辽宁省沈阳市东北育才学校（科学高中部）2024届高三上学期第三次模拟考试数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试数学科试卷数学科试卷答题时间：答题时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的1.设集合 1,2,2,1A，|,1Bx yxy，则AB（）A.2,1B.2,1C.1,2D.1,22.已知条件1:1px，条件2:20q xx，则 p 是 q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量0,4a，3,3b ，则a在b上的投影向量的坐标是（）A.2,2B.2,2C.0,3D.0,34.已知数列 12,2,0naaa，且221nnnaa ，则数列 na的前 2024 项之和为（）A.1012B.2022C.2024D.40485.已知定义在 R 上的偶函数()f x满足()(2)f xfx，当0,1x时，()f xx.函数|1|()(13)xg xex ，则()f x与()g x的图像所有交点的横坐标之和为（）A.3B.4C.5D.66.已知函数 211sinsinR,R222xf xxx若 f x在区间0,内没有零点，则的取值范围是（）A.10,4B.10,4C.1 1,4 4D.3 1,4 47.已知二面角l 的平面角为0,2ABCl Dl ABl，AB 与平面所成角为3记ACD的面积为1S，BCD的面积为2S，则12SS的取值范围为（）第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.1,12B.1,32C 3,32D.3,128.已知0.21.112ln21,225,abc，则（）A abcB.bacC.cbaD.acb二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知直线l：120mxym 与圆O：222xyr有两个不同的公共点A，B，则（）A.直线l过定点2,1B.当4r 时，线段AB长的最小值为2 11C.半径r的取值范围是0,5D.当4r 时，OA OB 有最小值为1610.已知等比数则 na的公比为0q q，前n项积为nT，若768TTT，则（）A.01qB.1q C 13141TT D.14151TT 11.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点 P 满足1BPBCBB ，其中,0,10,1，则（）A.当1时，1BPADB.当12，时，点 P 到平面1ABD的距离为32C.当1时，1/D P平面1ABD.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司D.当12时，三棱锥1APBD的体积恒为11212.定义在0,的函数 f x满足 6f xf x，且 ln 2,02sin,23xxf xxx0,3x 都有 60fxf x，若方程 f xa aR的解构成单调递增数列 nx，则下列说法中正确的是（）A.20230fB.若数列 nx为等差数列，则公差为 6C.若121223xxx x，则0ln2aD.若11ln2a 则2323116niiixxnn三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.若复数 z 满足34i2iz（i 为虚数单位），则z _14.已知,02 且tan3cos24，则sin2_15.已知曲线 f xx与曲线 lng xax（aR）相交，且在交点处有相同的切线，则a_.16.四棱锥PABCD的底面 ABCD 是平行四边形，点 E、F 分别为 PC、AD 的中点，平面 BEF 将四棱锥PABCD分成两部分的体积分别为12,V V且满足12VV，则12VV_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤17.已知直线1l：260mxmy和直线2l：30mxy，其中 m实数（1）若12ll，求 m 的值；（2）若点1,2Pm在直线2l上，直线 l 过 P 点，且在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距互为相反数，求直线 l 的方程18.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b cABC的面积为S，已知24coscostanSaBabAB.（1）求角B；（2）若3,bABC的周长为l，求Sl的最大值.19.如图，在棱长为 2 的正方体ABCDEFGH中，点 M 是正方体的中心，将四棱锥MBCGF绕直为第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司线CG逆时针旋转(0)后，得到四棱锥MB CGF （1）若2，求证：平面MCG/平面M B F ；（2）是否存在，使得直线M F 平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20.设数列 na的前n项和为nS，已知*111,21NnnaSSn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足12411nnnnabaa，数列 nb的前n项和为*,NnTn，都有243nmmT，求m的取值范围.21.