【数学】变化率问题第一课时课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第五章 一元函数的导数及应用 十七、十八世纪的数学家常把自己的数学活动跟各种不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨莱布尼茨（1646年7月1日1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。牛顿（1643年1月4日1727年3月31日），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有自然哲学的数学原理、光学。情景引入微积分的创立与处理四类科学问题直接相关:一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等四是求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义 “已知物体运已知物体运动的路程关于的路程关于时间的函数，求物体在任意的函数，求物体在任意时刻的速度与加刻的速度与加速度等速度等”和和“求曲求曲线的切的切线”问题是是导数数产生生过程中比程中比较经典的两个典的两个问题，今天今天这节课就就让我我们追随追随这些些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究.我我们之前学之前学习过函数的函数的单调性，知道不同性，知道不同类型函数的增或减的快慢也不型函数的增或减的快慢也不同同能否精确定量地刻画能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？我化速度的快慢呢？我们以高台跳水运以高台跳水运动员的速度的速度为例来研究例来研究.5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题 第一课时 探究新知问题1 高台跳水运动员的速度全红婵，全红婵，20072007年年3 3月月2828日日出生于广东湛江，中国出生于广东湛江，中国国家跳水队女运动员国家跳水队女运动员.20222022年年6 6月，全红婵在月，全红婵在20222022年布达佩斯世界游年布达佩斯世界游泳锦标赛中勇夺跳水泳锦标赛中勇夺跳水3 3米米板板/10/10米台混合全能金牌、米台混合全能金牌、女子单人十米跳台银牌、女子单人十米跳台银牌、女子双人十米跳台金牌女子双人十米跳台金牌7070，实现了奥运会、，实现了奥运会、世锦赛和世界杯的金牌世锦赛和世界杯的金牌大满贯。大满贯。在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？问题1 高台跳水运动员的速度直觉告诉我们，直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快思考思考1：运：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？的快慢程度用哪个物理量来描述？我们可以把整个运动时间段分成许多我们可以把整个运动时间段分成许多小段小段,用运动员在每段用运动员在每段时间内的时间内的平均速度平均速度近似地描述他的运动状态近似地描述他的运动状态.速度追追问1：怎么求平均速度呢？：怎么求平均速度呢？平均速度=位移的变化通过这段位移所用的时间，思考思考2：你能：你能计算以下算以下时间段的平均速度，并描述运段的平均速度，并描述运动员的运的运动状况状况吗？0t0.5；1t2.h(t)4.9t24.8t11 在0t0.5时间段运动员是上升阶段，在1t2时间段运动员是下降阶段追追问2：通：通过以上以上计算，你能求运算，你能求运动员起跳后起跳后t1秒到秒到t2秒秒这段段时间的平均速度的平均速度吗？hto思考思考3：计算运算运动员在在 这段段时间里的平均速度，里的平均速度，发现了什么？用平均速度了什么？用平均速度描述运描述运动员的运的运动状状态有什么有什么问题吗？我们发现，运动员在 这段时间里的平均速度为0 显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念我们把物体在为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念我们把物体在某一时刻的速度称为某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度（instantaneous velocityinstantaneous velocity）探究探究 瞬瞬时速度与平均速度有什么关系速度与平均速度有什么关系?你能利用你能利用这种关系求运种关系求运动员在在t=1 s时的瞬的瞬时速度速度吗?设设运运动员动员在在t0时时刻附近某一刻附近某一时间时间段内的平均速度是段内的平均速度是 ，可以想象，如果不断，可以想象，如果不断缩缩短短这这一一时间时间段的段的长长度，那么度，那么 将越来越将越来越趋趋近于运近于运动员动员在在时时刻刻t0的瞬的瞬时时速度速度 为了求运动员在为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时之后或之前，任意取一个时刻刻1+t，t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.用运用运动变动变化的化的观观点研究点研究问题问题是微是微积积分的重要思想分的重要思想 当当t0时时，1+t在在1之后，当之后，当t0时时，把运，把运动员动员在在1,1+t时间时间段内近似看成做匀速直段内近似看成做匀速直线线运运动动，计计算算时间时间段段1,1+t内的平均速度内的平均速度 ，用平均速度，用平均速度 近似表示运近似表示运动员动员在在时时的瞬的瞬时时速度当速度当t0时时，在，在时间时间段段1+t,1内内可作可作类类似似处处理理为为了提高近似表示的精确度，我了提高近似表示的精确度，我们们不断不断缩缩短短时间间时间间隔，得到如下表隔，得到如下表格格.当t 0时，在时间段1,1十t内tt-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049观察：给出更多的t值，利用计算工具计算对应的平均速度 的值当t无限趋近于0时，平均速度 有什么变化趋势？