2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编(第一辑)第28章+锐角三角函数.docx

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）锐角三角函数一选择题（共20小题）1（2016绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A250米 B250米 C米 D500米2（2016泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A22.48 B41.68 C43.16 D55.633（2016长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A160m B120m C300m D160m4（2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°0.59，cos36°0.81，tan36°0.73）（）A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米5（2016怀化）在RtABC中，C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A6cm B7cm C8cm D9cm6（2016兰州）在RtABC中，C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A4 B6 C8 D107（2016福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）A（sin，sin） B（cos，cos） C（cos，sin） D（sin，cos）8（2016益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC=（BC为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A B C D9（2016金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A米2B米2C（4+）米2D（4+4tan）米210（2016南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A5sin36°米 B5cos36°米 C5tan36°米 D10tan36°米11（2016重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.45）A30.6 B32.1 C37.9 D39.412（2016巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡AB的坡度是10° B斜坡AB的坡度是tan10°CAC=1.2tan10°米 DAB=米13（2016苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A2m B2m C（22）m D（22）m14（2016聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°0.65，tan21°0.38）（）A169米 B204米 C240米 D407米15（2016烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A B C Dw!w!w.!x!k!b!16（2016天津）sin60°的值等于（）A B C D17（2016玉林）sin30°=（）A B C D18（2016无锡）sin30°的值为（）A B C D19（2016永州）下列式子错误的是（）Acos40°=sin50° Btan15°tan75°=1Csin225°+cos225°=1 Dsin60°=2sin30°20（2016菏泽）如图，ABC与ABC都是等腰三角形，且AB=AC=5，AB=AC=3，若B+B=90°，则ABC与ABC的面积比为（）A25：9 B5：3 C： D5：32016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）锐角三角函数参考答案与试题解析一选择题（共20小题）1（2016绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A250米 B250米 C米 D500米【分析】在RTAOB中，由AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题【解答】解：由题意AOB=90°60°=30°，OA=500，ABOB，ABO=90°，AB=AO=250米故选A【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型2（2016泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【分析】过点P作PAMN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点P作PAMN于点A，MN=30×2=60（海里），MNC=90°，CPN=46°，MNP=MNC+CPN=136°，BMP=68°，PMN=90°BMP=22°，MPN=180°PMNPNM=22°，PMN=MPN，MN=PN=60（海里），CNP=46°，PNA=44°，PA=PNsinPNA=60×0.694741.68（海里）故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键3（2016长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A160m B120m C300m D160m【分析】首先过点A作ADBC于点D，根据题意得BAD=30°，CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案【解答】解：过点A作ADBC于点D，则BAD=30°，CAD=60°，AD=120m，在RtABD中，BD=ADtan30°=120×=40（m），在RtACD中，CD=ADtan60°=120×=120（m），BC=BD+CD=160（m）故选A【点评】此题考查了仰角俯角问题注意准确构造直角三角形是解此题的关键4（2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°0.59，cos36°0.81，tan36°0.73）（）A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米【分析】作BFAE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在RtABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在RtACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果【解答】解：作BFAE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，斜面AB的坡度i=1：2.4，AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在RtABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，DE=BF=5米，AF=12米，AE=AF+FE=18米，在RtACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，CD=CEDE=13.14米5米8.1米；故选：A【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键5（2016怀化）在RtABC中，C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A6cm B7cm C8cm D9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：sinA=，设BC=4x，AB=5x，又AC2+BC2=AB2，62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），则BC=4x=8cm，故选：C【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键6（2016兰州）在RtABC中，C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A4 B6 C8 