在梯形ABCD中，ABCD，3BAD，224ABADCD，P 为AB的中点，线段AC与DP交于 O 点（如图 1）.将ACD沿AC折起到ACD位置，使得平面D AC平面BAC（如图 2）.（1）求二面角ABDC的余弦值；（2）线段PD上是否存在点 Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68?若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.22.已知函数 2121eln2xf xaxx（1）若0a，证明:232xf xx;第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）设 2exxg xxf x，若lnln1,11xxxxxggxx 恒成立，求实数 a取值范围.的第 1 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试数学科试卷数学科试卷答题时间：答题时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的1.设集合 1,2,2,1A，|,1Bx yxy，则AB（）A.2,1B.2,1C.1,2D.1,2【答案】B【解析】【分析】将集合A 中的元素代入集合B，验证AB的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除 A，D；当1x，2y 时，1xy，故1,2AB，故 C 错误；当2x，1y 时，1xy，故2,1AB，故 B 正确.故选：B2.已知条件1:1px，条件2:20q xx，则 p 是 q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由题意分别求出条件,p q的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由题意1011:1010 xxxpxxxx 或0 x，2:202q xxx或0 x，若0 x，则条件2:20q xx成立，但条件1:1px不成立，若1x，则条件1:1px成立，但条件2:20q xx不成立，因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.第 2 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故选：D.3.已知向量0,4a，3,3b ，则a在b上的投影向量的坐标是（）A.2,2B.2,2C.0,3D.0,3【答案】B【解析】【详解】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解.【分析】a在b上的投影向量为22122cos,2,2333ba b baa bbbbbb ，故选：B4.已知数列 12,2,0naaa，且221nnnaa ，则数列 na的前 2024 项之和为（）A.1012B.2022C.2024D.4048【答案】C【解析】【分析】对n进行分类讨论，利用分组求和法求得正确答案.【详解】当n为奇数时，2222,nnnnaaaa，所以数列 na的奇数项成首项为2，公差为2的等差数列.当n为偶数时，22,22nnnnaaaa，所以数列 na的偶数项成首项为0，公差为2的等差数列.所以前2024项和为：1012 10111012 10111012 221012 0222 2024.故选：C5.已知定义在 R 上的偶函数()f x满足()(2)f xfx，当0,1x时，()f xx.函数|1|()(13)xg xex ，则()f x与()g x的图像所有交点的横坐标之和为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A第 3 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】首先根据题干条件确定抽象函数 f x的对称性和周期性，然后根据 f x的性质及 g x的解析式画出 f x与 g x在1,3的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和.【详解】由()(2)f xfx，可知函数 f x的图像关于直线1x 对称，又 f x为偶函数，22f xfxf x，故函数 f x是周期函数，且周期2T，|1|()(13)xg xex ，()g x的图像也关于直线1x 对称，当12x时，1()2,()xf xx g xe，设1()2,(12)xh xxex，则1()10 xh xe ，即函数()h x在1,2为减函数，又(1)0h，即()0h x，即函数()f x，()g x的图像在(1,2)无交点，则函数()f x，()g x在(1,3)上的图像如图所示，可知两个图像有 3 个交点，一个在直线1x 上，另外两个关于直线1x 对称，则三个交点的横坐标之和为 3.故选：A6.已知函数 211sinsinR,R222xf xxx若 f x在区间0,内没有零点，则的取值范围是（）A.10,4B.10,4C.1 1,4 4D.3 1,4 4【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解.