四川省凉山彝族自治州2024届高三第一次诊断性检测数学（理科）试题含答案.pdf

第玉卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设全集 U=1,2,3,4,5,6，集合 M=1,3,4，N=3,5,6，则 M胰（CUN）=（）A.5B.1,2,3,4,5C.1,2,3,4D.U2.已知复数 z 满足 z（1-i）=2+i，则 z=（）A援-12-32iB.-12+32iC.12-32iD.12+32i3.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+a12，则 a1+a5=（）A援 9B援 10C援 11D援 124.已知x3+y3=98x2y+xy2=-30嗓，则 x+y=（）A援 2B援 3C援 4D援 55援 已知平面向量 a，b 满足a-2b=1，ab=1，则a+2b=（）A援3姨B援 22姨C援 3D援 23姨6.五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A援 12 种B援 24 种C援 48 种D援 96 种凉山州 2024 届高中毕业班第一次诊断性检测数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第玉卷（选择题），第域卷（非选择题），共 4 页，满分 150分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.数学（理科）试卷第 1 页（共 4 页）#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#7援 已知函数 f（x）=1x-1+ax+a-1+1x+1，则“f（x）是奇函数”是“a=0”的（）A援 充分而不必要条件B援 必要而不充分条件C援 充分必要条件D援 既不充分也不必要条件8.已知双曲线x2a2-y2b2=1（a跃0，b跃0）的渐近线与 y 轴的夹角为仔3，则此双曲线的离心率 e 为（）A援23姨3B援 2 或23姨3C援3姨D援3姨或 29.在三棱锥 S-ABC 中，SA=SC=AC=2姨，AB=BC=1，二面角 S-AC-B 的正切值是2姨，则三棱锥S-ABC 外接球的表面积是（）A援3姨仔B援 3仔C援 4仔D援 43姨仔10.将函数 f（x）=tan2x+仔6蓸蔀的图象向左平移仔6个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则下列关于函数 g（x）的说法正确的是（）A援 图象关于直线 x=0 对称B援 在-仔4，仔4蓸蔀上单调递增C援 最小正周期为 仔D援 图象关于点仔4，0蓸蔀对称11.已知点 P 在椭圆x2a2+y2b2=1（a跃b跃0）上，F1,F2是椭圆的左、右焦点，若PF1 PF2=3，且吟PF1F2的面积为 2，则 b2=（）A援 2B援 3C援 4D援 512.函数 f（x）=12x2+alnx 在区间（1，2）的图象上存在两条相互垂直的切线，则 a的取值范围为（）A援（-2,1）B援（-2,-1）C援（-2,0）D援（-3,-2）第域卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设 an 是等比数列，且 a1+a3=1，a2+a4=2，则 a5+a6+a7+a8=.14.已知 P（x，y）是曲线 x2+y2=1（x跃0）上的点，则x+y+1x+1的取值范围是.数学（理科）试卷第 2 页（共 4 页）#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#15.若圆锥侧面展开图是圆心角为2仔3，半径为 2 的扇形，则这个圆锥表面积为援16.在吟ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，tanA=2tanB，b=2姨，当吟ABC 的面积取最大值时，则 a=.三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共 70 分）17.(12 分)已知函数 f（x）=sinxcosx-cos2x.（1）求 f（x）的减区间；（2）f（x）在（0，+肄）上的零点从小到大排列后构成数列 an，求 an 的前 10 项和.18.（12 分）体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮 3 次，至少投中 2 次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行 30 次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为13,每次是否投中相互独立.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）若乙同学每次投中的概率为12，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为 X，求 X 的分布列与数学期望 E（X）.19.（12分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4的正方形，蚁PAD=仔6，PD=2,PB=27姨.（1）证明：平面 PAD彝平面 ABCD；（2）若 E 为 PC 的中点，求二面角 A-BE-C 的余弦值.数学（理科）试卷第 3 页（共 4 页）#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#圆0.（12 分）已知函数 f（x）=（ax2+x+1）ex.（1）当 a=0 时，求 f（x）的极值；（2）讨论函数 f（x）的单调性.21.（12 分）P（2,2）为抛物线 祝：y2=mx 上一点，过 P 作两条关于 x=2 对称的直线分别交 祝 于A（x1，y1），B（x2，y2）两点援（1）证明：直线 AB 的斜率为定值，并求出该定值；（2）若 x1约2约x2，求吟PAB 面积的最大值援请考生在第 22、23 两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为x=2cos琢，y=sin琢嗓（琢 为参数），以直角坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系援曲线 C2的极坐标方程 籽=4cos兹.（1）求 C1的极坐标方程；（2）若曲线 兹=仔6（籽跃0）与曲线 C1、曲线 C2分别交于 A，B 两点，点 P 的极坐标为（4,0），求吟PAB 的面积.圆3.（10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=x 援（1）解不等式 f（x）+f（x-1）臆2；（2）对 a+b=1（a，b跃0）及 x沂R，不等式 f（x-m）-x+2臆1a+1b恒成立，求实数 m 的取值范围援数学（理科）试卷第 4 页（共 4 页）#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 1页，共 6页凉山州凉山州 20242024 届高中毕业班第一次诊断性检测届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：评分说明：1.1.本解法给出了一种或几种解法供参考本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.2.对计算题对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.4.只给整数分数，选择题不给中间分。只给整数分数，选择题不给中间分。