2024届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟考试数学理科试题含答案.pdf

#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）内江市高中届第一次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选 择 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）二、填 空 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）三、解 答 题（共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答，第、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答）解：（）设 等 差 数 列 的 公 差 为，则 ，解 得分?所 以（）分?（）分?（）由（）得 ，（），则 （）（）分?所 以 （）（）分?解：（）为 了 判 断 两 个 函 数 模 型：，拟 合 程 度，只 需 要 判 断 两 个 函 数 模型 ，拟 合 程 度 即 可分?设 和 的 相 关 系 数 为，和 的 相 关 系 数 为，由 题 意（珔）（珋）（珔）槡（珋）槡 分?（珋）（珋）（珋）槡（珋）槡 分?显 然，因 此 从 相 关 系 数 的 角 度，模 型 的 拟 合 程 度 更 好分?（）先 建 立关 于的 线 性 回 归 方 程，由 得，即 ，（珋）（珋）（珋），珋 珋 分?所 以关 于的 线 性 回 归 方 程 为 ，即 分?所 求 回 归 方 程 为 分?（）若年 盈 利 额 为亿 元，即 ，#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）分?，解 得 所 以年 的 研 发 资 金 投 入 额 约 为 亿 元分?解：（）当 时，（）（）（）（）令（）得 分?当（，）时，（），（）单 调 递 减，当（，）时，（），（）单 调 递 增，（）极 小 值（），无 极 大 值分?（）（）（），即（），即（），即 原 问 题 等 价 于（）在（，）上 恒 成 立，设（）（），（，），则 只 需（）分?（）（）（）（），分?令（），易 知（）在（，）上 单 调 递 增（），（）槡 ，存 在 唯 一 的（，），使 得（），分?当（，）时，（），（），（）单 调 递 增，当（，）时，（），（），（）单 调 递 减（）（）分?即 可（，），（，），故 整 数的 最 小 值 为分?解：（），即 由 正 弦 定 理 得，即分?，（，），又（，），即 分?（）若 选：设外 接 圆 半 径 为，则 根 据 正 弦 定 理有 槡槡 分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）为的 外 心，则为 外 接 圆 半 径，槡 与 已 知 矛 盾，故 不 能 选；分?若 选：为的 重 心，则为 线 段的 中 点 且 槡 分?（），即（）（）分?又 由 余 弦 定 理 得 ，即 （）分?联 立（）（）得 分?槡槡 分?若 选：为的 内 心，则 分?由 有 槡 槡槡（），即 （）分?由 余 弦 定 理 可 得 ，即（）（）分?联 立（）（）得 分?槡槡 分?解：（）当 时，（），（）分?当（，）时，（）分?所 以，当 时，函 数（）在（，）上 单 调 递 增分?（）不 妨 设 ，由（）（）得 ，（）（）分?设（），则（），故（）在（，）上 为 增 函 数，从 而 ，（）（）（）分?要 证，只 要 证 槡下 面 证 明：槡，即 证槡分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（理 科）试 题 答 案 第 页（共页）令，则，即 证 明 槡，只 要 证 明：槡分?设（）槡，得（）（槡）槡，则（）在（，）上 单 调 递 减，当 时，（）（），从 而 槡得 证，分?分?解：（）设的 极 坐 标 为（，）（），的 极 坐 标 为（，）（）分?由 已 知 得，即，得的 极 坐 标 方 程 为（）分?所 以的 直 角 坐 标 方 程 为（）（）分?（备 注，没 有扣分）（）设 点的 极 坐 标 为（，）（），由 题 设 知，分?于 是（）（）槡分?因 为，所 以 所 以 当 时，取 得 最 大 值槡 ，所 以面 积 的 最 大 值 为槡 分?解：（）证 明：因 为 ，且，都 是 正 数所 以 （）（）（）（）分?（）（）（）分?（）分?