2024届广东省广州市高三上学期12月调研考试数学试题（B）含答案.pdf

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2024 届广州市高三年级调研测试届广州市高三年级调研测试数学数学本试卷共本试卷共 5 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2zz，4izz，则z（）A 1B.2C.5D.2 52 已知集合ln 1 2Mx yx，exNy y，则MN（）A.10,2B.1,2C.1,2D.3.已知向量2,4a ，1,bt，若a与b共线，则向量ab在向量0,1j 上的投影向量为（）A.jB.jC.2 jD.2 j4.已知函数 031xbf xaab是奇函数，则（）A.20abB.20abC.0abD.0ab5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，记各层球数构成数列 na，且1nnaa为等差数列，则数列1na的前100项和为（）.第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A.99100B.100101C.9950D.2001016.直线:2l ykx与圆22:670C xyx交于 A，B 两点，则AB的取值范围为（）A.7,4B.2 7,8C.3,4D.2 3,87.已知02，1cos5，3sin5，则tantan的值为（）A 12B.35C.53D.28.若函数 32113f xxaxx在区间0,2上存在极小值点，则 a 的取值范围为（）A.51,4B.51,4C.5,24D.1,二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排现从某小区随机调查了 200 户家庭十月份的用电量（单位：kWh），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中 a 的值为 0.015B.样本的第 25 百分位数约为 217C.样本平均数约为 198.4.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司D.在被调查的用户中，用电量落在170,230内的户数为 10810.已知双曲线222:102xyEaa的左、右焦点别为1F，2F，过点2F的直线 l 与双曲线E的右支相交于,P Q两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则2a B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1C 若1290FPF，则124PFPFD.当a变化时，1FPQ周长的最小值为8 211.已知点3,18P是函数 sin04f xxb的图象的一个对称中心，则（）A.318fx是奇函数B.2833k，*kNC.若 f x在区间3 11,88上有且仅有2条对称轴，则2D.若 f x在区间 2,55上单调递减，则2或14312.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，已知 M，N，P 分别是棱11C D，1AA，BC的中点，Q 为平面PMN上的动点，且直线1QB与直线1DB的夹角为30，则（）A.1DB 平面PMN.第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司B.平面PMN截正方体所得的截面面积为3 3C.点 Q 的轨迹长度为D.能放入由平面 PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为332三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，点 M 在 C 上，MFx轴，若OFM（O 为坐标原点）的面积为 2，则p _.14.522xxy的展开式中52x y的系数为_（用数字作答）.15.已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，PC 平面ABC，6PCBC，2 6AB，且PA与平面ABC所成角的正弦值为66，则该球的表面积为_.16.已知函数 222e22 e0 xxf xa xa xa恰有两个零点，则a_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设数列 na的前 n 项和为nS，且21nnSa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2log,nnna nba n为奇数为偶数，求数列 nb的前 2n 项和2nT.18.如图，在四棱锥PABCD中，/CD AB，90ABC，224ABBCCD，三棱锥BPAD的体积为4 23.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）若PAPD，平面PAD 平面ABCD，点N在线段AP上，2ANNP，求平面NCD与平面ABCD夹角余弦值.的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司19.记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinsin2 sinsinbBcCaAbBC且2C.（1）求证：2BA；（2）求cossinsinABC的取值范围.20.已知函数 2 ln1f xxxax.（1）当0a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）当10 x 时，0f x，求 a 的取值范围.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求 X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22.在平面直角坐标系xOy中，点3,0F，点,P x y是平面内的动点.若以 PF 为直径的圆与圆22:4O xy内切，记点 P 的轨迹为曲线 E（1）求 E 的方程；（2）设点0,1A，,0M t，4,02Ntt，直线 AM，AN 分别与曲线 E 交于点 S，T（S，T 异于A），AHST，垂足为 H，求OH的最小值第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司2024 届广州市高三年级调研测试届广州市高三年级调研测试数学数学本试卷共本试卷共 5 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效不按以上要求作答无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2zz，4izz，则z（）A.1B.2C.5D.2 5【答案】C【解析】【分析】由条件求得z，即可计算模长.