2024届云南省红河哈尼族彝族自治州、文山壮族苗族自治州高三上学期第一次复习统一检测数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司红河州、文山州红河州、文山州 2024 届高中毕业生第一次复习统一检测届高中毕业生第一次复习统一检测数学数学注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2 13,680AxxBx xx，则AB（）A.1,4B.1,4)C.2,3D.2,3)2.已知复数2(1 i)iiz，则z（）A.iB.iC.2iD.2i3.已知数列 na满足：119,2nnaaan，则4a（）A.21B.23C.25D.274.已知函数2()lnf xxmx的图象在点(1,1)P处的切线经过点(0,1)Q，则实数 m 的值为（）A.2B.1C.1D.25.已知10,sincos2446，则tan（）A.22B.33C.2D.36.已知 a，b，c 为正实数，满足3255,log5,5aabbcc，则实数 a，b，c 之间的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca7.如图，M 是抛物线28yx上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM 为终边的角23xFM，则|FM（）第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.6B.3C.83D.438.在ABC中，2,3BCBAC，点 P 满足20PAPBPCuu ruuruu u r，则PB PC 的最大值为（）A.34B.14C.13D.23二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.近年来，各级党委政府，教育管理部门和学校高度重视“平安校园”建设，经过不懈努力，已取得了一定成效。某校法制副校长通过专题讲座的形式将平安校园知识普及至师生。为了了解讲座效果。随机抽取 10名师生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份平安校园知识答卷，这 10 名师生在讲座前和讲座后答卷的正确率如图所示：讲座前后平安校园知识答题情况对比馈图根据上列图表信息，下列说法正确的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数等于72.5%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于90%第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司C.讲座前问卷答题的正确率的上四分位数为85%D.讲座后问卷答题的正确率极差小于讲座前正确率的极差10.函数()sin()0,0,|2f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x最小正周期4T B.12x 是()f x的一条对称轴C.若124f xf x，则12xx的最小值为D.若任意12,6 3x x，且 12f xf x，则123f xx11.如图，在正方体1111ABCDAB E D中，E，F，G 分别为 AB，BC，1AA的中点，则下列说法中正确的是（）A.11D FABB 1BC平面EFGC.直线1D F与EG所成角的余弦值为23的.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司D.若2AB，棱台1ABGDCD的表面积为1312.已知()ln|cos|ln|sin|,()2kf xxxxkZ则（）A.()f x的值域为0,)B.4fx是奇函数C.若(1,2,3)ix i L为函数()f x的零点，且0ix，则214niinxD.()f x单调递增区间为,()222kkkZ三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.写出一个与向量(3,4)a 共线的单位向量：_.14.某校为了促进学生的发展，开设了新媒体、人工智能、模拟联合国 3 门兴趣课程和设计、天文 2 门探索课程。现有甲、乙、丙、丁四位同学想报名参加，若每人只能从中选一门且必须选一门课程，则恰有两位同学选择天文课程的报名方法数为_.15.在三棱锥PABC中，平面PAB 平面 ABC，ABBC，PAB为等边三角形，2ABBC，则该三棱锥外接球的表面积为_.16.设 F 是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O 为坐标原点，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若FOM的内切圆与 x 轴切于点 N，且23NFONuuu ruuu r，则 C 的离心率为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等比数列 na的前 n 项和为nS，其中公比451211,8aaqaa，且378S（1）求数列 na的通项公式；（2）若2log,1,nnna nbna为奇数为偶数，求数列 nb的前2n项和2nT18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足(sinsin)()(sinsin)aACbcCB（1）求角B；（2）若D为AC上一点，BD为B的平分线，且1BD，求ABC面积的最小值的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司19.在四棱锥PABCD中，PCD为等边三角形，四边形 ABCD 为直角梯形，,ABCD BCCD，平面ABCD平面 PCD，22DCAB（1）证明：CDPA；（2）若四棱锥PABCD体积为32，求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值20.