一、选择题一、选择题(每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分)15CDCAC610BBABD1112CD二、填空题填空题(每小题每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分)13【答案】48；14【答案】(0,2)；15【答案】169；16【答案】5.三、解答题（共三、解答题（共 7070 分）分）17解：（1）2()sin coscosf xxxx11sin2(cos21)22xx21sin(2)242x.3 分令32 22,Z242kxkk得37,Z.88kxkk.因此，函数()f x的减区间是37,Z.88kkk.6 分（2）函数21()sin(2)242f xx的最小正周期为.函数()f x在(0,)上的零点分别为,4 2.8 分数列21na是以4为首项，为公差的等差数列；数列2na是以2为首项，为公差的等差数列，.10 分则101392410()()aaaaSaaLL5 45 4(5)(5)4222954所以 na的前 10 项和为954.12 分#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 2页，共 6页18解：（1）解：记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，则 2323331117C1C33327P A.5 分（2）解：若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，所以，乙通过测试的概率为21211111C122222，由题意可知，随机变量X的可能取值有 0,30,60,.7 分717027254P X，7171130(1)(1)2722722P X，711060(1)(1)27227P X，.10 分所以，随机变量X的分布列如下表所示：X03060P754121027故711033503060542279E X .12 分19（1）证明：在PAD中，由24sinsin6APD，得sin1APD，(0,)APD所以2APD，则，4cos2 36PA 又2 7PB，4AB，所以222PBPAAB，即ABPA，.3 分因为ABAD，又AD、PA 平面PAD，ADPAA，所以AB 平面PAD，因为AB平面ABCD，所以平面PAD 平面ABCD.5 分（2）解：因为四边形ABCD为正方形，则/CD AB，又因为AB 平面PAD，则CD 平面PAD，以点D为坐标原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴，平面PAD内过点D且与直线AD垂直的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则4,0,0A,4,4,0B,0,4,0C，1,0,3P，13,2,22E，所以，0,4,0BA，73,2,22BE ，4,0,0BC .7 分#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 3页，共 6页设平面ABE的法向量为111,ux y z，则111124073022u BAyu BExzy ，取13x，则3,0,7u，.9 分设平面BCE的法向量为222,vxy z，则222224073022v BCxv BExzy ，取23y ，可得0,3,4v，.11 分设二面角ABEC的平面角大小为，则2814 247cos2472 1319u vuv ，所以，二面角ABEC的余弦值为14 247247.12 分20解：（1）当0a 时，1 exf xx则 2 exfxx令 0fx，解得2x ，.2 分当 0fx时，则时，则2x ，所以 fx在区间,2 上单调递减，在区间2,上单调递增.4 分所以当2x 时，fx有极小值212ef ，无极大值.5 分（2）因为函数 21 exf xaxx，所以 221 e(1)e(1)(2)exxxfxaxaxxaxx.7 分当0a 时，由（1）题可知，函数 fx在区间,2 上单调递减，在区间2,上单调递增；当12a 时，21(2)e02xfxx恒成立，函数 fx在定义域,上单调递增；当0a 时，由 0fx得2x 或1xa，由 0fx得12xa ，即函数 fx在区间,2 和1,a上单调递减，在区间12,a上单调递增；当102a时，由 0fx得12xa，由 0fx得1xa 或2x ，即函数#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 4页，共 6页 fx在区间1,2a上单调递减，在区间1,a 和2,上单调递增；当12a 时，由 0fx得12xa ，由 0fx得2x 或1xa，即函数 fx在区间12,a上单调递减，在区间,2 和1,a上单调递增.12 分21（1）证明：根据题意可得222m，得2m，故所求抛物线方程为22yx，.1 分由题意不妨设直线AB的方程为ykxt，联立抛物线方程可得22ykxtyx，消去x得：222(22)0k xktxt，480kt，由韦达定理得12222ktxxk，2122tx xk，.3 分直线PA与PB关于2x 对称，121222022yyxx，且2112yx，2222yx.4 分1222022yy，即1240yy，即12()240k xxt，由韦达定理得12k 所以直线AB的斜率为定值12.5 分（2）解：由（1）可知1248xxt，2124x xt，由122xx得12(2)(2)0 xx，即2230tt又440t 得13t ，.7 分2121|1()|2ABxx，点P到直线AB的距离2|3|11()2td所以PAB的面积2121|3|8(22)(3)2Sxxttt（13t ）.10 分又233(22)(3)(3)8(22)(3)()33ttttt当且仅当13t 时取“=”号，#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 5页，共 6页所以PAB的面积的最大值为64 39.12 分22（1）解：由曲线1C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），可得con2s,sixy，两式平方相加，可得2214xy，.2 分由cossinxy，代入可得222(cos4sin)4，即曲线1C的极坐标方程为2241 3sin.5 分（2）解：由22,(0)641 3sin，可得24163714，解得47，即4(,)67A，.7 分由,(0)64cos，可得4cos2 36，所以(2 3,)6B，.9 分又由点(4,0)P，如图所示，所以PAB的面积为11sinsin2626PABOPBOAPBPAPSSS111414 72 3442 3222277 .10 分23解：（1）依题意，1 2,0()(1)11,0121,1x xf xf xxxxxx，.2 分当0 x 时，由1 22x，解得12x，则102x；当01x时，12，即01x满足；当1x 时，由212x，解得32x，则312x，所以不等式 12f xf x的解集为1 3,2 2.5 分（2）由1(,0)aba b，得111()22241bab aababababa b，#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#试卷第 6页，共 6页当且仅当baab，即12ab时取等号，则当12ab时，min1()14ab，.7 分依题意，Rx，|2|4xmx，而当xR时，|2|()(2)|2|xmxxmxm，当xm时能取“=”号，.9 分因此|2|4m，解得62m，所以m的取值范围为 6,2.10 分#QQABJYCEggCAAAAAABhCEQF4CAAQkACACAoGQEAMoAIBAAFABAA=#