D10【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可【解答】解：在RtABC中，C=90°，sinA=，BC=6，AB=10，故选D【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键7（2016福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）w!w!w.!x!k!b!A（sin，sin） B（cos，cos） C（cos，sin） D（sin，cos）【分析】过P作PQOB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标【解答】解：过P作PQOB，交OB于点Q，在RtOPQ中，OP=1，POQ=，sin=，cos=，即PQ=sin，OQ=cos，则P的坐标为（cos，sin），故选C【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键8（2016益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC=（BC为水平线），测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A B C D【分析】设PA=PB=PB=x，在RTPCB中，根据sin=，列出方程即可解决问题【解答】解：设PA=PB=PB=x，在RTPCB中，sin=，=sin，x=故选A【点评】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型9（2016金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A米2B米2C（4+）米2D（4+4tan）米2【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果【解答】解：在RtABC中，BC=ACtan=4tan（米），AC+BC=4+4tan（米），地毯的面积至少需要1×（4+4tan）=4+tan（米2）；故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键10（2016南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A5sin36°米 B5cos36°米 C5tan36°米 D10tan36°米【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在RtABD中，利用B的正切进行计算即可得到AD的长度【解答】解：AB=AC，ADBC，BC=10米，DC=BD=5米，在RtADC中，B=36°，tan36°=，即AD=BDtan36°=5tan36°（米）故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题11（2016重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.45）A30.6 B32.1 C37.9 D39.4【分析】延长AB交DC于H，作EGAB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度【解答】解：延长AB交DC于H，作EGAB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，梯坎坡度i=1：，BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在RtBCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，BH=6米，CH=6米，BG=GHBH=156=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），=45°，EAG=90°45°=45°，AEG是等腰直角三角形，AG=EG=6+20（米），AB=AG+BG=6+20+939.4（米）；故选：D【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键12（2016巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡AB的坡度是10° B斜坡AB的坡度是tan10°CAC=1.2tan10°米 DAB=米【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；故选：B【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键13（2016苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A2m B2m C（22）m D（22）m【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可【解答】解：在RtABD中，sinABD=，AD=4sin60°=2（m），在RtACD中，sinACD=，AC=2（m）故选B【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：i=tan14（2016聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°0.65，tan21°0.38）（）A169米 B204米 C240米 D407米【分析】过C作CDAB于D，在RtACD中，求得AD=CDtanACD=CDtan33°，在RtBCO中，求得OD=CDtanBCO=CDtan21°，列方程即可得到结论【解答】解：过C作CDAB于D，在RtACD中，AD=CDtanACD=CDtan33°，在RtBCO中，OD=CDtanBCO=CDtan21°，AB=110m，AO=55m，A0=ADOD=CDtan33°CDtan21°=55m，CD=204m，答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m故选B【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键15（2016烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A B C D【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中RCM表示存储、读出键，M+为存储加键，M为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是故选：C【点评】本题主要考查了利用计算器求数的开方，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣16（2016天津）sin60°的值等于（）A B C D【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案【解答】解：sin60°=故选：C【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键17（2016玉林）sin30°=（）A B C D【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可【解答】解：sin30°=故选：B【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题18（2016无锡）sin30°的值为（）A B C D【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值【解答】解：sin30°=，故选A【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少19（2016永州）下列式子错误的是（）Acos40°=sin50° Btan15°tan75°=1Csin225°+cos225°=1 Dsin60°=2sin30°【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断【解答】解：A、sin40°=sin（90°50°）=cos50°，式子正确；B、tan15°tan75°=tan15°cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误故选D【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键20（2016菏泽）如图，ABC与ABC都是等腰三角形，且AB=AC=5，AB=AC=3，若B+B=90°，则ABC与ABC的面积比为（）A25：9 B5：3 C： D5：3【分析】先根据等腰三角形的性质得到B=C，B=C，根据三角函数的定义得到AD=ABsinB，AD=ABsinB，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，然后根据三角形面积公式即可得到结论【解答】解：过A 作ADBC于D，过A作ADBC于D，ABC与ABC都是等腰三角形，B=C，B=C，BC=2BD，BC=2BD，AD=ABsinB，AD=ABsinB，BC=2BD=2ABcosB，BC=2BD=2ABcosB，B+B=90°，sinB=cosB，sinB=cosB，SBAC=ADBC=ABsinB2ABcosB=25sinBcosB，SABC=ADBC=ABcosB2ABsinB=9sinBcosB，SBAC：SABC=25：9故选A【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式