详解】211112sinsinsincossin2222224xf xxxxx,若0，因为0,x，所以,444x，【第 4 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司因为 f x在区间0,内没有零点，所以04，解得104；若0，因为0,x，所以,444x，因为 f x在区间0,内没有零点，所以4，解得304；综上，3 1,4 4，故选:D.7.已知二面角l 的平面角为0,2ABCl Dl ABl，AB 与平面所成角为3记ACD的面积为1S，BCD的面积为2S，则12SS的取值范围为（）A.1,12B.1,32C.3,32D.3,12【答案】A【解析】【分析】作出二面角的平面角以及 AB 与平面所成角，并表示出23BAE，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出12312sinSAESBEBAE，结合范围确定sinBAE范围，即可求得答案.【详解】作AECD，垂足为 E，连接BE，因为ABl，即ABCD，,AEABA AE AB平面AEB，第 5 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故CD 平面AEB，BE 平面AEB，故CDBE，又CD，故平面AEB，平面AEBBE，则AB在内的射影在 BE 上，则ABE为 AB 与平面所成角，即3ABE，由于AECD，CDBE，故AEB为二面角l 的平面角，即02AEB，121212AECDSAESBEBECD，在ABE中，sinsinsinAEBEABABEBAEAEB，则sin31sin2sinAEABEBEBAEBAE，而02，则233BAE，则 21sin(1,632,BAEBAE，故sin31sin2si3,32nAEABEBEBAEBAE，故选：C8.已知0.21.112ln21,225,abc，则（）A.abcB.bacC.cbaD.acb【答案】D【解析】【分析】利用作差法比较大小以及函数的导数与单调性及最值的关系比较大小求解.【详解】因为1220.10.10.2.10.122 21210122bc ，所以bc；1.10.10.20.10.1122ln22 22ln22(21 ln2)5ca，设函数()1 ln,f xxx 11()1xfxxx，所以(0,1)x时，()0fx，函数()f x单调递减，第 6 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司1,x时，()0fx，函数()f x单调递增，所以()(1)0f xf，而0.121，所以0.10.10.1(2)21 ln20f，所以ca，所以acb，故选：D.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知直线l：120mxym 与圆O：222xyr有两个不同的公共点A，B，则（）A.直线l过定点2,1B.当4r 时，线段AB长的最小值为2 11C.半径r的取值范围是0,5D.当4r 时，OA OB 有最小值为16【答案】ABD【解析】【分析】化简直线为(2)(1)0m xy，进而可判定 A 正确；利用弦长公式，求得AB的最小值，可判定 B 正确；根据直线l与圆O有总有两个公共点，可得点2,1M在圆O内部，可判定 C 不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定 D 正确.【详解】由直线:120l mxym，可化为(2)(1)0m xy，由方程组2010 xy，解得2,1xy，即直线l过定点2,1M，所以 A 正确；当4r 时，圆O的方程为2216xy，可得圆心(0,0)O，则5OM，可得线段AB长的最小值为2222 11rOM，所以 B 正确；因为直线l与圆O有总有两个公共点，可得点2,1M在圆O内部，所以22221r，解得05r，所以 C 不正确；当4r 时，圆O的方程为2216xy，则cos16cosOA OBOA OBAOBAOB ，当直线l过圆心(0,0)O，此时AOB，可得cosAOB的最小值1，所以OA OB 有最小值为16，所以 D 正确.第 7 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.10.已知等比数则 na的公比为0q q，前n项积为nT，若768TTT，则（）A.01qB.1q C.13141TT D.14151TT【答案】AC【解析】【分析】利用数列的基本性质可得出71a，7801a a，求出q的取值范围，可判断 AB 选项；利用等比数列的性质可判断 CD 选项.【详解】因为数列等比数则 na的公比为0q q 且768TTT，则61 2 3 4 56156123456110Ta a a a a aa qa q ，所以，7761TaT，87861Ta aT，又因为27870a aa q，则278701a aa，所以，7810aa，从而10a，故对任意的nN，110nnaa q，由7870aaa q可得01q，A 对 B 错；1313121371Ta aaa，7141214781Ta aaa a，即13141TT，C 对 D 错.故选：AC.11.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点 P 满足1BPBCBB ，其中,0,10,1，则（）A.当1时，1BPADB.