杭州第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 2023 年 10 月 8 日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取 7 局 4 胜制，每局为 11 分制，每赢一球得一分（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球 2 次，然后乙连续发球 2 次，甲发球时甲得分的概率为 0.4乙发球时乙得分的概率为 0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望21.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，左焦点为(2 3,0)，长轴长为 8（1）求 E 的标准方程；（2）记 E左、右顶点分别为 A，B，过点(2,0)C的直线 l 与 E 交于 M，N 两点（M，N 均不与 A，B 重合），直线 MA 与 NB 交于点 P，试探究点 P 是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.22.已知函数()ln1()f xmxxmR（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若关于x的不等式1eln(1)0 xaxaxa恒成立，求实数 a 的取值范围的的第 1 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司红河州、文山州红河州、文山州 2024 届高中毕业生第一次复习统一检测届高中毕业生第一次复习统一检测数学数学注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2 13,680AxxBx xx，则AB（）A.1,4B.1,4)C.2,3D.2,3)【答案】B【解析】【分析】求解不等式2680 xx，然后根据集合并集运算即可；【详解】由2680 xx，解得24x，所以14ABxx，故选：B2.已知复数2(1 i)iiz，则z（）A.iB.iC.2iD.2i【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.【详解】2iii 1(i 1)(1 i)2ii1 i1 i(1 i)(1 i)2z.故选:B3.已知数列 na满足：119,2nnaaan，则4a（）A.21B.23C.25D.27【答案】A第 2 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】应用累加法求数列通项公式，再求出对应项.【详解】由题设12(1)nnaan，322 2aa，212 1aa，累加可得12(12 1)(1)naann n L且2n，则29nann，显然19a 也满足上式，所以2444921a.故选：A4.已知函数2()lnf xxmx的图象在点(1,1)P处的切线经过点(0,1)Q，则实数 m 的值为（）A.2B.1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由 10f 列方程来求得m.【详解】由题知，()2mfxxx，所以1 1(1)20,20 1PQfmkm.故选：A5.已知10,sincos2446，则tan（）A.22B.33C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式，再用降幂公式即可求出答案.【详解】由11112sincossin 2cos22442226，解得1cos23，又由21cos22cos13 ，解得21cos3，因为0,2，所以3cos3，又因为222sin1 cos3，得si n63，第 3 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以sintan2cos故选：C6.已知 a，b，c 为正实数，满足3255,log5,5aabbcc，则实数 a，b，c 之间的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】D【解析】【分析】根据题意，由指数函数，对数函数以及幂函数的单调性，代入计算，即可得到,a b c的范围，从而得到结果.【详解】函数()5af aa，则()f a在(0,)上单调递增，且 01,16ff，可得01a；函数2()logf bbb，则()f b在(0,)上单调递增，且 2233log 35,44log 46ff，可得3 b；函数3()f ccc，则()f c在(0,)上单调递增，且 312,22210ff，可得12c故选：D7.如图，M 是抛物线28yx上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM 为终边的角23xFM，则|FM（）第 4 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司A.6B.3C.83D.43【答案】C【解析】【分析】数形结合，利用抛物线的定义和准线的知识可得.【详解】如图所示，抛物线的准线:2l x 与 x 轴交于点 P，作MNl于 N，MEx轴于 E，因为23xFM，所以6EMF，设|MFa，可得1|2EFa，显然|MNPEPFEF，由抛物线的定义得|MNMF，结合|4PFp，故12apa，解得2284333ap故选：C8.在ABC中，2,3BCBAC，点 P 满足20PAPBPCuu ruuruu u r，则PB PC 的最大值为（）A.34B.14C.13D.23第 5 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】先确定P点的位置，然后根据向量数量积运算、圆的轨迹以及圆的几何性质求得PB PC 的最大值.