我们发现我们发现，当当t无限趋近于无限趋近于0，即无论，即无论t从小于从小于1的一边，还是从大于的一边，还是从大于1的的一边无限趋近于一边无限趋近于1时，时，平均速度都无限趋近于平均速度都无限趋近于5.事事实上，由实上，由 可以发现，当可以发现，当t在在无限趋近于无限趋近于0时时，4.9 t也无限趋近于也无限趋近于0,所以所以 无无限趋近于限趋近于5.这与前面得到的结论一致这与前面得到的结论一致.数学中，我们把数学中，我们把5叫做叫做“当当t无限趋近于无限趋近于0时，时，的的极限极限”，记为记为 从从物理的角度看，当时间间隔物理的角度看，当时间间隔|t|无限趋近于无限趋近于0时，平均速度时，平均速度 就无限趋近于就无限趋近于t=1时的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度时的瞬时速度v(1)=5 m/s.平平均速度的极限为瞬时速均速度的极限为瞬时速度度 思考(1)求运动员在t=2 s时的瞬时速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?h(t)4.9t24.8t11 解：因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为 思考(1)求运动员在t=2 s时的瞬时速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度?h(t)4.9t24.8t11 方法归纳求运动物体瞬时速度的步骤:设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为ss(t)，则，则求物体在求物体在tt0时刻的瞬时速度的步骤如下：时刻的瞬时速度的步骤如下：写出时间改变量写出时间改变量t，位移改变量，位移改变量s,ss(t0t)s(t0);求平均速度：求平均速度：；求瞬时速度求瞬时速度v：当：当t00时，时，v是常数是常数.1.火箭发射火箭发射t s后，其高度后，其高度(单位单位:m)为为h(t)=0.9t2求求：(1)在在1t2这段时间里，火箭爬高的平均速度；这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度时，火箭爬高的瞬时速度.（教材（教材P61.2)巩固练习 2.某物体的运动路程某物体的运动路程s(单位：单位：m)与时间与时间t(单位：单位：s)的关系的关系为为s(t)t2t1，（1）求物体在）求物体在t1 s时的瞬时速度；时的瞬时速度；（2）求物体在）求物体在t0 s时的瞬时速度（即初速度）；时的瞬时速度（即初速度）；（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；解:物体在物体在t1处的瞬时变化率为处的瞬时变化率为3.即物体在即物体在t1 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为3 m/s.巩固练习物体在物体在t0时的瞬时变化率为时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为，即物体的初速度为1 m/s.2.某物体的运动路程某物体的运动路程s(单位：单位：m)与时间与时间t(单位：单位：s)的关系的关系为为s(t)t2t1，（1）求物体在）求物体在t1 s时的瞬时速度；时的瞬时速度；（2）求物体在）求物体在t0 s时的瞬时速度（即初速度）；时的瞬时速度（即初速度）；（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；解:2.某物体的运动路程某物体的运动路程s(单位：单位：m)与时间与时间t(单位：单位：s)的关系的关系为为s(t)t2t1，（1）求物体在）求物体在t1 s时的瞬时速度；时的瞬时速度；（2）求物体在）求物体在t0 s时的瞬时速度（即初速度）；时的瞬时速度（即初速度）；（3）求物体在什么时刻的瞬时速度为）求物体在什么时刻的瞬时速度为9 m/s；(3)设物体在设物体在t0时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为9 m/s.则则2 t019，t04.则物体在则物体在4 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为9 m/s.解:课堂小结1.从知从知识角度角度，我，我们主要研究了高台跳水运主要研究了高台跳水运动员起跳后的运起跳后的运动状状态的的问题.我我们先研究了运先研究了运动员起跳后某一起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将段内的平均速度，再不断的将时间间隔隔缩小，随着小，随着时间间隔不断隔不断趋近于近于0，我，我们分分别用用计算和极限的方法，求算和极限的方法，求得了瞬得了瞬时速度，并由此得到任意速度，并由此得到任意时刻刻t0瞬瞬时速度的表达式速度的表达式.通通过这个个过程，程，我我们认识到瞬到瞬时速度是速度是时间间隔隔趋近于零近于零时，平均速度的极限，平均速度的极限.2.从研究方法上看从研究方法上看，我，我们用无限逼近的方法，通用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬平均速度求得了瞬时速速度，度，这其中其中蕴含着极限思想含着极限思想.无限逼近的极限思想，正是无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要数研究中的重要思想方法和基思想方法和基础.此外，我此外，我们通通过一些具体一些具体时刻的瞬刻的瞬时速度，推广得到了任速度，推广得到了任意意时刻刻t0的瞬的瞬时速度表达式，速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法中的常用方法.hto课后探究 观察在情景中的函数察在情景中的函数h(t)4.9t24.8t11图象象，平均速度平均速度 的几何意的几何意义是什么？是什么？瞬瞬时速度速度v(1)呢？呢？