河北省邯郸市2023-2024学年高三上学期第二次调研监测数学试题含答案.pdf

邯郸市2024届高三年级第二次调研检测20231219数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=xy=log2x-x2,B=xx12 ,则AB=A.xx0B.x12x12 D.xx0,则实数a的取值范围是A.(2,+)B.-2,32C.-,-32D.(-2,+)8.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P,Q 分别为 AB,CC1的中点,则平面 A1PQ 截此正方体所得的截面周长为A.25+2 13+9 53B.25+4 13+9 53C.254+6 5D.252+6 5二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数 f(x)=2cos 2x+6,则下列描述正确的是A.函数 f(x)的最小正周期为B.x=6是函数 f(x)图象的一个对称轴C.-3,0是函数 f(x)图象的一个对称中心D.若函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度可得函数g(x)的图象,则g(x)为奇函数-2-#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#10.已知实数a,b,m满足ab0,则以下大小关系正确的是A.a2b2B.a+1ab+1bC.baa+b11.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,a2+a3=8,现将数列 an与数列Sn-1的公共项从小到大排列得到新数列 bn,则下列叙述正确的是A.an=2n-1B.SN=n2-1C.b10=399D.数列1bn 的前10项和为102112.已知椭圆C:x2a2+y2=1(a1)的上顶点为B,左、右焦点分别为F1,F2,则下列叙述正确的是A.若椭圆C的离心率为32,则a=2B.若直线BF1与椭圆C的另一个交点为A,且BF1=2F1A,则a2=2C.当a=2时,过点B的直线被椭圆C所截得的弦长的最大值为4 33D.当a=2时,椭圆C上存在异于B的两点P,Q,满足BPBQ,则直线PQ过定点0,-35-3-#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下:4,6,7,7,8,9,11,14,15,19,则这组数据的上四分位数为.14.已知非零向量a a,b b满足2|a a|=3|b b|,b b(2a a-b b),则向量a a,b b夹角的余弦值为.15.已知抛物线 x2=2py(p 0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与该抛物线相交于 M,N 两点,若|MN|=5|NF|,则直线l的斜率为.16.已知函数 f(x)=xlogax-12x2(a0,且a1)存在极小值和极大值,则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知数列 an的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+1.(1)求数列 an的通项公式;(2)若数列bn=(-1)nan,求数列 bn的前2n项和T2n.-4-#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#18.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a-bc=cosBcosC.(1)求角C;(2)若c=3,角C的平分线交AB于点D,且满足BD=-2AD,求BCD的面积.19.(本小题满分12分)如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 2 3(其中底面三角形 ABC 为锐角三角形),A1C1=A1B1=AA1=2.(1)求点C1到平面A1BC的距离;(2)求平面A1BC与平面BCC1B1夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知函数 f(x)=lnx+(a-2)x+a.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程;(2)讨论函数 f(x)的零点个数.-5-#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#21.(本小题满分12分)随着芯片技术的不断发展,手机的性能越来越强大,为用户体验带来了极大的提升.某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏,每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次,并且下一关的难度与上一关的难度有关,若上一关的难度是“容易”或者“适中”,则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分別为16,12,13,若上一关的难度是“困难”,则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为16,13,12,已知第1关的难度为“容易”.