【详解】设BC中点为M，由题可知：11()222PAPBPCPMMP ，所以P为AM的中点，故：22()()()()PB PCPMMBPMMCPMMBPMMBPMMB 22211144PMBCMA ，由3BAC，知点 P 的轨迹是以 BC 为弦，圆周角为3的优弧（除去,B C两点），由圆的性质可知，当AMBC时，|AM最大；此时ABC是等边三角形，|3AM，211144PB PCMA .故选：B【点睛】在三角形中，如果一个角是固定值，则根据圆的几何性质“同弧所对的圆周向相等”，可以判断出这个角对应的定点的轨迹是圆弧.求解向量数量积，可以通过转化的方法，转化为容易计算的角度来进行求解.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.近年来，各级党委政府，教育管理部门和学校高度重视“平安校园”建设，经过不懈努力，已取得了一定成效。某校法制副校长通过专题讲座的形式将平安校园知识普及至师生。为了了解讲座效果。随机抽取 10名师生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份平安校园知识答卷，这 10 名师生在讲座前和讲座后答卷的第 6 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司正确率如图所示：讲座前后平安校园知识答题情况对比馈图根据上列图表信息，下列说法正确的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数等于72.5%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于90%C.讲座前问卷答题的正确率的上四分位数为85%D.讲座后问卷答题的正确率极差小于讲座前正确率的极差【答案】ACD【解析】【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、平均数、四分位数、极差的定义依次判断选项即可.【详解】由图可知，讲座前问卷答题的正确率分别为65%60%70%60%65%75%90%85%80%95%，讲座后问卷答题的正确率分别为90%85%80%90%85%85%95%100%85%100%，.对于 A，根据图象，讲座前问卷答题的正确率按小到大排列为60%60%65%65%70%75%80%85%90%95%，讲座前正确率的中位数为70%75%72.5%2，故 A 正确；对于 B，讲座后正确率的平均数为190%+85%+80%+90%+85%+85%+95%100%85%100%=89.8%10+，故 B 错误；对于 C，根据讲座前的数据，1075%7.5，所以排序后的第 8 个数据为85%，故 C 正确；对于 D，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%，讲座后 10 位居民问卷答题正确率的极差为100%80%20%，的第 7 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司20%35%，故 D 正确；故选：ACD10.函数()sin()0,0,|2f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x的最小正周期4T B.12x 是()f x的一条对称轴C.若124f xf x，则12xx的最小值为D.若任意12,6 3x x，且 12f xf x，则123f xx【答案】BD【解析】【分析】根据函数图形可求 2sin 23f xx出并结合三角函数图象性质逐项判断即可求解.【详解】对于 A:由12362T，得T 故 A 错误；对于 B:由36212x，得12x 是()f x的一条对称轴故 B 正确；对于 C:由图知()f x的最大值为2，最小值为2，且124f xf x，12,x x一个是()f x的最大值点，另一个是()f x的最小值点，故12xx的最小值为2，故 C 错误；对于 D:由 A、C 项知22T，2A，由 B 项知当12x 时2sin 221212f，第 8 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司得sin16，所以2 62k，kZ，又2，所以3.所以()2sin 23f xx，又由12,6 3x x，且 12f xf x，得12212xx，解得126xx，所以1222sin 22sin36633f xxf，故 D 正确故选：BD11.如图，在正方体1111ABCDAB E D中，E，F，G 分别为 AB，BC，1AA的中点，则下列说法中正确的是（）A.11D FABB.1BC平面EFGC.直线1D F与EG所成角的余弦值为23D.若2AB，棱台1ABGDCD的表面积为13【答案】ABD【解析】【分析】证明线面垂直判定定理，利用截面的求解线面平行，求解异面直线的余弦值，以及求解棱台的表面积.【详解】对于 A，因为11111,ABAB ABAD，1111111=,ABADA AB AD 平面11ABCD，第 9 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以1AB 平面11ABCD，又因为1D F 平面11ABCD，所以11D FAB，故 A 正确对于 B，如图，过 E，F，G 的平面截正方体所得的截面为正六边形 EFNLHG，因为1,BCFN FN 平面 EFG,1BC 平面 EFG，所以1BC 平面 EFG，故 B 正确对于 C，如图，连结11,D F DC，因为1DCEG，所以直线1D F与 EG 所成角为1FDC，因为1FCDC,所以1112 2cos3DCFDCD F，故 C 错误对于 D，111AEGDCDAGDDAECDGECDSSSSSS梯形梯形梯形111113 21 12 2(12)2(12)2(22 2)222222 13，故 D 正确第 10 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司故选：ABD12.