【详解】2zz，4izz，224iz，12zi，221(2)5z .故选：C.2.已知集合ln 1 2Mx yx，exNy y，则MN（）A.10,2B.1,2C.1,2D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得,M N，进而求得MN.第 2 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由1 20 x，解得12x，所以1|2Mx x，而e0 xy=，所以|0Ny y，所以10,2MN.故选：A3.已知向量2,4a ，1,bt，若a与b共线，则向量ab在向量0,1j 上的投影向量为（）A.jB.jC.2 jD.2 j【答案】C【解析】【分析】根据a与b共线，可得240t，求得2t ，再利用向量ab在向量0,1j 上的投影向量为()abjjjj，计算即可得解.【详解】由向量2,4a ，1,bt，若a与b共线，则240t，所以2t ，(1,2)ab，所以向量ab在向量0,1j 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21abjjjjjj，故选：C4.已知函数 031xbf xaab是奇函数，则（）A.20abB.20abC.0abD.0ab【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】f x的定义域为|0 x x，第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司由于 f x是奇函数，所以 0fxf x，所以3231313131xxxxxbbbbaaa1 322031xxbaab.故选：B5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，记各层球数构成数列 na，且1nnaa为等差数列，则数列1na的前100项和为（）A.99100B.100101C.9950D.200101【答案】D【解析】【分析】根据累加法求得na，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】1231,3,6aaa，21322,3aaaa，由于1nnaa为等差数列，所以12111nnaann，所以 121321nnnaaaaaaaa11232nnn ，1a也符合，所以11211,2211nnn naan nnn，所以数列1na的前100项和为1111112002 12 1223100101101101.故选：D6.直线:2l ykx与圆22:670C xyx交于 A，B 两点，则AB的取值范围为（）第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司A.7,4B.2 7,8C.3,4D.2 3,8【答案】D【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB的取值范围.【详解】由题易知直线:2l ykx恒过0,2M，圆22:670C xyx化为标准方程得22:316Cxy，即圆心为3,0C，半径4r，圆心到0,2M距离223002134CM，所以0,2M在圆C内，则直线l与圆C交点弦AB最大值为直径即 8，AB最小时即为圆心到直线距离最大，即CMl时，此时22 4132 3AB，所以AB的取值范围为2 3,8.故选：D7.已知02，1cos5，3sin5，则tantan的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】1coscoscossinsin5，第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司3sinsincoscossin5，1sicoscossinsincoscossin3n，分子分母同时除以coscos得：1tantan1tantan3，由于02，所以00202，所以02，所以234cos155，所以sin3tancos4，即tantan333,tantantantan1tantan444，代入得：1333tantan441tantan，解得3tantan5.故选：B8.若函数 32113f xxaxx在区间0,2上存在极小值点，则 a 的取值范围为（）A.51,4B.51,4C.5,24D.1,【答案】A【解析】【分析】根据 fx的零点、f x的极值点的情况列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】32113f xxaxx，221fxxax，221fxxax的开口向上，对称轴为xa，与y轴的交点为0,1，当0a 时，在区间0,上，()0fx，f x单调递增，没有极值点，所以0a，第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司要使 f x在区间0,2上存在极小值点，则 2210fxxax 在0,2有两个不等的正根，则需 20440022540aaafa，解得514a，所以a的取值范围是51,4.故选：A【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定 f x的定义域；（2）计算导数 fx；（3）求出 0fx的根；（4）用 0fx的根将 f x的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内 fx的符号，进而确定 f x的单调区间；（5）根据单调区间求得 f x的极值点.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分9.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排现从某小区随机调查了 200 户家庭十月份的用电量（单位：kWh），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中 a 的值为 0.015B.样本的第 25 百分位数约为 217C.样本平均数约为 198.4D.在被调查的用户中，用电量落在170,230内的户数为 108【答案】AC【解析】第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.【详解】对 A，20(0.0060.0070.01 0.012)1a，所以0.015a，故 A 正确；对 B 设样本的第 25 百分位数约为b，则20 0.0070.140.2520(0.0070.012)0.380.25，所以170,190b，故 B 错误；对 C，样本平均数为：20(160 0.007 180 0.012200 0.015220 0.01240 0.006)198.4，故 C 正确；对 D，用电量落在170,230内的户数为：20(0.0120.0150.01)200148，故 D 错误.