(1)求第3关的难度为“困难”的概率;(2)用Pn表示第n关的难度为“困难”的概率,求Pn.22.(本小题满分12分)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点,点A在双曲线C的右支上,且双曲线在点A处的切线l与圆C2:(x-2)2+y2=10交于M,N两点,设直线F1M,F1N的倾斜角分别为,.(1)求|-|;(2)设直线l与x轴的交点为D,且满足 F1D=2 F2D,求F1MN的面积.-6-#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第1 页(共7页)邯郸市2 0 2 4届高三年级第二次调研监测数学参考答案题号1234567891 01 11 2答案ABCCDBBAA C DA DA C DA C D1.A 解析:因为A=x y=l o g2x-x2 ,所以x-x2 0,解得0 x 1,所以A=x|0 x12 ,所以AB=x x 0 ,故选A.命题意图 集合是高考必考内容,该题考查了集合的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的运算求解能力.2.B 解析:因为s i n2+c o s2=1,t a n=s i n c o s=-24,角为第二象限角,所以c o s=-223,故选B.命题意图 三角函数是高考必考内容,该题考查了同角三角函数关系,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的运算求解能力.3.C 解析:选项A,若a,b,不能判断直线a,b的位置关系,故A错误;选项B,若,a,b,不能判断直线a,b的位置关系,故B错误;选项C,根据面面垂直的性质定理可得C正确;选项D,若,a,b,不能判断直线a,b的位置关系,故D错误,故选C.命题意图 立体几何是高考的必考内容,该题考查了立体几何中线线、线面、面面关系,该题从数学素养上体现对学生直观想象素养的考查,考查学生的空间想象能力.4.C 解 析:根 据 题 意,设 复 数z=a+bi,由z2+z+1=0,得a+bi 2+a+bi+1=0,得a2-b2+a+1=0,2a b+b=0,当b=0时,a2+a+1=0无解,当a=-12时,b=32,所以z=a2+b2=1,故选C.命题意图 复数是高考的必考内容,该题考查了复数的模的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.5.D 解析:根据题意可知,直线y=k x-3k+1过定点3,1 ,判断可知点3,1 在圆x2+y2-4x-5=0内,x2+y2-4x-5=0,则x-2 2+y2=9,圆心2,0 到直线y=k x-3k+1距离的最大值为2,所以直线被圆截得的弦长的最小值为2 32-2=27,故选D.命题意图 直线与圆是高考的必考内容,该题考查了直线与圆的位置关系,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.6.B 解析:由题意可得,当x=1时,各项系数之和为4n,各二项式系数之和为2n,故4n+2n=1 0 5 6,则n=5,故选B.命题意图 二项式定理是高考要求的内容,该题考查了二项展开式中系数的运算,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学分析能力.7.B 解析:由函数f(x)=1ex-2-ex-2,可得f(x+2)=1ex-ex,令g(x)=f(x+2)=1ex-ex,则g(-x)=#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第2 页(共7页)-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,所以f(x)+f4-x =0,又f(a-2)+f(2a2)0,所以f(2a2)-f(a-2),所以f(2a2)f6-a ,函数f(x)=1ex-2-ex-2单调递减,所以2a2 6-a,即2a2+a-6 0,解得-2 ab 0,可得a2b2,故A正确;对于选项B,a+1ab+1b,即a-b+b-aa b0,即a-b 1-1a b 0,当ab 0时,不一定正确,故B错误;对于选项C,当m=0时,ba=b+ma+m,故C错误;对于选项D,ab+ba-a-b=a-b 2a+b a b 0,故D正确,故选A D.命题意图 不等式性质是高考的必考内容,该题考查了不等式的基本性质,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.1 1.A C D 解析:设数列an 的公差为d,因为a1=1,a2+a3=a1+d+a1+2d=8,所以d=2,所以an=2n-1,Sn=n1+2n-1 2=n2,故A正确,B错误;因为an=2n-1是全体奇数,又Sn-1=n2-1=n-1 n+1 ,当n为偶数时,Sn-1为奇数,当n为奇数时,Sn-1为偶数,所以bn=4n2-1,所以b1 0=3 9 9,故C正确;1bn=14n2-1=12n-1 2n+1 =1212n-1-12n+1 ,则其前1 0项和为121-13 +1213-15 +1211 9-12 1 =12 1-12 1 =1 02 1,故D正确,故选A C D.