2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　必刷大题17　解析几何.docx

公众号：高中试卷君必刷大题17解析几何1(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y24x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P)直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N.(1)证明：线段MP的中点在定直线上；(2)若点P的坐标为(2,2)，试判断M，Q，N三点是否共线解(1)设P(x0，y0)，则y4x0，因为点P在第一象限，所以y02，对y2两边求导得y，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为y2(xx0)，令y0，则xx0，所以M(x0,0)，所以线段MP的中点为，所以线段MP的中点在定直线x0上(2)若P(2,2)，则M(2,0)所以kMP，kPF2，因为PNl，所以kPN，所以直线PF：y2(x1)，直线PN：y(x4)由得2x25x20，所以x或2，所以Q，由得x210x160，所以x2或8，所以N(8，4)因为M(2,0)，Q，N(8，4)，所以kMQ，kMN，所以M，Q，N三点共线2(2023·石家庄模拟)已知E(，0)，F，点A满足|AE|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l：ykxm与双曲线：1交于M，N两点，且MON(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围解(1)设A(x，y)，因为|AE|AF|，所以×，将等式两边平方后化简得x2y21.(2)将直线l：ykxm与双曲线1联立，得(4k29)x28kmx4m2360，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以有即m29>4k2且k±，所以x1x2，x1x2，因为MON，所以，即·0，所以x1x2y1y20x1x2(kx1m)·(kx2m)0，化简得(k21)x1x2km(x1x2)m20，把x1x2，x1x2代入，得(k21)·km·m20，化简得m2，因为m29>4k2且k±，所以有9>4k2且k±，解得k±，圆x2y21的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l：ykxm的距离为d>1，所以点A到直线l距离的最大值为1，最小值为1，所以点A到直线l距离的取值范围为.3(2023·广州模拟)已知椭圆C：1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x1交于P，Q两点，证明：四边形OPA2Q为菱形(1)解由题可知c1.当l1与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，所以解得a2，b.所以椭圆C的标准方程为1.(2)证明设l1的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去x得(3m24)y26my90，易知>0恒成立，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，由直线A1M的斜率为，得直线A1M的方程为y(x2)，当x1时，yP，由直线A2N的斜率为，得直线A2N的方程为y(x2)，当x1时，yQ，若四边形OPA2Q为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证yPyQ0，因为yPyQ，则2my1y23(y1y2)2m·3·0，所以|PF|QF|，即PQ与OA2相互垂直且平分，所以四边形OPA2Q为菱形4(2022·衡阳模拟)设椭圆E：1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆E的方程；(2)设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；求APQ面积的最大值(1)解e，|AB|，a24c2，a2b27，又a2b2c2，a24，b23，椭圆E的方程为1.(2)证明当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxm，由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又A(2,0)，由题知kAP·kAQ·，则(x12)(x22)4y1y20，且x1，x22，则x1·x22(x1x2)44(kx1m)(kx2m)(14k2)x1x2(24km)(x1x2)4m24(24km)·4m240，则m2km2k20，(m2k)(mk)0，m2k或mk.当m2k时，直线PQ的方程为ykx2kk(x2)，此时直线PQ过定点(2,0)，显然不符合题意；当mk时，直线PQ的方程为ykxkk(x1)此时直线PQ过定点(1,0)当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)，P，Q的坐标分别为，.满足kAP·kAQ.综上，直线PQ过定点(1,0)解不妨设直线PQ过定点(1,0)为F.则APQ的面积S×|AF|×|y1y2|y1y2|，设直线PQ的方程为xmy1，联立椭圆的方程1，消去x得(43m2)y26my90，则y1y2，y1y2，S|y1y2|18.令tm21(t1)，则S1818，t1，9t616(当且仅当t1即m0时取等号)，S，即APQ面积的最大值为.公众号：高中试卷君