故选：AC10.已知双曲线222:102xyEaa的左、右焦点别为1F，2F，过点2F的直线 l 与双曲线E的右支相交于,P Q两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则2a B.若E的离心率为3，则E的实轴长为1C.若1290FPF，则124PFPFD.当a变化时，1FPQ周长的最小值为8 2【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，2b，A 选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,2baba，故 A 正确；B 选项，若E的离心率为22222222113ccabbeaaaaa，第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司解得1a，所以实轴长22a，故 B 错误；C 选项，若1290FPF，则122221224PFPFaPFPFc，整理得222121224448,4PFPFcabPFPF，故 C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PFPFaQFQFa，两式相加得11114,4PFQFPQa PFQFaPQ，所以1FPQ周长为42aPQ，当12PQFF时，PQ取得最小值224baa，所以884242 48 2aPQaaaa，当且仅当84aa，即2a 时，等号成立，所以1FPQ周长的最小值为8 2，故 D 正确.故选：ACD11.已知点3,18P是函数 sin04f xxb的图象的一个对称中心，则（）A.318fx奇函数B.2833k，*kNC.若 f x在区间3 11,88上有且仅有2条对称轴，则2D.若 f x在区间 2,55上单调递减，则2或143【答案】BC【解析】【分析】根据 f x的对称中心求得,b，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.是第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意，点3,18P是函数 sin04f xxb的图象的一个对称中心，所以1b，且*3328sin0,848433kk k N，B 选项正确.则*28sin1,334kf xk xN，所以32831sin83384fxkx 28sin1 2332k xk，由于1 2k是奇数，所以3281sin1 28332fxk xk 是偶函数，A 选项错误.C 选项，311 311,8884484xx，将*28,33kkN代入得：32828112883343348334kk xk，整理得288 233433kkk xk，由于 f x在区间3 11,88上有且仅有2条对称轴，所以38 252332k，解得13191616k，由于*kN，所以1k，对应28233，所以 C 选项正确.D 选项，f x在区间 2,55上单调递减，2 22,555554454xxx，将*28,33kkN代入得：282822853343345334kk xk，第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司整理得87281615603341560kk xk，则168715601560kk，解得1718k，而*kN，所以1k 或2k，1k 时，87 1637 21,156015606020kk，符合单调性，2k 时，87 1671 127,156015606060kk，不符合单调性，所以2k 舍去所以281233 ，所以 D 选项错误.故选：BC12.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，已知 M，N，P 分别是棱11C D，1AA，BC的中点，Q 为平面PMN上的动点，且直线1QB与直线1DB的夹角为30，则（）A.1DB 平面PMNB.平面PMN截正方体所得的截面面积为3 3C.点 Q 的轨迹长度为D.能放入由平面 PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为332【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面PMN截正方体所得的截面，求出面积；C 选项，作出辅助线，得到点 Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司1B D上，设球心为,R t t t，由RSt 得到方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，以D为坐标原点，1,DA DC DD所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，11,2,0,0,1,2,2,0,1,0,0,0,2,2,2PMNDB，故12,2,2,1,1,2,1,2,1DBPMPN .设平面PMN的法向量为,mx y z，则 ,1,1,220,1,2,120m PMx y zxyzm PNx y zxyz ，令1z 得，1xy，故1,1,1m，因为12DBm，故1DB 平面PMN，A 正确；B 选项，取111,AD AB CC的中点,E F Q，连接11,MQ ME EN NF FP PQ EP AB CD，因为 M，N，P 分别是棱11C D，1AA，BC的中点，所以11/,/NMQFABCD，又11/EPABCD，所以/NFMQEP，所以平面PMN截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN，其中边长为2，故面积为23623 34，B 正确；第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司 C 选项，Q 为平面PMN上的动点，直线1QB与直线1DB的夹角为30，又1DB 平面PMN，设垂足为S，以S为圆心，133rB S为半径作圆，即为点 Q 的轨迹，其中114442 3B DB D，由对称性可知，11132B SB D，故半径3313r，故点 Q 的轨迹长度为2，C 错误；D 选项，因为 M，N，P 分别是棱11C D，1AA，BC的中点，所以平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN切与点S，与平面11ADD A，平面ADCB，平面11DCC D相切，由对称性可知，球心在1B D上，设球心为,R t t t，则半径为t，第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司1,1,1S，故RSt，即3 1 tt，解得332t，故球的半径的最大值为332，D 正确.