2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷含答案.docx

2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB+BC+DC1-DC等于（）AAD1BAC1CADDAB2（5分）已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D53（5分）直线x+y0的倾斜角为（）A45°B60°C90°D135°4（5分）过点（3，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A2x+y0Bx+y+30Cxy+30Dx+y+30或2x+y05（5分）双曲线3x2y29的焦距为（）A6B26C23D436（5分）抛物线y24x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是（）A12B32C1D37（5分）在等差数列an中，若a2+a34，a4+a56，则a9+a10（）A9B10C11D128（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，a11且a1a2a38，则S5S2等于（）A11B8C5D11二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）若直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，0，4），则（）AlBlClDl与相交10（5分）把圆x2+y2+2x4ya220的半径减小一个单位长度正好与直线3x4y40相切，则正实数a的值为（）A3B3C0D1（多选）11（5分）已知方程mx2+ny21（m，nR），则（）A当mn0时，方程表示椭圆B当mn0时，方程表示双曲线C当m0时，方程表示两条直线D方程表示的曲线不可能为抛物线（多选）12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+1Sn+2an1，数列2nanan+1的前n项和为Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an1是等比数列B数列an是等比数列C数列an的通项公式为an2n1+1DTn2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 14（5分）已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 15（5分）以双曲线x24-y212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 16（5分）已知数列an=n-1，n为奇数，n，n为偶数，其前n项和为Sn，则S100 四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，试以a，b，c为基向量表示出向量BN，并求BN的长18（12分）已知正方形的中心为直线xy+10和2x+y+20的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程19（12分）已知P是直线l：3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆C：x2+y22x2y+10的两条切线，A、B是切点（1）求四边形PACB面积的最小值；（2）直线l上是否存在点P，使BPA60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值21（12分）已知公差不为零的等差数列an满足S535，且a2，a7，a22成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn=4(an-1)(an+3)，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn3422（12分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为3（）求椭圆C的方程（）设动直线l：ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x4相交于点N试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB+BC+DC1-DC等于（）AAD1BAC1CADDAB【解答】解：AB+BC+DC1-DC=AC+CC1=AC1，故选：B2（5分）已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D5【解答】解：B（4，3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为ABC中BC边上的中线|AD|=(3-2)2+(3-1)2+(2-4)2=3故选：B3（5分）直线x+y0的倾斜角为（）A45°B60°C90°D135°【解答】解：直线x+y0的斜率为1，设直线x+y0的倾斜角为，又0180°，135°故选：D4（5分）过点（3，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A2x+y0Bx+y+30Cxy+30Dx+y+30或2x+y0【解答】解：当直线过原点时，方程为y2x，即2x+y0当直线不过原点时，设直线的方程为x+yk，把点（3，6）代入直线的方程可得 k3，故直线方程是 