备战2021年九年级中考复习数学考点训练-几何专题：《圆的综合》(四)及答案.docx

备战2021年九年级中考数学考点训练几何专题：圆的综合（四）1（1）初步思考：如图1，在PCB中，已知PB2，BC4，N为BC上一点且BN1，试证明：PNPC（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PDPC的最大值2如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与O交于点D，E为O上一点，且满足EACACB，连接BD，BE（1）求证：ABE2CBD；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE6，BF，求O的半径长3如图，ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F（1）若CADAED，求证：AC为O的切线；（2）若DE2EFEA，求证：AE平分BAD；（3）在（2）的条件下，若AD4，DF2，求O的半径4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作ACAB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF（1）求线段AE的长；（2）若ABBO2，求tanAFC的值；（3）若DEF与AEB相似，求EF的值5如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与O交于点F，延长BA到点G，使得BGFGBC，连接FG（1）求证：FG是O的切线；（2）若O的半径为4当OD3，求AD的长度；当OCD是直角三角形时，求ABC的面积6如图，在矩形ABCD中，AB6，BC9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作ECD的外接O，交AD于点F，交AE于点G，连接FG（1）求证AFGAED；（2）当BE的长为 时，AFG为等腰三角形；（3）如图，若BE1，求证：AB与O相切7如图 RtABC中，ABC90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE（1）当时，若130°，求C的度数；求证ABAP；（2）当AB15，BC20时是否存在点P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在CPH内，则CP的取值范围为 （直接写出结果）8已知：ABC是O的内接三角形，AB为直径，ACBC，D、E是O上两点，连接AD、DE、AE（1）如图1，求证：AEDCAD45°；（2）如图2，若DEAB于点H，过点D作DGAC于点G，过点E作EKAD于点K，交AC于点F，求证：AF2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若CDFGAD，DK3，求O的半径9如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是O外一点且满足DCAB，连接AD（1）求证：CD是O的切线；（2）若ADCD，AB10，AD8，求AC的长；（3）如图2，当DAB45°时，AD与O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明10如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC上的一点，且BEBF，连接DE（1）求证：DAFDCE（2）求证：DE是O的切线（3）若BF2，DH，求四边形ABCD的面积参考答案1（1）证明：如图1，PB2，BC4，BN1，PB24，BNBC4PB2BNBC又BB，BPNBCPPNPC；（2）如图2，在BC上取一点G，使得BG1，（3）同（2）中证法，如图3，取BG1，当点P在DG的延长线上时，PDPC的最大值，最大值为2解：（1）AB是O的直径，ADB90°，即DAB+DBA90°，BM是O的切线，ABBC，ABC90°，即CBD+DBA90°，DABCBD，ABC90°，ACB90°BAC，EACACB，EAC90°BAC90°（EACBAE），BAE2EAC90°，AB是直径，AEB90°，ABE90°BAE90°（2EAC90°）2（90°EAC）2（90°ACB）2CAB2CBDABE2CBD；（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，DOB2BAD，ABE2CAB，DOBABE，DGBE，AGOAEB90°，AGEGAE3，AOGDOF，OAOD，AOGDOF（AAS）DFAG3，又OFOBBFOD，在RtDOF中，根据勾股定理，得