第04讲 数列求通项公式-教师版.pdf

高效课堂 源于优教 1 高中数学课程 第 04 讲 数列求通项公式 1数列 an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列ann是等差数列；(2)设 bn3n an，求数列bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)证明：由已知可得an1n1ann1，即an1n1ann1，所以ann是以a111 为首项，1 为公差的等差数列 (2)解：由(1)得ann1(n1)1n，所以 ann2.从而 bnn 3n。Sn1 312 323 33n 3n，3Sn1 322 33(n1)3nn 3n1.得，2Sn31323nn 3n13（13n）13n 3n1（12n）3n132.所以 Sn（2n1）3n134.课前课前诊断诊断 官网： 2 一、数列通项公式求法数列通项公式求法（1）常规公式法）常规公式法：已知数列的前项和nS与na的关系，可用公式 2111nSSnSannn求解；注意：单独讨论 n=1 的情况，只要 n-1 作为下标存在，n 必须大于等于 2。（2）累加法）累加法：适用于已知)(1nfaann（)(nf可求和）的情况；则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n两边分别相加得 111()nnkaaf n（3）累乘法）累乘法：适用于已知)()(1nfnfaann要可求积）的情况；即1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，；两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka（4）待定系数法）待定系数法：qpaann1，通过配凑可转化为：1121()()nnaf naf n，那么数列)(1nfan 即为以2为公比的等比数列。nnnqpaa1，通过配凑可转化为：)(211nnnnqaqa，那么数列nnqa即为2为公比的等比数列。（5）取倒数法）取倒数法：关于通项的递推关系式变形后含有1nna a项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1nna a后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出na（6）换元法）换元法（7）阶差法）阶差法 n知识要点一知识要点一 高效课堂 源于优教 3 高中数学课程 一累加法一累加法 1适用于：适用于：1()nnaaf n-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若1()nnaaf n(2)n，则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n 例例 1已知数列 na满足11211nnaana，求数列 na的通项公式。【解析】由121nnaan得121nnaan则 112322112()()()()2(1)1 2(2)1(2 2 1)(2 1 1)12(1)(2)2 1(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列 na的通项公式为2nan。典例与分析典例与分析 官网： 4 1已知数列 na满足112 313nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】解法一：由12 31nnnaa 得12 31nnnaa 则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 解法二：132 31nnnaa 两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan 因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan 举一反三举一反三 高效课堂 源于优教 5 高中数学课程 二、累乘法二、累乘法 1适用于：1()nnaf n a-这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 例例 3已知11a,1()nnnan aa*()nN,求数列na通项公式.【解析】：1()nnnan aa,11nnanan,又有321121(0,2)nnnnaaaaaana aa=123n 12n-1=n,当1n时11a，满足nan，nan.例例 4设 na是首项为 1 的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，），则它的通项公式是na=_【解析】已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa 0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann 2n时，nnaann11 112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1 典例与分析典例与分析 官网： 6 1已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。【解析】因为123123(1)(2)nnaaaanan 所以1123123(1)nnnaaaanana 用式式得1.nnnaana 则1(1)(2)nnana n 故11(2)nnanna 所以13222122!(1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa 由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan 。所以，na的通项公式为!.2nna 三、待定系数法三、待定系数法 适用于适用于1()nnaqaf n 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如0(,1cdcaann,其中aa 1)型（1）若 c=1 时，数列na为等差数列;（2）若 d=0 时，数列na为等比数列;（3）若01且dc时，数列na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 7 高中数学课程 待定系数法：设)(1nnaca,得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得 dc)1(,所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann 因此数列1cdan构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以 11)1(1nnccdacda 即：1)1(11cdccdaann 规律：将递推关系dcaann1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann 例例 5已知数列 na中，111,21(2)nnaaan，求数列 na的通项公式。【解析】解法一：121(2),nnaan 112(1)nnaa 又112,1naa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 12nna，即21nna 解法二：121(2),nnaan 121nnaa 两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的 2形如：nnnqapa1 (其中 q 是常数，且 n0,1)若 p=1 时，即：nnnqaa1，累加即可 官网： 8 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i 两边同除以1np目的是把所求数列构造成等差数列 即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型 1，累加求通项 ii两边同除以1nq 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11然后转化为类型 5 来解，iii待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11nnnnpapqa通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项 注意：应用待定系数法时，要求 pq，否则待定系数法会失效。例例 6已知数列 na满足11124 31nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna 是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna ，即114 35 2nnna 解法二（两边同除以1nq）：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略 解法三（两边同除以1np）：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略 高效课堂 源于优教 9 高中数学课程 1已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列 na的通项公式。