故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，点 M 在 C 上，MFx轴，若OFM（O 为坐标原点）的面积为 2，则p _.【答案】2 2【解析】【分析】根据所给条件，可得(,0)2pF，再令2px 得yp，带入面积公式24OFMpS，计算即可得解.【详解】由(,0)2pF，令2px 得yp，所以2122 24OFMppSy，所以28p，2 2p.故答案为：2 214.522xxy的展开式中52x y的系数为_（用数字作答）.【答案】120【解析】第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于22522xyx yx，所以522xxy的展开式中含52x y的项为222211252532C2CC120 xxyx y，所以522xxy的展开式中52x y的系数为120.故答案为：12015.已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，PC 平面ABC，6PCBC，2 6AB，且PA与平面ABC所成角的正弦值为66，则该球的表面积为_.【答案】36【解析】【分析】求出三角形ABC外接圆圆心1O，过1O作1OO 平面ABC，且11622OOPC，则O为三棱锥PABC的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，PC 平面ABC，所以PAC即PA与平面ABC所成角，则6sin6PAC，又因为6PCBC，2 6AB，所以6sin66PCPACAPAP，则2230ACAPPC,又22230ACABBCABBC，即三角形ABC为直角三角形，取AC中点1O，则1O为三角形ABC外接圆圆心，取AP中点O，则1OOPC，且1622PCOO，为第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司所以OPOCOAOB，即O为三棱锥PABC的外接球球心，其半径22222211630922ROAOOO A，所以三棱锥PABC的外接球的表面积为2436R.故答案为：3616.已知函数 222e22 e0 xxf xa xa xa恰有两个零点，则a_.【答案】2e2【解析】【分析】利用导数，求出 f x的单调区间，由函数 f x恰有两个零点即函数 f x与 x 轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.【详解】因为 222e22 e0 xxf xa xa xa，所以 222e2e2 e2xxxfxaxa x2 eexxaxa令exyax，则exya，令0 y，故当lnxa时0 y，函数exyax为增函数，当lnxa时0y，函数exyax为减函数，即当lnxa时函数exyax有最小值1 lnaa，若1 ln0aa，即0ea时 0fx，此时函数 f x在 R 上为增函数，与题意不符；若1 ln0aa，即ea 时，此时函数e,0 xyax a与 x 轴有两个不同交点，设交点为 12,0,0 xx，且120 xx，即1212eexxaxax，所以当1xx或2xx时0y，即()0fx，此时函数 f x为增函数，当12xxx时0y，即 0fx，此时函数 f x为减函数，依题意，函数 f x恰有两个零点即函数 f x与 x 轴有两个不同的交点，即10f x或20f x，所以1122211e022 exxa xa x或2222222e022 exxa xa x，第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司化简得12x 或22x，所以121ee2xax，故答案为：2e2.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设 F xf xg x方法一：转化为函数 F x与 x 轴交点个数问题，通过求解 F x单调性构造不等式求解；方法二：转化为函数 ,yf xyg x的交点个数问题求解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设数列 na的前 n 项和为nS，且21nnSa.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2log,nnna nba n为奇数为偶数，求数列 nb的前 2n 项和2nT.【答案】（1）12nna （2）212212233nnTnn【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn求得na.（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问 1 详解】依题意，21nnSa，当1n 时，11121,1aaa，当2n 时，1121nnSa，所以11122,22nnnnnnnaSSaaaan，所以数列 na是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna，1a也符合.第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司所以12nna.【小问 2 详解】由（1）得11,2,nnnnbn为奇数为偶数，所以321202422222nnTn2 1 402221 4nnn222433nnn21212233nnn.18.如图，在四棱锥PABCD中，/CD AB，90ABC，224ABBCCD，三棱锥BPAD的体积为4 23.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）若PAPD，平面PAD 平面ABCD，点N在线段AP上，2ANNP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.【答案】（1）2 （2）63【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点P到平面ABCD的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.【小问 1 详解】设点P到平面ABCD距离为h，的第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则14 233B PADP ABDABDVVh S，由题可知142ABDSAB BC，所以34 224P ABDABDVhS，所以点P到平面ABCD的距离为2.【小问 2 详解】取AD的中点M，连接PM，因为,PAPD PMAD，又平面PAD 平面ABCD且交线为AD，PM 平面PAD，PMAD，所以PM 平面ABCD，由（1）知2PM.