已知()ln|cos|ln|sin|,()2kf xxxxkZ则（）A.()f x的值域为0,)B.4fx是奇函数C.若(1,2,3)ix i L为函数()f x的零点，且0ix，则214niinxD.()f x的单调递增区间为,()222kkkZ【答案】BC【解析】【分析】选项 A：将cos()ln|cos|ln|sin|ln,sinxf xxxx然后判断函数值域；选项 B：根据奇函数的定义证明；选项 C：根据函数的周期和零点计算求解；选项 D：判断函数在0,2x的单调性，然后结合函数的偶函数性质求解函数的单调递增区间；【详解】对于 A，cos()ln|cos|ln|sin|ln,sinxf xxxx当cos0,1sinxx，()0f x，选项 A 错误；对于 B，ln cosln sinln cosln sin44444fxxxxx ln sinln cos444xxfx，故 B 正确对于 C，显然函数满足()()fxf x且 关于,04对称，所以()f x是以为周期的函数，又因为044ff，所以21354444niinx，故 C 正确对于 D，当0,2x时，cos()lncoslnsinlnsinxf xxxx，第 11 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司2()0sin2fxx，所以()f x在0,2上单调递减，又因为()f x是以为周期的偶函数，所以()f x的单调递增区间为,()2kkkZ，故 D 错误故选：BC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.写出一个与向量(3,4)a 共线的单位向量：_.【答案】3 4,5 5或34,55【解析】【分析】由共线单位向量的定义求出.【详解】设所求向量为(,)bx y，由题可知：34yx且221xy，解得：3545xy 或3545xy，所以向量坐标为3 4,5 5或34,55故答案为：3 4,5 5或34,5514.某校为了促进学生的发展，开设了新媒体、人工智能、模拟联合国 3 门兴趣课程和设计、天文 2 门探索课程。现有甲、乙、丙、丁四位同学想报名参加，若每人只能从中选一门且必须选一门课程，则恰有两位同学选择天文课程的报名方法数为_.【答案】96【解析】【分析】利用分步乘法原理可计算得解.【详解】由题知，分两步完成报名：第一步，安排甲、乙、丙、丁四位同学的 2 名选择天文课程，则有：24C=6种情况；第二步，剩下 2 名同学再选择新媒体、人工智能、模拟联合国、设计四个课程中的任意一个有：4 416第 12 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司种情况；所以恰有两位同学选择天文课程的报名方法数为：6 1696种情况故答案为：96.15.在三棱锥PABC中，平面PAB 平面 ABC，ABBC，PAB为等边三角形，2ABBC，则该三棱锥外接球的表面积为_.【答案】283【解析】【分析】通过题意画出图像，通过三棱锥图像性质以及三棱锥外接球的相关性质确定圆心位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果.【详解】如图所示，设PAB外接圆的圆心为1O，ABC外接圆的圆心为2O，取 AB 的中点为 E，连接 PE，则PEAB，因为PAB为等边三角形，所以1O在 PE 上，又因为ABBC，所以2O在 AC 的中点处，则22O C，过点1O作平面 PAB 的垂线，过点2O作平面 ABC 的垂线，则两垂线的交点为球心 O，又因为2ABBC，所以11333O EPE，又因为平面PAB 平面 ABC，平面PAB平面ABCABPEAB，所以PE 平面 ABC，所以2PEOO，第 13 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以1233O EOO设三棱锥PABC外接圆的半径为 R，则222217233RO COO，所以该三棱锥外接球的表面积22843SR球故答案为：283【点睛】关键点睛：通过三棱锥的几何特征确定外接球的球心和半径,利用球的表面积公式即可.16.设 F 是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，O 为坐标原点，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，若FOM的内切圆与 x 轴切于点 N，且23NFONuuu ruuu r，则 C 的离心率为_.【答案】53【解析】【分析】结合题意，首先求出2abcr，由23NFONuuu ruuu r，通过运算得到55bca，再利用,a b c e之间的关系得到关于离心率的方程，解出即可.【详解】结合题意：双曲线的渐近线方程为：byxa，即0bxay.所以 F,0c到渐近线的距离为22|bcFMbba，所以22|OMcba，则FOM的内切圆的半径为2abcr，设FOM的内切圆与 FM 切于点 P，第 14 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司则|2abcMPr，由23NFONuuu ruuu r，得33|552abcFPNFcFPMPcMFb,即22255,251025bcabcaca,则222225251025cacaca，222410500caca，由cea，得2125250ee即(35)(45)0ee,由于1e，解得53e 故答案为：53.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等比数列 na的前 n 项和为nS，其中公比451211,8aaqaa，且378S（1）求数列 na的通项公式；（2）若2log,1,nnna nbna为奇数为偶数，求数列 nb的前2n项和2nT【答案】（1）12nna （2）1224433nnTn【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解，（2）根据分组求和，结合等比求和公式即可求解【小问 1 详解】因为 na是等比数列，公比1q ，所以3434511121118aaa qa qqaaaa q，解得12q，.