OD2DF2+OF2，即OD232+（OD）2，解得OD答：O的半径长为3证明：（1）AB是直径，BDA90°，DBA+DAB90°，CADAED，AEDABD，CADABD，CAD+DAB90°，BAC90°，即ABAC，且AO是半径，AC为O的切线；（2）DE2EFEA，且DEFDEA，DEFAED，EDFDAE，EDFBAE，BAEDAE，AE平分BAD；（3）如图，过点F作FHAB，垂足为H，AE平分BAD，FHAB，BDA90°，DFFH2，SABFAB×FH×BF×AD，2AB4BF，AB2BF，在RtABD中，AB2BD2+AD2，（2BF）2（2+BF）2+16，BF，BF2（不合题意舍去）AB，O的半径为4解：（1）点A（0，4），AO4，AD是Q的直径，AEBAED90°，AEBAOB90°，BA垂直平分CD，BCBDABOABE在ABE和ABO中，ABEABO（AAS）AEAO4；（2）设BOx，则ABx+2，在RtABO中，由AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2，解得：x3，OBBE3，AB5，EAB+ABE90°，ACB+ABC90°，EABACB，BFAAFC，BFAAFC，设EFx，则AF4+x，BF（4+x），在RtBEF中，BE2+EF2BF2，32+x2（4+x）2，解得：x，即EF，tanAFC；（3）当DEFAEB时，BAEFDE，ADEFDE，BD垂直平分AF，EFAE4；当DEFBEA时，ABEFDE，ABDF，ADFCAB90°，DF相切Q，DAEFDE，设Q交y轴于点G，连接DG，作FHDG于H，如图所示：则FDHDAG，四边形OGHF是矩形，OGFH，ABEABO，OABEAB，ABAD，DAECAO，CAODAE，DAEDAE，DAEDAGFDEFDH，AGAE4，EFFHOGAO+AG4+48，综上所述，若DEF与AEB相似，EF的值为4或85（1）证明：连接AF，BF为O的直径，BAF90°，FAG90°，BGF+AFG90°，ABAC，ABCACB，ACBAFB，BGFABC，BGFAFB，AFB+AFG90°，即OFG90°，又OF为半径，FG是O的切线；（2）解：连接CF，则ACFABF，ABAC，AOAO，BOCO，ABOACO（SSS），ABOBAOCAOACO，CAOACF，AOCF，半径是4，OD3，DF1，BD7，3，即CDAD，ABDFCD，ADBFDC，ADBFDC，ADCDBDDF，ADCD7，即AD27，AD（取正值）；ODC为直角三角形，DCO不可能等于90°，存在ODC90°或COD90°，当ODC90°时，ACOACF，ODDF2，BD6，ADCD，ADCDAD212，AD2，AC4，SABC×4×612；当COD90°时，OBOC4，OBC是等腰直角三角形，BC4，延长AO交BC于点M，则AMBC，MO2，AM4+2，SABC×4×（4+2）8+8，ABC的面积为12或8+86（1）证明：四边形FGED是O的内接四边形，FGE+ADE180°，AGF+FGE180°，AGFADE，又GAFDAE，AFGAED；（2）解：由（1）得：AFGAED，当AED为等腰三角形时，AFG为等腰三角形，连接EF，如图所示：四边形ABCD是矩形，AB6，BC9，CDAB6，ADBC9，BADABCBCDADC90°，O是ECD的外接圆，ECD90°，DE是O的直径，DFE90°，AFE180°DFE180°90°90°，BAFABEAFE90°，四边形ABEF是矩形，AFBE，EFAB6，AED为等腰三角形，分三种情况：当AEDE时，DFE90°，AFDFAD×9，BEAF；当DEAD9时，在RtDCE中，由勾股定理得：CE3，BEBCCE93；当AEAD9时，在RtABE中，由勾股定理得：BE3；综上所述，当BE的长为或93或3时，AFG为等腰三角形，故答案为：或93或3；（3）证明：过O作OHAB于点H，反向延长OH交CD于点I，如图所示：则AHI90°， 四边形ABCD是矩形，CDAB6，BCDBADADC90°，AHIBADADC90°，四边形AHID为矩形，HIAD9，OID90°，ECDOID，OICE，BCD90°，DE为直径，ODOE，OI是DCE的中位线，DICD3，OIEC，BE1，BC9，EC8，OI×84，OHHIOI945，在RtDEC中，由勾股定理得：DE10，O的半径OD5OH是O的半径，又OHAB，AB与O相切7（1）解：连接BE，如图1所示：BP是直径，BEC90°，130°，50°，100°，CBE50°，C40°；证明：，CBPEBP，ABE+A90°，C+A90°，CABE，APBCBP+C，ABPEBP+ABE，APBABP，APAB；（2）解：由AB15，BC20，由勾股定理得：AC25，ABBCACBE，即×15×20×25×BEBE12，连接DP，如图11所示：BP是直径，PDB90°，ABC90°，PDAB，DCPBCA，CPCD，BDE是等腰三角形，分三种情况：当BDBE时，BDBE12，CDBCBD20128，CPCD×810；当BDED时，可知点D是RtCBE斜边的中线，CDBC10，CPCD×10；当DEBE时，作EHBC，则H是BD中点，EHAB，如图12所示：AE9，CEACAE25916，CHBCBH20BH，EHAB，即，解得：BH，BD2BH，CDBCBD20，CPCD×7；综上所述，BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7；当点Q落在CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示：连接OD、OQ、OE、QE、BE，由对称的性质得：DE垂直平分OQ，ODQD，OEQE，ODOE，ODOEQDQE，四边形ODQE是菱形，PQOE，PB为直径，PDB90°，PDBC，ABC90°，ABBC，PDAB，DEAB，OBOP，OE为ABP中位线，PEAE9，PCACPEAE25997；当点Q落在CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：连接OD、OQ、OE、QD，同理得：四边形ODQE是菱形，ODQE，连接DF，DBA90°，DF是直径，D、O、F三点共线，DFAQ，OFBA，OBOF，OFBOBFA，PAPB，OBF+CBPA+C90°，CBPC，PBPCPA，PCAC12.5，7CP12.5，故答案为：7CP12.58（1）证明：如图1，连接CO，CE，AB是直径，ACB90°，ACBC，BCAB45°，COA2B90°，CADCED，AEDCADAEDCEDAECCOA45°，即AEDCAD45°；（2）如图2，连接CO并延长，交O于点N，连接AN，过点E作EMAC于M，则CAN90°，ACBC，AOBO，CNAB，AB垂直平分CN，ANAC，NABCAB，AB垂直平分DE，ADAE，DABEAB，NABEABCABDAB，即GADNAE，CANCME90°，ANEM，NAEMEA，GADMEA，又GAME90°，ADEA，ADGEAM（AAS），AGEM，AMDG，又MEF+MFE90°，MFE+GAD90°，MEFGAD，又GFME90°，ADGEFM（ASA），DGMF，DGAM，AFAM+MF2DG；（3）CDFGAD，FCDDCA，FCDDCA，CFDCDACBA，ACBC，AB为直径，ABC为等腰直角三角形，CFDCDACBA45°，GFD为等腰直角三角形，设GFGDa，则FDa，AF2a，FAKDAG，AKFG90°，AFKADG，在RtAFK中，设FKx，则AK3x，FK2+AK2AF2，x2+（3x）2（2a）2，解得，xa（取正值），FKa，在RtFKD中，FK2+DK2FD2，（a）2+32（a）2，解得，a（取正值），GFGD，AF，FCDDCA，CD2CAFC，CD2CG2+GD2，CG2+GD2CAFC，设FCn，则（n）2+（）2（+n）n，解得，n，ACAF+CF+，ABAC，O的半径为9（1）证明：连接OC，如图1所示：AB是O的直径，ACB90°，OCOB，BOCB，DCAB，DCAOCB，DCODCA+OCAOCB+OCAACB90°，CDOC，CD是O的切线；（2）解：ADCDADCACB90°又DCABACDABC，即，AC4，即AC的长为4；（3）解：ACBC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AFBC，连接EF、BE，如图2所示：AB是直径，ACBAEB90°，DAB45°，AEB为等腰直角三角形，EABEBAECA45°，AEBE，在AEF和BEC中，AEFBEC（SAS），EFCE，AFEBCEACB+ECA90°+45°135°，EFC180°AFE180°135°45°，EFCECF45°，EFC为等腰直角三角形CFEC，ACAF+CFBC+EC10（1）证明：如图，连接DF，四边形ABCD为菱形，ABBCCDDA，ADBC，DABC，BFBE，ABBFBCBE，即AFCE，DAFDCE（SAS）；（2）由（1）知，DAFDCE，则DFADECAD是O的直径，DFA90°，DEC90°ADBC，ADEDEC90°，ODDE，OD是O的半径，DE是O的切线；（2）解：如图，连接AH，AD是O的直径，AHDDFA90°，DFB90°，ADAB，DH，DB2DH2，在RtADF和RtBDF中，DF2AD2AF2，DF2BD2BF2，AD2AF2DB2BF2，AD2（ADBF）2DB2BF2，AD2（AD2）2（2）222，AD5AH2S四边形ABCD2SABD2×AHBDAH2×220即四边形ABCD的面积是20