由题意可得222 2,4222 2BDAD，所以222ADBDAB，所以ADBD.以D点为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过点D作PM的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2 2,0,0,2,0,2,2,2,0APC，依题意22 22 22,2,0,2,0,2,0,333DCAPANAP ，所以4 22 2,0,33DNDAAN.设平面NCD的法向量为1111,nx y z，则1111112204 22 2033n DCxyn DNxz ，故可设11,1,2n，平面ABCD的一个法向量为20,0,1n ，设平面NCD与平面ABCD的夹角为，则12121226coscos,36 1n nn nnn ，所以平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值为63.第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司19.记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsinsin2 sinsinbBcCaAbBC且2C.（1）求证：2BA；（2）求cossinsinABC的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）2,3【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cossinAB，结合诱导公式及2C 可证2BA.（2）根据2BA及cossinAB，结合诱导公式和二倍角余弦公式将cossinsin2sinsin2sinsin222ABCBCAA化为2132 cos22A，先求出角 A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问 1 详解】因为sinsinsin2 sinsinbBcCaAbBC，由正弦定理得，2222sinbcabcB，由余弦定理得2222cos2sinbcabcAbcB，所以cossinAB，又cossin()2AA，所以sin()sin2AB.又0A，0B，所以2AB或2AB，所以2AB或2BA，又2C，所以2ABC，所以2BA，得证.第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】由（1）知2BA，所以22CABA，又cossinAB，所以cossinsin2sinsin2sinsin222ABCBCAA22132coscos22cos2cos12 cos22AAAAA，因为002022ABACA，所以04A，所以2cos12A，因为函数2132 cos22yA在2cos,12A单调递增，所以2222131313222 cos2 132222222A，所以cossinsinABC的取值范围为2,3.20.已知函数 2 ln1f xxxax.（1）当0a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）当10 x 时，0f x，求 a 的取值范围.【答案】（1）20 xy；（2）,2.【解析】【分析】（1）利用2()ln(1)1xfxxx，求出切线的斜率，然后求解所以曲线()yf x在(0,0)处的切线方程（2）由2()ln(1)1xfxxax，令()()(1,0)g xfx x，则2211()01(1)(1)xg xxxx，故()fx在(1,0)上为减函数，讨论 2a 和2a 时函数的单调性，即可得解.【小问 1 详解】第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司因为0a，所以()(2)ln(1)f xxx，(0)(02)ln10f，由切点为(0,0)，2()ln(1)1xfxxx，所以02(0)ln(0 1)20 1f，所以曲线()yf x在(0,0)处的切线方程为02(0)yx，即20 xy小问 2 详解】由2()ln(1)1xfxxax，令()()(1,0)g xfx x则2211()01(1)(1)xg xxxx，故()fx在(1,0)x 上为减函数又(0)2fa，当2a 时，()(0)0fxf，故()f x在(1,0)上为增函数，所以()(0)0f xf恒成立，故2a 符合题意；当2a 时，由于(0)20fa，由1e10a 且当2a 时e11ee210aaafaaa ，根据零点存在定理，必存在(1,0)t ，使得()0f t，由于()fx在(1,0)上为减函数，故当(1,)xt 时，()0fx，,()0 xt时()0fx，故()f x在(1,)xt 上为增函数，()f x在,()0 xt上为减函数所以当,()0 xt时，()(0)0f xf，故()0f x 在(1,0)上不恒成立，所以2a 不符合题意综上所述，实数a的取值范围为,2【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题本题的关键有：【第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为2a 和2a.21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求 X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析 （2）买2个【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得X的分布列.（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.【小问 1 详解】由题意可知X所有可能取值为2,3,4，213323233A CA31422,3,4333939P XP XP X,所以X的分布列如下：X234P134929【小问 2 详解】设甲一次性购买x个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z.依题意，x可取0,1,2,3.方案 1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用13 3090Z 元.方案 2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，第 23 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司总费用2192 3079Z 元.方案 3：购买2个盲盒时，当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