第 15 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司由31311271812aS，解得112a 所以数列 na通项公式为12nna【小问 2 详解】由（1）得,2,nnn nbn为奇数为偶数，则 21321242nnnTbbbbbb242(1 321)222nn 221 4(121)21 4nnn 124433nn18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足(sinsin)()(sinsin)aACbcCB（1）求角B；（2）若D为AC上一点，BD为B的平分线，且1BD，求ABC面积的最小值【答案】（1）3 （2）33【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理化简已知条件来求得B.（2）根据三角形的面积公式、基本不等式求得ABC面积的最小值.【小问 1 详解】由(sinsin)()(sinsin)aACbcCB及正弦定理，得()()()a acbc cb，整理得222acbac，由余弦定理可得：2221cos222acbacBacac，又(0,)B，所以3B 的第 16 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】依题意得：ABCABDCBDSSS，即111sinsinsin22222BBacBc BDa BD，整理得3acac，又32acacac，解得43ac，当且仅当2 33ac时等号成立所以11433sin22323ABCSacB，故ABC的面积的最小值为3319.在四棱锥PABCD中，PCD为等边三角形，四边形 ABCD 为直角梯形，,ABCD BCCD，平面ABCD平面 PCD，22DCAB（1）证明：CDPA；（2）若四棱锥PABCD的体积为32，求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）10535【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理即可求解；（2）根据（1）的结论及面面垂直的性质定理，利用棱锥的体积公式，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线 PB 的方向向量和平面 PAD 的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线面角的关系即可求解.【小问 1 详解】取 CD 中点为 M，连接 AM 与 PM，如图所示第 17 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司因为22ABCDDCAB，所以四边形 ABCM 为平行四边形，则AMBC，又因为BCCD，所以AMCD，因为PCD为等边三角形，CD 中点为 M，所以PMCD，由AMPMMAM，平面 PAM，PM 平面 PAM，可得CD 平面 PAM，因AP平面 PAM，所以CDPA小问 2 详解】由（1）可知PMCD，因为平面ABCD平面 PCD，平面ABCD平面PCDCD，PM 平面 PCD，所以PM 平面 ABCD，即 PM 为四棱锥PABCD的高，又因为梯形 ABCD 的面积13(12),322SBCBC PM，所以四棱锥PABCD的体积133333222P ABCDVBCBC，解得3BC，由AMCD，平面ABCD平面 PCD，平面ABCD平面PCDCD，AM 平面 ABCD，可得AM平面 PCD，所以 AM，CD，PM 两两垂直，以 M 为坐标原点，以MC 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则(0,3,0),(1,0,3),(0,0,3),(1,0,0)PBAD，为【第 18 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以(1,3,3),(0,3,3),(1,3,0)PBPAPD 设平面 PAD 的一个法向量(,)nx y z，则00n PAn PD ,即33030yzxy，取1y，则3,1xz，即(3,1,1)n ，设直线 PB 与平面 PAD 所成角为，则|3105sin|cos,|35|35PB nPB nPBn ，所以直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为10535.20.杭州第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 2023 年 10 月 8 日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取 7 局 4 胜制，每局为 11 分制，每赢一球得一分（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球 2 次，然后乙连续发球 2 次，甲发球时甲得分的概率为 0.4乙发球时乙得分的概率为 0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率；（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望【答案】（1）425；（2）分布列见解析，数学期望为23681.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得.（2）求出 X 的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得.