x+y+30综上，所求的直线方程为x+y+30或2x+y0，故选：D5（5分）双曲线3x2y29的焦距为（）A6B26C23D43【解答】解：双曲线3x2y29的实半轴a=3，虚半轴b3，则c=9+3=23双曲线x23y29的焦距为：43故选：D6（5分）抛物线y24x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是（）A12B32C1D3【解答】解：抛物线方程为y24x2p4，可得p2=1，抛物线的焦点F（1，0）又双曲线的方程为x2-y23=1a21且b23，可得a1且b=3，双曲线的渐近线方程为y±bax，即y±3x，化成一般式得：3x±y=0因此，抛物线y24x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=|3×1±0|3+1=32故选：B7（5分）在等差数列an中，若a2+a34，a4+a56，则a9+a10（）A9B10C11D12【解答】解：设等差数列an的公差为d，a2+a3（a1+d）+（a1+2d）2a1+3d4，a4+a5（a1+3d）+（a1+4d）2a1+7d6，得：4d2，解得：d=12，把d=12代入，解得：a1=54，则a9+a10（a1+8d）+（a1+9d）2a1+17d2×54+17×12=11故选：C8（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，a11且a1a2a38，则S5S2等于（）A11B8C5D11【解答】解：因为等比数列an中，a11且a1a2a3=a23=-8，所以a22，q2，则S5S2=1-q51-q2=1+321-4=-11故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）若直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，0，4），则（）AlBlClDl与相交【解答】解：由于直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，0，4），所以n=-2a；故na，即la由于直线n是平面的法向量，所以n，由于nl，所以l，所以l与平面相交故选：BD10（5分）把圆x2+y2+2x4ya220的半径减小一个单位长度正好与直线3x4y40相切，则正实数a的值为（）A3B3C0D1【解答】解：圆x2+y2+2x4ya220的圆心（1，2），半径r=124+16+4a2+8=7+a2，圆心（1，2）到直线3x4y40距离为：d=|-3-8-4|9+16=3，圆x2+y2+2x4ya220的半径减小一个单位则正好与直线3x4y40相切，7+a2-13，解得a±3，又a0，a3故选：B（多选）11（5分）已知方程mx2+ny21（m，nR），则（）A当mn0时，方程表示椭圆B当mn0时，方程表示双曲线C当m0时，方程表示两条直线D方程表示的曲线不可能为抛物线【解答】解：对于A，mn0时，若m0且n0，则方程mx2+ny21表示圆或椭圆；若m0且n0，则方程mx2+ny21不表示任何图形；所以A错误对于B，mn0时，若m0且n0，则方程mx2+ny21表示焦点在x轴上的双曲线；若m0且n0，则方程mx2+ny21表示焦点在y轴上的双曲线；所以B正确对于C，m0时，若n0，则方程mx2+ny21表示两条曲线；若n0，则方程mx2+ny21不表示任何图形；所以C错误对于D，无论m、n取何值时，方程mx2+ny21都不可能为x或y的一次解析式，所以方程mx2+ny21不可能表示抛物线；所以D正确故选：BD（多选）12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+1Sn+2an1，数列2nanan+1的前n项和为Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an1是等比数列B数列an是等比数列C数列an的通项公式为an2n1+1DTn2【解答】解：因为Sn+1Sn+2an1，所以当n1时，S2S1+2a11，所以a21，Sn+1Sn2an1，即an+12an1，即an+112（an1），因为a11，所以a110，所以an1，所以数列an是等比数列也是等差数列，所以数列an1是等差数列，故A不正确，B正确，C不正确；于是2nanan+1=2n，所以Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-22，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55【解答】解：不妨令CB1，则CACC12可得O（0，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，1），BC1=（0，2，1），AB1=（2，2，1），cosBC1，AB1=|BC1AB1|BC1|AB1|=4-15×9=15=550BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为5514（5分）已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 x6y+60或x6y60【解答】解：根据题意，设直线l的方程为xa+yb=1，所以12|ab|3，且-ba=16，解得a=-6b=1或a=6b=-1，所以直线l的方程为x-6+y1或x6-y1，即x6y+60或x6y60故答案为：x6y+60或x6y6015（5分）以双曲线x24-y212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 x216+y212=1【解答】解：双曲线 x24-y212=1的顶点为（2，0）和（2，0），焦点为（4，0）和（4，0）椭圆的焦点坐标是（2，0）和（2，0），顶点为（4，0）和（4，0）椭圆方程为 x216+y212=1故答案为：x216+y212=116（5分）已知数列an=n-1，n为奇数，n，n为偶数，其前n项和为Sn，则S1005000【解答】解：因为an=n-1，n为奇数，n，n为偶数，所以S100a1+a2+a3+a99+a100（a1+a3+a99）+（a2+a4+a98+a100）（0+2+4+98）+（2+4+6+100）5000故答案为：5000四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，试以a，b，c为基向量表示出向量BN，并求BN的长【解答】解：N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，底面ABCD是边长为2的正方形，BN=12(BC+BM)=12(AD+BA+AM) =-12a+12b+12c在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，|a|b|2，|c|3，ab=0，ac=2×3×cos60°3，bc=2×3×cos60°3，BN2=（-12a+12b+12c）21+1+94-12×3+12×3=174，|BN|=172，即BN的长为17218（12分）已知正方形的中心为直线xy+10和2x+y+20的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程【解答】解：联立x-y+1=02x+y+2=0，解得x=-1y=0