当12，时，点 P 到平面1ABD的距离为32第 8 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司C.当1时，1/D P平面1ABDD.当12时，三棱锥1APBD的体积恒为112【答案】ACD【解析】【分析】根据正方体的几何性质，确定各选项下点 P 的位置，根据线线关系判断 A；根据线面平行确定点到平面的距离来判断 B；由面面平行的性质得线面平行来判断 C；利用等体积转换法确定三棱锥的体积可判断 D.【详解】对于 A，当1时，此时点P与点1C重合，由正方体性质可得11BCBC，1111/,ABABCD ABCD，所以四边形11ABCD为平行四边形，从而11/BCAD，又因11BCBC，所以11BCAD，即1BPAD，故 A 正确；对于 B，当12时，此时点P为1BC的中点，由 A 选项分析可知11/BCAD，1BC 平面1ABD，1AD 平面1ABD，为第 9 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以1/BC平面1ABD，从而得点P到平面1ABD的距离等于点C到平面1ABD的距离，设为d，因为三棱锥1ABCD与三棱锥1CABD是同一个三棱锥，且1ABD为边长为2的等边三角形，所以11ABCDC A BDVV，从而得211131 1 123234d ，解得33d，故 B 错误；对于 C，当1时，此时1,P C B三点共线，由 B 选项分析可知1/BC平面1ABD，同理可证11/B D平面1ABD，又因为111,BC B D 平面11BCD，1111BCB DB，111,BC B D 平面11BCD，所以平面11/BCD平面1ABD，又1D P 平面11BCD，从而得1/D P平面1ABD，故 C 正确；对于 D，当12时，点P在1BBC中与1BC平行的中位线MN上，即1/MNBC，由 B 选项分析可知1/BC平面1ABD，且MN平面1ABD，所以/MN平面1ABD，从而点P到平面1ABD的距离为定值，为点C到平面1ABD的距离的一半，即第 10 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司1326d，底面为边长为2的等边三角形，所以113322222A BDS，则1PABD的体积为133132612V，故 D 正确.故选：ACD.12.定义在0,的函数 f x满足 6f xf x，且 ln 2,02sin,23xxf xxx0,3x 都有 60fxf x，若方程 f xa aR的解构成单调递增数列 nx，则下列说法中正确的是（）A.20230fB.若数列 nx为等差数列，则公差为 6C.若121223xxx x，则0ln2aD.若11ln2a 则2323116niiixxnn【答案】BD【解析】【分析】对于 A，根据题意结合周期性运算求解；对于 B，根据题意结合图象分析判断；对于 C，整理可得12ln 2ln 2xx，结合图象分析判断；对于 D，根据图象结合对称性分析可得数列3231iixx是以首项为 7，公差为 12 的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.【详解】因0,3x 都有 60fxf x，所以 f x关于3,0对称，令3x，则 330ff，即 30f因为定义在0,的函数 f x满足 6f xf x，所以 f x的周期为 6，作出函数 f x在0,6内的图象如图：为第 11 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司对于 A，(2023)(6 337 1)(1)0fff，故 A 错误对于 B，由图象可知：若数列 nx为等差数列，则(,1)(1,)a ，此时()yf x与ya在0,6内有且仅有一个交点，因为 f x周期是 6，即16nnxx，即数列 nx的公差为 6，故 B 正确.对于 C，若121223xxx x，即12221xx，可得1212ln22ln 2ln 20 xxxx，则12ln 2ln 2xx，即()yf x与ya在0,2内有且仅有 2 个交点，结合图象可得0ln2a，故 C 错误.对于 D，若11lnln22a ，则()yf x与ya在0,6内有且仅有 3 个交点，且127xx，因为 6f xf x，则 31323231313132316612iiiiiiiixxxxxxxx，数列3231iixx是以首项为 7，公差为 12 的等差数列，可得32317 121125iixxnn，2323117 125122622niiinnnnxxnn，故 D 正确故选：BD【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法：（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.若复数 z 满足34i2iz（i 为虚数单位），则z _第 12 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【答案】55【解析】【分析】根据复数除法运算结合复数模的公式即可得到答案.【详解】由题意得2i34i2i105i21i34i34i34i2555z，则22215555z，故答案为：55.14.已知,02 且tan3cos24，则sin2_【答案】23【解析】【分析】利用同角的三角函数关系结合诱导公式化简得sin()43sin(2)2cos()4，再利用二倍角公式化简得出212cos()43，即可求得答案.