHM（AAS），GDHM，HNGM，即1mn+4m2且m+2nm，解得m，故点M（，）；当MND为直角时，同理可得，点M（，）；当MDN为直角时，同理可得：MGDDHN（AAS），MGDN，GDHN，即n1m+2且1mn+4，解得m，故点M的坐标为（，），综上，点M的坐标为M（，）或（，）或（，）9解：（1）如图1，过点A作AHx轴于H，直线yx过点A，AODAOH45°，ADOB，ADAH，DOHADOAHO90°，四边形ADOH是正方形，DAH90°，ABAC，BAC90°DAH，DABHAC，ADBAHC（ASA），ABAC；（2）OA、OB、OC之间的数量关系为：OA（OB+OC），理由是：如图2，过点A作AHx轴于H，同理得：ADBAHC（ASA），ABAC，BDCH，OB+OCOD+BD+OHCH2OD+BDBD2OD，OD（OB+OC），AOD是等腰直角三角形，OAOD（OB+OC）；OA、OB、OC之间的数量关系为：OA（OBOC），理由是：如图3，过点A作AHx轴于H，方法同（1）得：四边形ADOH是正方形，ADBAHC（ASA），ABAC，BDCH，OBODBDOC+OHCH，即OBOCOD+OH2OD，AOD是等腰直角三角形，OAOD，OBOC2ODOA，即OAOA（OBOC）；（3）分三种情况：当点B在线段OD上时，如图4，将AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为ABF'，连接EF'，BF'CF12，ACBABCABF'45°，CBF'ABC+ABF'90°，EBF'90°，BE5，EF'13，F'AO90°，FAEF'AE45°，AEAE，AFAF'，AEFAEF'（SAS），EFEF'13，BFEFEB1358，BCBF+FC8+1220，由（1）得：ABC是等腰直角三角形，ABBC10；当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的正半轴上，如图5，同，旋转AFC到AF'B，EBF'90°，EF'13EF，BCBE+EF+CF5+13+1230，等腰直角三角形直角边AB15；当点B在OD的延长线上时，且点C在x轴的负半轴上，如图6，过B作BF'BE于点B，截取BF'CF12，连接EF'，AF'，BE5，ABF'ACF135°，EF'13，ABAC，ABF'ACF（SAS），AF'AF，BAF'CAF，BACF'AF90°，EAF45°，EAF45°EAF'，AEAE，EAFEAF'（SAS），EFEF'13，ECEFCF13121，BCBE+EC1+56，AB3；综上，AB的值为10或15或310解：（1）令x0，则y2，令y0，则x2，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（1，0），过点C作CHx轴于点H，HCB+CBH90°，CBH+ABO90°，ABOBCH，CHBBOA90°，BCBA，CHBBOA（AAS），BHOA2，CHOB，则点C（3，1）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+b得：，解得，故直线AC的表达式为：yx+2；ADAC，ABBC，则BCBD，故SABCSABD，由C、D的坐标，同理可得直线CD的表达式为：yx，则点E（0，），直线AD的表达式为：y3x+2，联立并解得：x1，即点D（1，1），点B、E、D的坐标分别为（1，0）、（0，）、（1，1），故点E是BD的中点，S2SABDSABCS1，故S12S2；（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx，将点P坐标代入直线BC的表达式得：k，直线AC的表达式为：yx+2，则点M（6，0），SBMCMB×yC×5×1，SBPNSBCMNB×kNB，解得：NB，则ON，BNBM，故点N在线段MB上，故点N（，0）