，可得正方形的中心为M（1，0）设正方形相邻两边的方程为：x+3y+m0（m2），3xy+n0，由正方形的性质可得：|-1+m|10=|-1-2|10=|-3+n|10，解得m4，n0或6正方形其他三边所在直线的方程为：x+3y+40，3xy0，3xy+6019（12分）已知P是直线l：3x+4y+80上的动点，PA，PB是圆C：x2+y22x2y+10的两条切线，A、B是切点（1）求四边形PACB面积的最小值；（2）直线l上是否存在点P，使BPA60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：圆C：x2+y22x2y+10，即（x1）2+（y1）21，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆由于四边形PACB面积等于2×12PA×ACPA，而PA=PC2-1，故当PC最小时，四边形PACB面积最小又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+80 的距离d，而d=|3+4+8|9+16=3，故四边形PACB面积的最小的最小值为9-1=22；（2）假设存在一点使BPA60°，此时CPA30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，因此该点不存在20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，A1BC的面积为22（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角ABDC的正弦值【解答】解：（1）由直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，可得VA1-ABC=13VA1B1C1-ABC=43，设A到平面A1BC的距离为d，由VA1-ABC=VA-A1BC，13SA1BCd=43，13×22d=43，解得d=2（2）连接AB1交A1B于点E，AA1AB，四边形ABB1A1为正方形，AB1A1B，又平面A1BC平面ABB1A1，平面A1BC平面ABB1A1A1B，AB1平面A1BC，AB1BC，由直三棱柱ABCA1B1C1知BB1平面ABC，BB1BC，又AB1BB1B1，BC平面ABB1A1，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AA1AB，BC×2AB×12=22，又12AB×BC×AA14，解得ABBCAA12，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则BA=（0，2，0），BD=（1，1，1），BC=（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），则nBA=2y=0nBD=x+y+z=0，令x1，则y0，z1，平面ABD的一个法向量为n=（1，0，1），设平面BCD的一个法向量为m=（a，b，c），mBC=2a=0mBD=a+b+c=0，令b1，则a0，c1，平面BCD的一个法向量为m=（0，1，1），cosn，m=122=12，二面角ABDC的正弦值为1-(12)2=3221（12分）已知公差不为零的等差数列an满足S535，且a2，a7，a22成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若bn=4(an-1)(an+3)，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn34【解答】解：（）设等差数列an的公差为d（d0）由题意得S5=35a72=a2a22，则5a1+5×42d=35(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)，解得a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1（）证明：bn=4(an-1)(an+3)=42n(2n+4)=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，所以Tn=12(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2)，=12(1+12-1n+1-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)3422（12分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为3（）求椭圆C的方程（）设动直线l：ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x4相交于点N试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由【解答】解：（）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)，F1，F2为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为3由题意知2a=4122cb=3a2=b2+c2，解得：a=2b=3c=1故椭圆C的方程是x24+y23=14分（）由y=kx+mx24+y23=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m21206分动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M（x0，y0），m0且0，即64k2m24（4k2+3）（4m212）0，化简得4k2m2+30（*）此时x0=-4km4k2+3=-4km，y0kx0+m=3m，M（-4km，3m）由x=4y=kx+m，得N（4，4k+m）8分假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P（x1，0），则PMPN=0对满足（*）式的m、k恒成立PM=（-4km-x1，3m），PN=（4x1，4k+m），由PMPN=0，10分得-16km+4kx1m-4x1+x12+12km+30，整理，得（4x14）km+x124x1+30（*）11分由于（*）式对满足（*）式的m，k恒成立，4x1-4=0x12-4x1+3=0，解得x11故存在定点P（1，0），使得以MN为直径的圆恒过点M12分