【详解】由tan3cos24得sin()43cos23sin(2)2cos()4，即sin()46sin()cos()co)444s(，由于,02，故3,444，则sin()04，故16cos()4cos()4，即212cos()43，则1()231 cos2，即11 sin23，即2sin23，故答案为：2315.已知曲线 f xx与曲线 lng xax（aR）相交，且在交点处有相同的切线，则a_.第 13 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【答案】e2【解析】【分析】可先设交点为00,P xy，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求a的值.详解】易知：必有0a.设两曲线的交点为00,P xy，12fxx，agxx0 x，由题意：0000ln12xaxaxx，两式相除得：0002lnxxx，00 x，200ln2exx.代入00lnxax得：e2a解得=e2.故答案为：e216.四棱锥PABCD的底面 ABCD 是平行四边形，点 E、F 分别为 PC、AD 的中点，平面 BEF 将四棱锥PABCD分成两部分的体积分别为12,V V且满足12VV，则12VV_【答案】75【解析】【分析】利用椎体的体积公式求解.【详解】如图，延长,BF CD交于点G，连接GE交PD于点M，因为底面ABCD为平行四边形，所以FDG与FAB全等，且FDG与BCG相似，相似比为12，设FDG的面积为S，则四边形BCDF的面积为3S，【第 14 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司设点P到底面ABCD的距离为h，则1113322E BCDFVShSh，又因为E为PC的中点，所以1122E DFMC DFMG DFMVVV，所以1113326E DFGE DFMVShShV，所以118E DFMVSh，所以259MECBFDE BCDFE DFMVVVVSh，所以121574399P ABCDVVVShShSh，所以1275VV，故答案为:75.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤17.已知直线1l：260mxmy和直线2l：30mxy，其中 m 为实数（1）若12ll，求 m 的值；（2）若点1,2Pm在直线2l上，直线 l 过 P 点，且在 x 轴上的截距与在 y 轴上的截距互为相反数，求直线 l 的方程【答案】（1）3m 或 0 （2）20 xy或10 xy【解析】【分析】（1）根据垂直得到方程，求出 m 的值；（2）将1,2Pm代入2l中，解得1m，设直线 l 的方程，根据两截距相等得到方程，求出2k 或1k，得到直线 l 的方程.【小问 1 详解】由题意得20m mm，解得3m 或 0；【小问 2 详解】由1,2Pm在直线2l上，得230mm，解得1m，可得1,2P，显然直线 l 的斜率一定存在且不为 0，设直线 l 的方程为21yk x，第 15 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司令0 x，可得2yk，再令0y，可得2kxk，所以22kkk，解得2k 或1k，所以直线 l 的方程为221yx或21yx，即20 xy或10 xy 18.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b cABC的面积为S，已知24coscostanSaBabAB.（1）求角B；（2）若3,bABC的周长为l，求Sl的最大值.【答案】18.3 19.34【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得3312Sacl，再由基本不等式进行求解即可.【小问 1 详解】因为24coscostanSaBabAB，所以214si ncos2coscossi nacBBaBabAB，即2 coscoscoscBaBbA，由正弦定理，得2sincossincossincossinCBABBAAB，因为ABC，所以2sincossinCBC，因为0,C，所以sin0C，所以1cos2B，又0,B，所以3B.【小问 2 详解】第 16 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司由余弦定理，得2222cosbacacB，即229acac，所以293acac，即2193acac，因为13sin24SacBac，3lac，所以239343123acSaclacac ，所以3312Sacl，又24acac（当且仅当ac时取等号），所以22934acacac（当且仅当3ac时取等号），所以6ac（当且仅当3ac时取等号），所以33336312124Sacl（当且仅当3ac时取等号），即Sl的最大值为34.19.如图，在棱长为 2 的正方体ABCDEFGH中，点 M 是正方体的中心，将四棱锥MBCGF绕直线CG逆时针旋转(0)后，得到四棱锥MB CGF （1）若2，求证：平面MCG/平面M B F ；（2）是否存在，使得直线M F 平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析第 17 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）假设存在，使得直线M F 平面MBC，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面MBC法向量，则求出M F 的坐标，由M Fm 可得cossin0cossin1，此方程组无解，即可得出结论.