（当 且 仅 当 时 取 等 号）所 以 得 证分?（）因 为（）分?所 以 （当 且 仅 当 时 取 等 号）所 以（）分?由 题 意 得 恒 成 立，即 恒 成 立分?因 此 ，即，故 存 在 实 数，使 不 等 式 成 立分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）内江市高中届第一次模拟考试题数学（文科）参考答案及评分意见一、选 择 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）二、填 空 题（本 大 题 共小 题，每 小 题分，共分）三、解 答 题（共分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答，第、题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答）解：（）设 等 差 数 列 的 公 差 为，则 ，解 得分?所 以（）分?（）分?（）由（）得 ，（），则 （）（）分?所 以 （）（）分?解：（）为 了 判 断 两 个 函 数 模 型：，拟 合 程 度，只 需 要 判 断 两 个 函 数 模型 ，拟 合 程 度 即 可分?设 和 的 相 关 系 数 为，和 的 相 关 系 数 为，由 题 意（珔）（珋）（珔）槡（珋）槡 分?（珋）（珋）（珋）槡（珋）槡 分?显 然，因 此 从 相 关 系 数 的 角 度，模 型 的 拟 合 程 度 更 好分?（）先 建 立关 于的 线 性 回 归 方 程，由 得，即 ，（珋）（珋）（珋），珋 珋 分?所 以关 于的 线 性 回 归 方 程 为 ，即 分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）所 求 回 归 方 程 为 分?解：（）当 时，（）（）（）（）令（）得 分?当（，）时，（），（）单 调 递 减，当（，）时，（），（）单 调 递增，（）极 小 值（），无 极 大 值分?（）（），即，即 ，（）恒 成 立分?设（）（），（，），则 只 需（）分?（）（），令（）（）易 知（）在（，）单 调 递 减 且（）分?当 时，（），（），（）单 调 递 增当 时，（），（），（）单 调 递 减，（）（）分?故的 取 值 范 围 为，）分?解：（），即 由 正 弦 定 理 得，即分?，（，），又（，），即 分?（）为的 重 心，则为 线 段的 中 点 且 槡 分?（），即（）（）分?又 由 余 弦 定 理 得 ，即 （）分?联 立（）（）得 分?槡槡 分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）解：（）当 时，（）分?当在 区 间，上 变 化 时，（）的 变 化 如 下 表：（，）（，）（）分?所 以（）的 单 调 增 区 间 为（，），（）的 单 调 减 区 间 为（，）分?（）由（），可 得（）（）分?当时，在，上 恒 成 立所 以，时，（）（）所 以（）在，上 单 调 递 增又 因 为（），所 以 函 数（）在，上 有个 零 点分?当 时，令（）有 由 可 知 存 在 唯 一 的（，）使 得 所 以 当，）时，（），（）单 调 递 增；当（，）时，（），（）单 调 递 减分?故（）（），又（），（）当（），即 时，（）在，上 有个 零 点分?（）当（），即 时，（）在，上 有个 零 点分?综 上：当 时，（）有个 零 点；当 时，（）有个 零 点分?解：（）设的 极 坐 标 为（，）（），的 极 坐 标 为（，）（）分?由 已 知 得，即，得的 极 坐 标 方 程 为（）分?所 以的 直 角 坐 标 方 程 为（）（）分?（备 注，没 有扣分）（）设 点的 极 坐 标 为（，）（），由 题 设 知，分?于 是（）（）槡分?因 为，所 以 所 以 当 时，取 得 最 大 值槡 ，所 以面 积 的 最 大 值 为槡 分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#高 三 一 模 考 试 数 学（文 科）试 题 答 案 第 页（共页）解：（）证 明：因 为 ，且，都 是 正 数所 以 （）（）（）（）分?（）（）（）分?（）分?（当 且 仅 当 时 取 等 号）所 以 得 证分?（）因 为（）分?所 以 （当 且 仅 当 时 取 等 号）所 以（）分?由 题 意 得 恒 成 立，即 恒 成 立分?因 此 ，即，故 存 在 实 数，使 不 等 式 成 立分?#QQABZYCEgggAAhAAABhCAQH6CgKQkBCACIoGgBAIIAABgQFABAA=#