命题意图 数列是高考要求的内容,该题考查了有关数列的综合应用,该题从数学素养上体现对学生数据分析、数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第3 页(共7页)1 2.A C D 解析:对于选项A,e2=c2a2=34=a2-1a2,则a2=4,则a=2,故A正确;对于选项B,因为B(0,1),F1-c,0 ,又B F1=2F1A,可得A-3c2,-12 ,代入椭圆C:x2a2+y2=1(a 1),可得94c2a2+14=1,则c2a2=13,则a2-1a2=13,则a2=32,故B错误;对于选项C,设点M(x0,y0)在椭圆C上,所以满足x204+y20=1,则x20=4-4y20,MB2=x20+(y0-1)2=4-4y02+y20-2y0+1=-3y20-2y0+5-1 y0 1 ,所以当y0=-13时,|MB|2取得最大值1 63,所以弦长的最大值为433,故C正确;对于选项D,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线P Q斜率不为0时,设直线P Q的方程为n y=x+m,联立n y=x+m,x24+y2=1,可得n2+4 y2-2m n y+m2-4=0,可得y1+y2=2m nn2+4,y1y2=m2-4n2+4,因为B PB Q,可得y1-1x1y2-1x2=-1,则y1y2-y1+y2 +1=-x1x2,因 为x1=n y1-m,x2=n y2-m,代 入 可 得n2+1 y1y2-m n+1 y1+y2 +m2+1=0,代 入 根 与 系 数 的 关 系,可 得n2+1 m2-4n2+4-m n+1 2m nn2+4+m2+1=0,即5m2-2m n-3n2=0,即5m+3n m-n =0,可得m=n或m=-35n,当m=n时,直线P Q的方程为n y=x+n,恒过0,1 ,不成立;当m=-35n,直线P Q的方程为n y=x-35n,恒过0,-35 ,当直线P Q斜率为0时,若直线P Q过点0,-35 ,经验证满足条件,故D正确,故选A C D.命题意图 圆锥曲线问题是高考要求的内容,该题考查了有关椭圆问题的综合应用,该题从数学素养上体现对学生数学建模、数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.1 3.1 4 解析:已知上四分位数为第7 5百分位数,1 07 5%=7.5,所以第7 5百分位数为第8个数据,所以为1 4.命题意图 统计中的百分位数是高考要求的内容,该题考查了有关百分位数的定义,该题从数学素养上体现对学生数据分析、数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.1 4.13 解析:因为b 2a-b ,所以b2a-b =0,则2ab-b2=0,所以2abc o s-b2=0,则c o s=b2a=13.命题意图 向量是高考要求的内容,该题考查了向量的数量积的应用,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.1 5.34 解析:如图所示,过点M作准线的垂线,垂足为M,过点N作准线的垂线,垂足为N,过点N作MM 的垂线,垂足为G,因为MN=5N F,不妨设N F=t,可得MN=5t,MF=4t,根据抛物线的定义可得MM=MF=4t,NN=N F=t,可得MG=MM-NN=3t,分析可#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第4 页(共7页)得直线l的倾斜角为MN G,所以直线l的斜率为k=t a n MN G=|MG|N G|,因为MG=3t,MN=5t,所以N G=4t,所以k=t a n MN G=|MG|N G|=3t4t=34,根据对称性,可得直线l的斜率为34.命题意图 圆锥曲线是高考要求的内容,该题考查了有关抛物线的性质,该题从数学素养上体现对学生逻辑推理素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.1 6.1,e 解析:因为函数f(x)存在极小值和极大值,所以f(x)有两个变号零点,因为f(x)=xl o gax-12x2,所以f(x)=l o gax+1l n a-x,令f(x)=0,得1l n a=x-l o gax,设g(x)=x-l o gax,所以1l n a=g(x)有两个不同的根,g(x)=1-1xl n a,若0a1,l n a0,函数g(x)单调递增,所以g(x)=1l n a至多有一个根,与题意不符;若a 1,l n a 0,g x 单调递增,令g(x)=0,则x=1l n a,当x 0,1l n a 时,g(x)0,g(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g1l n a =1l n a-l o ga1l n a,若要使得g(x)=1l n a有两个根,则g1l n a =1l n a-l o ga1l n a 0,又a 1,所以1l n a 1,则0 l n a 1,即1 a e,所以实数a的取值范围是1,e .命题意图 函数与导数是高考要求的内容,该题考查了有关函数导数的极值问题,该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查,考查学生的数学运算能力.1 7.解:(1)根据题意,Sn=n2+1,Sn-1=n-1 2+1,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n 2),(2分)当n=1时,a1=S1=2,(3分)所以an=2,n=1,2n-1,n 2.