【小问 1 详解】证明：若2，则平面DCGH、平面CB F G 为同一个平面，连接,BH BF，则 M 是BH中点，M是BF中点，故MM是BHF的中位线，所以1/,2MMGF MMHFGF因为/,MMGF MMGF，所以平面四边形MM F G 是平行四边形，所以/MGM F 又MG 平面,M B F M F 平面M B F ，所以MG/平面M B F 同理MC/平面B M F，且MG 平面,MCG MC 平面,MCG MGMCM，所以，平面MCG/平面M B F 【小问 2 详解】假设存在，使得直线M F 平面MBC以 C 为原点，分别以,CB DC CG 为,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0)CB，(1,1,1)M，故(2,0,0),(1,1,1)CBCM 设(,)mx y z是平面MBC的法向量，则00m CBm CM ，所以200 xyz，取1y，得(0,1,1)m 是平面MBC的一个法向量，的第 18 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司 取CG中点 P，BF中点 Q，连接,PQ PM，则,PMCG PQCG PMCG于是MPM是二面角MCGM的平面角，MPQ是二面角MCGQ的平面角，QPM是二面角QCGM的平面角，于是,4MPMMPQ，所以4M PQ，且CG 平面,2M PM M P，故2cos,2sin,144M，同理(2cos,2sin,2)F，所以2cos2cos,2sin2sin,144M F ，因为2cos2cos2cos2cos cos2sin sincossin444，2sin2sin2sin2sin cos2cos sincossin444，所以(cossin,cossin,1)M F 若直线M F 平面MBC，m是平面MBC的一个法向量，则/mM F 即存在R，使得M Fm ，则cossin0cossin1，此方程组无解，所以，不存在，使得直线M F 平面MBC【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线M F 平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后，关键点在于确定2cos2cos,2sin2sin,144M F ，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论.第 19 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司20.设数列 na的前n项和为nS，已知*111,21NnnaSSn.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足12411nnnnabaa，数列 nb的前n项和为*,NnTn，都有243nmmT，求m的取值范围.【答案】（1）12nna （2）2,23【解析】【分析】（1）首先可以根据已知得到*212Nnnaan，其次注意到212aa，结合等比数列的定义即可求解.（2）由（1）可知12nna，先将数列 nb的通项公式裂项得11122121nnnb，从而可求得其前n项和为nT，若*Nn，都有243nmmT，则只需2min43nmmT，研究nT的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.【小问 1 详解】一方面：因为*121NnnSSn，所以*211N122nnnnSSSSn，所以*2112NnnnnSSSSn，即*212Nnnaan；另一方面：又1n 时，有2121SS，即211aa，且11a，所以此时212aa；结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列 na是首先为11a，公比为2q=的等比数列，所以数列 na的通项公式为111 22nnna.【小问 2 详解】由（1）可知12nna，又由题意111242 21121121212121nnnnnnnnnabaa，第 20 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司数列 nb的前n项和为122311111111122121212121212121nnnnT，又*Nn，都有243nmmT，故只需2min43nmmT，而1121ny关于n单调递增，所以21121ny关于n单调递减，3112121nnyT关于n单调递增，所以当1n 时，有12min1421213nTT，因此2min4433nmmT，即2203mm，解得223m，综上所述：m的取值范围为2,23.21.在梯形ABCD中，ABCD，3BAD，224ABADCD，P 为AB的中点，线段AC与DP交于 O 点（如图 1）.将ACD沿AC折起到ACD位置，使得平面D AC平面BAC（如图 2）.