【解析】设1152(5)nnnnaxax 将123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnnnnaxax ，等式两边消去2na，得13 5525nnnxx，两边除以5n，得3 52,1,xxx则代入式得1152(5)nnnnaa 由1156 510a 及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna 是以1151a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa 转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列5 nna 是等比数列，进而求出数列5 nna 的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。2已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。【解析】设1123(2)nnnnaxyaxy 将135 24nnnaa 代入式，得 135 2423(2)nnnnnaxyaxy 整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得 115 223(5 22)nnnnaa 由115 221 12130a 及式，得5 220nna ，则115 2235 22nnnnaa ，故数列5 22nna 是以115 221 1213a 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此15 2213 3nnna，则113 35 22nnna。举一反三举一反三 官网： 10 四、对数变换法四、对数变换法 适用于适用于rnnpaa1(其中其中 p,r 为常数为常数)型型 p0，0na 例例 7设正项数列 na满足11 a，212 nnaa（n2）求数列 na的通项公式【解析】两边取对数得：122log12lognnaa-=+，122log12(log1)nnaa，设2log1nanb=+，则12nnbb 是以 2 为公比的等比数列，112log11b=+=111 22nnnb，12log12nan-+=，12log21nan，1212nna-=1已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。【解析】因为5112 37nnnaaa，所以100nnaa，。在512 3nnnaa 式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan 设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny 将式代入式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255x nxyxny，则 lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy 代入式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan 由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 及式，得lg3lg3lg2lg04164nan，nb举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 高效课堂 源于优教 11 高中数学课程 则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2lg4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2lg(7 332)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn 则11541515164732nnnnna。五、倒数变换法五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例例 8已知数列 na满足112,12nnnaaaa，求数列 na的通项公式。【解析】求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan 1已知数列an满足 a11，anan1nanan1(nN*)，则 an_【解析】2n2n2。提示：倒数变换 举一反三举一反三 典例与分析典例与分析 典例与分析典例与分析 官网： 12 六、换元法六、换元法 适用于含根式的递推关系适用于含根式的递推关系 例例 9已知数列 na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列 na的通项公式。【解析】令124nnba，则21(1)24nnab 代入11(14124)16nnnaaa得 221111(1)14(1)241624nnnbbb 即2214(3)nnbb 因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131243124 132ba 为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得 2 111()()3 423nnna。七、阶差法（逐项相减法）七、阶差法（逐项相减法）例例 10 已知数列 na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,a a a成等比数列，求数列 na的通项公式。【解析】对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa 当 n=1 时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a 或12a 高效课堂 源于优教 13 高中数学课程 当 n2 时，1111(1)(2)6nnnSaa -整理得：11()(3)0nnnnaaaa na各项均为正数，13nnaa 当11a 时，32nan，此时2429aa a成立 当12a 时，31nan，此时2429aa a不成立，故12a 舍去 所以32nan 1已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2nan，则数列an的通项公式为_【解析】由于 Sn2nan，所以 Sn12(n1)an1，后式减去前式，得 Sn1Sn2an1an，即 an112an1，变形为 an1212(an2)，则数列an2是以 a12 为首项，12为公比的等比数列又 a12a1，即 a11则 an2(1)(12)n1，所以 an2(12)n1 2已知数列an的前 n 项和为 Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3 Ban2n3 Can1，n1，2n3，n2 Dan1，n1，2n3，n2【解析】当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn12n3，由于 a1的值不适合上式，故选 C 1（2017新课标）在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有 7层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（）A6 B5 C4 D3【解析】设塔顶的 a1盏灯，考场直播考场直播播播举一反三举一反三 官网： 14 由题意an是公比为 2 的等比数列，S7=381，解得 a1=3故选：D 2（2017新课标）设数列an满足 a1+3a2+（2n1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和【解析】（1）数列an满足 a1+3a2+（2n1）an=2n n2 时，a1+3a2+（2n3）an1=2（n1）（2n1）an=2an=当 n=1 时，a1=2，上式也成立 an=（2）=数列的前 n 项和=+=1=1已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则=（）A.B.C.D2 2等差数列的前 n 项和为，且=6，=4，则公差 d 等于（）A1 B C-2 D 3 3设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。na3a9a25a2a1a21222nanS3S1a53nan,nS11,a 142nnSa12nnnbaa nbna综合提升综合提升 高效课堂 源于优教 15 高中数学课程 参考答案：B C 3.【解析】（I）由及，有 由，则当时，有 得 又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列 ，11,a 142nnSa12142,aaa21121325,23aabaa142nnSa2n142nnSa111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa12nnnbaa12nnbb nb13b 1123 2nnnnbaa 113224nnnnaa2nna12341331(1)22444nnann2(31)2nnan