【小问 1 详解】在比分为8 8:后甲先发球的情况下，甲以11:9获胜的情况分三种：第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为123113552250P，第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为232113552250P，第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为322111552225P，第 19 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以所求事件的概率为：123331450502525PPP【小问 2 详解】随机变量 X 的可能取值为 2，3，4，5，224(2)339P X，121228(3)C33327P X，1243212113(4)C()()333381P X，1333442121218(5)C()C()33333381P X，所以 X 的分布列为X2345P498271381881数学期望48138236()2345927818181E X .21.已知椭圆 E 的中心为坐标原点，左焦点为(2 3,0)，长轴长为 8（1）求 E 的标准方程；（2）记 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点(2,0)C的直线 l 与 E 交于 M，N 两点（M，N 均不与 A，B 重合），直线 MA 与 NB 交于点 P，试探究点 P 是否在定直线上，若是，则求出该直线方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）221164xy （2）是，8x【解析】【分析】（1）由椭圆的定义求出椭圆方程即可；（2）设直线 l 的方程为2xmy，联立曲线方程，由韦达定理得到直线 MM 的方程为11(4)4yyxx，直线 NB 的方程为22(4)4yyxx，再由两直线的交点坐标解方程得到点P.【小问 1 详解】设椭圆 E 的方程为22221(0)xyabab，依题意，可得第 20 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司2222 328cabca解得42ab故所求 E 的标准方程为221164xy【小问 2 详解】由（1）可得(4,0),(4,0)AB，设1122,M x yN xy，显然直线 l 的斜率不为 0，所以设直线 l 的方程为2xmy，联立222416xmyxy，消去 x 得2244120mymy，且26430m，则1212121222412,344myyy ymy yyymm ，直线 MM 的方程为11(4)4yyxx，直线 NB 的方程为22(4)4yyxx，联立直线 MA 的方程和直线 NB 的方程可得212112212212121212112112466336394344223323yxymymy yyyyyyyxxyxymymy yyyyyyy，由434xx得，8x，即8px，由此可得点 P 在定直线8x 上【点睛】本题考查椭圆内定直线问题，数形结合可辅助分析.（1）由椭圆的定义求出椭圆方程即可；第 21 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司（2）设直线 l 的方程为2xmy，联立曲线方程，由韦达定理得到直线 MM 的方程为11(4)4yyxx，直线 NB 的方程为22(4)4yyxx，再由两直线的交点坐标解方程得到点P.22.已知函数()ln1()f xmxxmR（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若关于x的不等式1eln(1)0 xaxaxa恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1）答案见解析 （2）(,0【解析】【分析】（1）先求得 fx，然后对m进行分类讨论，从而求得 f x的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为ln1elne(1)xxaxa x，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【小问 1 详解】由题可知，()f x的定义域为(0,)，11()mxfxmxx当0m 时，10mx 在(0,)上恒成立，所以()0fx在(0,)上恒成立，即()f x在(0,)单调递减当0m 时，令()0fx解得1xm，令()0fx解得10 xm，所以()f x在10,m上单调递减，在1,m上单调递增【小问 2 详解】由1eln(1)0 xaxaxa，得1lne(1)xxaxa x，即ln1elne(1)xxaxa x令()xg xeax则原不等式等价于(ln)(1)gxg x由（1）得，当1m 时()(1)0f xf第 22 页/共 22 页学科网（北京）股份有限公司所以ln1xx在(0,)上恒成立若(ln)(1)gxg x在(0,)上恒成立，则需()xg xeax在R上单调递增所以()e0 xg xa在R上恒成立，即exa 在上R恒成立，则0a，所以实数 a 的取值范围是(,0.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定 f x的定义域；（2）计算导数 fx；（3）求出 0fx的根；（4）用 0fx的根将 f x的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内 fx的符号，进而确定 f x的单调区间：()0fx，则 f x在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；0fx，则 f x在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.