（1）求二面角ABDC的余弦值；（2）线段PD上是否存在点 Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68?若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）77 （2）存在，13PQPD【解析】第 21 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；（2）设01PQPD ，表示出CQ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.【小问 1 详解】因为在梯形ABCD中，/ABCD，224ABADCD，3BAD，P为AB的中点，所以，/CDPB，CDPB，所以ADP是正三角形，四边形DPBC为菱形，可得ACBC，ACDP，而平面D AC 平面BAC，平面D AC 平面BACAC，DO 平面D AC，DOAC，DO平面BAC，所以OA，OP，OD两两互相垂直，如图，以点O为坐标原点，OA，OP，OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则3,0,0A，3,0,0C，3,2,0B，0,0,1D，0,1,0P，3,0,1AD ，2 3,2,0AB ，3,2,1BD ，3,0,1CD ，设平面ABD的一个法向量为111,mx y z，则00m ADm AB ，即1111302 320 xzxy，令11x，则113yz，1,3,3m，设平面CBD的一个法向量为222,xny z，则00n BDn CD ，即2222232030 xyzxz，令21x，则20y，23z ，1,0,3n，1 130337cos,71 331 3m nm nm n ，所以二面角ABDC的余弦值为77.第 22 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司 【小问 2 详解】线段PD上存在点Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68.设01PQPD ，因为3,1,0CP ，0,1,1PD ，所以3,1,CQCPPQCPPD ，设CQ与平面BCD所成角为，则23 16sincos,82 224CQ nCQ nCQ n ，即23720，01，解得13，所以线段PD上存在点Q，且13PQPD，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68.22.已知函数 2121eln2xf xaxx（1）若0a，证明:232xf xx;（2）设 2exxg xxf x，若lnln1,11xxxxxggxx 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）1,e【解析】【分析】（1）证明 232xf xx，即证ln1xx，令 ln1r xxx，利用导数求函数的最值，证明 0r x 即可；（2）令12lnln,11xxxxxxx，不等式恒成立等价于21eln0 xaxxx对于0 x 恒成立，利用分离常数，构造函数求最值的方法求实数 a 的取值范围.第 23 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】若0a，则 21ln2f xxx，要证 232xf xx，即证ln1xx令 ln1r xxx，函数定义域为0,，则 111xrxxx，当01x时，0rx，r x单调递增，当1x 时，0rx，r x单调递减，max1r xr，10r xr，即ln1xx，得证【小问 2 详解】令12lnln,11xxxxxxx，则2121lnxxxxxx，消 x 得，2121exxxx，1212eexxxx，1x，210 xx，原不等式等价于2121xg xg xx，即 1212g xg xxx，即 121212eexxxxf xf x，1212eexxxx，等价于12()()f xf x，210 xx，当 f x在区间0,上单调递增时，0fx在区间0,上恒成立，212elnxfxaxxx，21eln0 xaxxx对于0 x 恒成立方法 1：即21e1 lnxaxx，即2e1 lnexxxa由（1）知ln1xx，eexx，22eexx，222e1 lne1 lne1eeeexxxxxx xxx，当1x 时取等号，1ea，符合题意；当1ea 时，211,2eln0 xxfxaxxx，此时21xx，不满足12()()f xf x，不合题意，即实数 a 的取值范围为1,e.方法 2：21e1 lnxaxx即2eeln exaxx，左右同乘以 2x，第 24 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司则有2222eeln exaxxx，222e 2eeln exaxxx，令 exh xx，则2e2ln eahxhx，1 exh xx，当,1 时，0h x，h x单调递减，当1,时，0h x，h x单调递增，2ln e2 1ln2xxx，当1x 时取等号，20 x，2ln e2hxhx，且20hx，e1a，1ea，符合题意；当1ea 时，211,2eln0 xxfxaxxx，此时21xx，不满足12()()f xf x，不合题意，即实数 a 的取值范围为1,e.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.