(5分)(2)bn=(-1)nan=-2,n=1,(-1)n2n-1 ,n 2,(7分)所以T2n=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=-2+3-5+7-9+1 1-4n-3 +4n-1 =2n-1.(1 0分)命题意图 数列是高考要求的内容,该题考查了有关数列的通项公式与求和,考查了数列求和中的分组求和的方法,该题从数学素养上体现对学生数据分析、数学运算素养的考查,考查学生的数学分析和数学运算能力.1 8.解:(1)由正弦定理可得2 s i n A-s i n Bs i n C=c o s Bc o s C,则(2 s i n A-s i n B)c o s C=s i n Cc o s B,(2分)#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第5 页(共7页)所以2 s i n Ac o s C=s i n Cc o s B+s i n Bc o s C=s i nB+C =s i n A,(4分)因为s i n A0,所以c o s C=12,因为C(0,),所以C=3.(6分)(2)根据题意,B D=-2A D,所以点D为A B上靠近点A的三等分点,B D=2A D,所以SB C D=2SA C D,即12aC D s i n B C D=2 12bC D s i n A C D,可得a=2b,(8分)由余弦定理可得,c o s C=a2+b2-92a b=12,可得a=23,b=3,(1 0分)所以SA B C=12ab s i n C=332,所以SB C D=23SA B C=3.(1 2分)命题意图 解三角形是高考要求的内容,该题考查了正、余弦定理解三角形的问题,该题从数学素养上体现对学生数学建模、数学运算素养的考查,考查学生的数形结合思想和数学运算能力.1 9.解:(1)由VA B CA1B1C1=A A1SA B C=2 12 2 2 s i n A=23,得s i n A=32,因为A 0,2 ,所以A=3,(1分)所以底面三角形A B C为等边三角形,分析可得点C1到平面A1B C的距离等于点A到平面A1B C的距离,设点A到平面A1B C的距离为h,由VAA1B C=VA1A B C,得13hSA1B C=13A A1SA B C=13 2 12 2 2 s i n3=233,(3分)因为A1B=A1C=22,所以SA1B C=7,(4分)所以h=2 2 17.(5分)(2)取A C的中点O,A1C1的中点E,连接O B,O E,以O为原点,O B,O C,O E所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,A1(0,-1,2),B(3,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,0),则A1B=3,1,-2 ,A1C=0,2,-2 ,(7分)设平面A1B C的法向量为n=x,y,z ,则nA1B=0,nA1C=0,即3x+y-2z=0,2y-2z=0,取x=1,所以n=1,3,3 ,(9分)取B C的中点D,连接A D,易得A D平面B C C1B1,即A D为平面B C C1B1的一个法向量,D32,12,0 ,A D=32,32,0 ,(1 0分)设平面A1B C与平面B C C1B的夹角为,所以c o s=|c o s|=nA DnA D=237 3=277,#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#高三数学答案 第6 页(共7页)所以平面A1B C与平面B C C1B1夹角的余弦值为277.(1 2分)命题意图 立体几何是高考的必考内容,该题考查了求解点到面的距离与面面所成的角的问题,该题从数学素养上体现对学生直观想象、数学运算素养的考查,考查学生的空间想象能力.2 0.解:(1)当a=1时,f x =l n x-x+1,f(e)=l n e-e+1=2-e,故切点为e,2-e ,(1分)f x =1x-1,则f(e)=1e-1,(2分)所以切线方程为y-2-e =1e-1 x-e ,即y=1e-1 x+1.(4分)(2)f x =l n x+a-2 x+a,则f x =1x+a-2(x 0),(5分)当a-2 0,即a 2时,f x 0,函数f x 单调递增,当x 0时,f x 0,所以函数f x 有一个零点;(7分)当a-2 0,即a 2时,函数f x 单调递减,令f x =1x+a-2=0,得x=12-a,所以函数f x 在0,12-a 上单调递增,在12-a,+上单调递减,当x 0时,f x 0,当x+,f x 0,即a 1时,函数f x 有两个零点,当f12-a =l n12-a -1+a=0,即a=1时,函数f x 有一个零点,当f12-a =l n12-a -1+a 0,即a 1时,函数f x 没有零点.(1 0分)综上,当a 1时,函数f x 没有零点;当a=1或a 2时,函数f x 有一个零点;当1 a 0,m 0,m 0,所以m=-1 25,k=2 75,代入计算可得SF1MN=5 1.(1 2分)命题意图 圆锥曲线是高考的必考内容,该题考查了圆锥曲线中的角和面积的问题,该题从数学素养上体现对学生数学建模、数学运算素养的考查,考查学生的数形结合思想和数学运算能力.#QQABCYKEggigABBAABhCEQXKCEEQkACAAAoGQBAAsAABwBNABAA=#